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高中数学高考总复习两角和与差的三角函数习题及详解



高考总复习

高中数学高考总复习两角和与差的三角函数习题及详解
一、选择题 4 5 1.在△ABC 中,若 cosA= ,cosB= ,则 cosC 的值是( 5 13 16 A. 65 [答案] A 4 5 3 12 [解析] 在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,cosA= ,cosB= ,∴sinA= ,sinB= ,

5 13 5 13 所以 cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) =sinA· sinB-cosA· cosB 3 12 4 5 16 = × - × = ,故选 A. 5 13 5 13 65 2.(2010· 烟台中英文学校质检)sin75° cos30° -sin15° sin150° 的值为( A.1 [答案] C [解 析 ] sin45° = 2 . 2 ) sin75° cos30° sin15° - sin150° sin75° = cos30° cos75° - sin30° sin(75° 30° = = - ) 1 B. 2 C. 2 2 D. 3 2 ) 56 B. 65 16 56 C. 或 65 65 )

16 D.- 65

3.(2010· 吉林省质检)对于函数 f(x)=sinx+cosx,下列命题中正确的是( A.?x∈R,f(x)< 2 C.?x∈R,f(x)> 2 [答案] B π [解析] ∵f(x)= 2sin?x+4?≤ 2, ? ? ∴不存在 x∈R 使 f(x)> 2且存在 x∈R,使 f(x)= 2,故 A、C、D 均错. B.?x∈R,f(x)< 2 D.?x∈R,f(x)> 2

4. (文)(2010· 北京东城区)在△ABC 中, 如果 sinA= 3sinC, B=30° 那么角 A 等于( , A.30° [答案] D [解析] ∵△ABC 中,B=30° ,∴C=150° -A, ∴sinA= 3sin(150° -A)= 3 3 cosA+ sinA, 2 2 B.45° C.60° D.120°

)

∴tanA=- 3,∴A=120° . (理)已知 sinα= 5 10 ,sin(α-β)=- ,α、β 均为锐角,则 β 等于( 5 10 )

含详解答案

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5π A. 12 [答案] C

π B. 3

π C. 4

π D. 6

π π [解析] ∵α、β 均为锐角,∴- <α-β< , 2 2 3 10 ∴cos(α-β)= 1-sin2?α-β?= , 10 ∴sinα= 5 ,∴cosα= 5 1-? 5?2 2 5 = . 5 ?5?

∴sinβ=sin[α-(α-β)] =sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)= π π ∵0<β< ,∴β= ,故选 C. 2 4 π 5.(文)(2010· 广东惠州一中)函数 y=sin?3-2x?+sin2x 的最小正周期是( ? ? π A. 2 [答案] B [解析] y= π 3 1 cos2x- sin2x+sin2x=sin?2x+3?, ? ? 2 2 B.π C.2π D.4π ) 2 . 2

∴周期 T=π. (理)函数 f(x)=(3sinx-4cosx)· 的最大值为( cosx A.5 [答案] C [解析] f(x)=(3sinx-4cosx)cosx 3 =3sinxcosx-4cos2x= sin2x-2cos2x-2 2 5 4 = sin(2x-θ)-2,其中 tanθ= , 2 3 5 1 所以 f(x)的最大值是 -2= .故选 C. 2 2 6.(文)(2010· 温州中学)已知向量 a=(sin75° ,-cos75° ),b=(-cos15° ,sin15° ),则|a -b|的值为( A.0 ) B.1 C. 2 D.2 9 B. 2 1 C. 2 5 D. 2 )

[答案] D [解析] ∵ |a - b|2 = (sin75° cos15°2 + ( - cos75° sin15°2 = 2 + 2sin75° + ) - ) cos15° +

2cos75° sin15° =2+2sin90° =4,∴|a-b|=2.

含详解答案

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π (理)(2010· 鞍山一中)已知 a=(sinα,1-4cos2α),b=(1,3sinα-2),α∈?0,2?,若 a∥b, ? ? π 则 tan?α-4?=( ? ? 1 A. 7 [答案] B [解析] ∵a∥b,∴1-4cos2α=sinα(3sinα-2), ∴5sin2α+2sinα-3=0, π 3 3 ∴sinα= 或 sinα=-1,∵α∈?0,2?,∴sinα= , ? ? 5 5 π tanα-1 3 1 ∴tanα= ,∴tan?α-4?= ? ? 1+tanα=-7. 4 3π 7.(文)(2010· 河南许昌调研)已知 sinβ= ( <β<π),且 sin(α+β)=cosα,则 tan(α+β)= 52 ( ) A.1 [答案] C 3 π 4 [解析] ∵sinβ= , <β<π,∴cosβ=- , 5 2 5 ∴sin(α+β)=cosα=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ 4 3 =- cos(α+β)+ sin(α+β), 5 5 2 4 ∴ sin(α+β)=- cos(α+β),∴tan(α+β)=-2. 5 5 2 2 (理)(2010· 杭州模拟)已知 sinx-siny=- ,cosx-cosy= ,且 x,y 为锐角,则 tan(x- 3 3 y)=( ) 2 14 B.- 5 5 14 D.± 28 B.2 C.-2 8 D. 25 ) 1 B.- 7 2 C. 7 2 D.- 7

2 14 A. 5 2 14 C.± 5 [答案] B

5 [解析] 两式平方相加得:cos(x-y)= , 9 ∵x、y 为锐角,sinx-siny<0,∴x<y, 2 14 ∴sin(x-y)=- 1-cos2?x-y?=- , 9

含详解答案

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sin?x-y? 2 14 ∴tan(x-y)= =- . 5 cos?x-y? cosα-sinα 8.已知 α、β 均为锐角,且 tanβ= ,则 tan(α+β)的值为( cosα+sinα A.-1 [答案] B cosα-sinα 1-tanα π [解析] tanβ= = =tan?4-α?, ? ? cosα+sinα 1+tanα π π π π π ∵ -α,β∈?-2,2?且 y=tanx 在?-2,2?上是单调增函数, ? ? ? ? 4 π π π ∴β= -α,∴α+β= ,∴tan(α+β)=tan =1. 4 4 4 α 1