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第一章第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件



第2课时

命题及其关系、充分条
件与必要条件

1.什么是命题?真、假命题如何分类? 提示:在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假 的陈述句叫做命题.判断为真的语句叫真命题,判断为假的 语句叫假命题.

2.四种命题及其关系
(1)四种命题 若q,则p ;否命 若原命题为“若p,则q”,则

其逆命题是__________

若綈p,则綈q ;逆否命题是______________ 若綈q,则綈p . 题是_____________

(2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假关系
相同 的真假性; ①两个命题互为逆否命题,它们有_____ 没有关系 . ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性_________

温馨提醒:“否命题”与“命题的否定”的不同: 否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,而命题的 否定是只否定命题的结论.要注意区别.

3.充分条件、必要条件与充要条件
p是q 的充分条件 (1)“若p,则q”为真命题,记作:p?q,则_____ q是p 的必要条件. ,______ 充要条件 , (2)如果既有p?q,又有q?p,记作:p?q,则p是q的_________ 充要条件 . q也是p的__________
温馨提醒: (1)A 是 B 的充分不必要条件是指: A?B 且 B (2)A 的充分不必要条件是 B 是指:B?A 且 A 一定要弄清它们的区别,以免出现错误. A;

B,在解题中

1.(2013· 高考湖南卷)“1<x<2”是“x<2”成立的( A )

A.充分不必要条件
C.充分必要条件

B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

解析:设 A={x|1<x<2},B={x|x<2},∴A B,即当 x0∈A 时,有 x0∈B,反之不一定成立.因此“1<x<2”是“x<2”成立的 充分不必要条件.

π 2.(2012· 高考湖南卷 )命题“若 α= ,则 tan α =1”的逆否 4 命题是 ( C ) π π A.若 α≠ ,则 tan α ≠1 B.若 α= ,则 tan α ≠1 4 4 π π C.若 tan α ≠1,则 α≠ D.若 tan α ≠ 1,则 α= 4 4

解析:由命题与其逆否命题之间的关系可知,原命题的逆 π 否命题是:若 tan α ≠1,则 α≠ . 4

3 . (2014· 浙江嘉兴模拟 ) 已知 m 、 a 都是实数,且 a > 0 ,则

“m∈{-a,a}”是“|m|=a”的( C )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由m∈{-a,a}?|m|=a,
也可由|m|=a?m∈{-a,a}, ∴“m∈{-a,a}”是“|m|=a”的充要条件.

4.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B都是锐角”的

“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不 否命题为:_________________________________________
都是锐角” ___________________________________________________ . 解析:原命题的条件:在△ABC中,∠C=90°, 结论:∠A、∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角”.

5.下列命题:

①“a>b”是“a2>b2”的必要条件;②“|a|>|b|”是“a2>
b2”的充要条件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件. ②③ . 其中是真命题的是________

解析:①a>b
2 2

a2> b2,且 a2> b2

a> b,故①不正确;

② a >b ? |a|> |b|,故②正确; ③“a> b” ?a+ c>b+ c,且 a+ c> b+ c? a> b,故③正确.

四种命题及其关系
给出下列四个结论: ①命题“若α=β,则cos α=cos β”的逆否命题为真命题; ②“ ?x0 ∈ R,使得 x2 - x > 0”的否定是:“ ?x ∈ R,均有 x2

-x<0”;
③命题“x2=4”是“x=-2”的充分不必要条件; ④p:a∈{a,b,c},q:{a}?{a,b,c},p且q为真命题.

①④ 其中正确结论的序号是________.( 填写所有正确结论的序号)

[解析]

对①,因命题“若α=β,则cos α=cos β”为真命题,

所以其逆否命题亦为真命题,①正确;对②,命题“?x0∈R,
使得x2-x>0”的否定应是:“?x∈R,均有x2-x≤0”,故 ②错;对③,因由“x2=4”得x=±2,所以“x2=4”是“x =- 2”的必要不充分条件,故③错;对④,p,q均为真命题 , 由真值表判定p且q为真命题,故④正确.

[ 方法感悟 ]

(1) 对于命题真假的判定,关键是分清命题的条

件与结论,只有将条件与结论分清,再结合所涉及的知识才 能正确地判断命题的真假. (2)掌握原命题和逆否命题,否命题和逆命题的等价性,当一 个命题直接判断真假性不容易进行时,可以转而判断其逆否

命题的真假.

1.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象 不过第四象限 ,在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中, 真命题的个数是( C ) A.3 B.2

C.1

D.0

解析:原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;它的逆 命题为“若函数 y= f(x) 的图象不过第四象限,则函数 y = f(x)

是幂函数”,显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为
假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中, 真命题只有1个.

充分条件与必要条件的判断 (1)(2013· 高考福建卷 ) 设点 P(x , y) ,则“x = 2 且 y =- 1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的( A ) A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件
C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

m 1 (2)(2014· 浙江省名校联考 )一次函数 y=- x+ 的图象同时 n n 经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 ( B ) A.m>1,且 n<1 B. mn<0 C.m>0,且 n<0 D. m<0,且 n<0 解析:(1)当 x=2 且 y=-1 时,满足方程 x+y-1=0,即点 P(2,-1)在直线 l 上.点 P′(0,1)在直线 l 上,但不满足 x
=2 且 y=- 1,∴“x=2 且 y=-1”是“点 P(x,y)在直线 l 上”的充分而不必要条件. m 1 m 1 (2)∵y=- x+ 经过第一、三、四象限,故- >0, < 0, n n n n 即 m> 0,n<0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条 件为 mn<0,故选 B.

[方法感悟]

充要条件的三种判断方法:

(1)定义法:即根据p?q,q?p进行判断. (2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行 判断.

(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要
判断的充要条件转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别 适 合 以 否 定 形 式 给 出 的 问 题 , 如 “xy≠1” 是 “x≠1 或 者 y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x = 1 且 y = 1”是“xy =1”的何种条件.

2.(1)(2014· 东城区统一检测)若a,b是两个非零向量,则 “|a+b|=|a-b|”是“a⊥b”的( C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(2014· 温州市适应性测试)已知q是等比数列{an}的公比,则 “q<1”是“数列{an}是递减数列”的( D ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析: (1)|a+ b|= |a- b|? |a|2+2a· b+ |b|2= |a|2- 2a· b+ |b|2? a?b=0?a⊥ b. (2)当 q< 0 时, 等比数列 {an}是一个摆动数列, 不是递减数列,
? ? ?a1>0 ?a1<0 而数列 {an}是递减数列?? ,或? ,故选 D. ? ? ?0<q<1 ?q>1

充分条件与必要条件的应用
1 已知 p: ≤ x≤ 1,q:(x-a)(x- a-1)>0,若 p 是綈 q 2 1 [0, ] 2 . 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是________

[解析] 綈 q:(x-a)(x- a-1)≤0?a≤ x≤ a+ 1. 由 p 是綈 q 的充分不必要条件知: 1 1 a≤ 且 a+1≥1?0≤a≤ . 2 2

[ 方法感悟 ]

(1) 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件

或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关
系列出关于参数的不等式求解. (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件:若綈p是綈q的充 分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分 (充 分不必要、充要)条件.

3.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a的最大值 -1 . 为________ 解析:由x2>1,得x<-1,或x>1.

又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,
知由“x<a”可以推出“x2>1”,反之不成立, 所以a≤-1,即a的最大值为-1.

等价转化思想在命题判断中的应用

(2012· 高考浙江卷)设a>0,b>0,( A ) A.若2a+2a=2b+3b,则a>b B.若2a+2a=2b+3b,则a<b

C.若2a-2a=2b-3b,则a>b
D.若2a-2a=2b-3b,则a<b

[解析]

当0<a≤b时,显然 2a≤2b,2a≤2b<3b,∴2a+ 2a<2b

+3b,即2a+2a≠2b+3b成立.∴它的逆否命题:若2a+2a=

2b + 3b ,则 a>b 成立,故 A 正确, B 错误.当 0<a≤b 时,由
2a≤2b,2a<3b,知2a-2a与2b-3b的大小关系不确定,∴C不

正确,同理D不正确.

[ 感悟提高 ]

(1) 本题的解析用了等价转化思想,即充分利用

原命题与逆否命题的等价性 .在“若 2a + 2a = 2b + 3b ,则
a>b”不易判断的情况下,巧妙地转化为判断该命 题逆否命题成立. (2)利用等价转化思想还可解决有关充要条件的一些问题.

已知 p :- 2≤x≤10 , q : 1 - m≤x≤1 + m(m>0) ,且綈 p 是 綈q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围. 解:∵綈p是綈q的必要而不充分条件, ∴p是q的充分而不必要条件, ∵q:1-m≤x≤1+m,

∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m},
∵p:-2≤x≤10, ∴p:P={x|-2≤x≤10}. ∵p是q的充分而不必要条件,

m>0, m>0, ? ? ? ? ∴ P Q,∴?1- m<-2,或?1-m≤- 2, ? ?1+m≥10, ? ?1+m>10, 即 m≥9 或 m>9.∴m≥9. 即实数 m 的取值范围是[9,+∞ ).



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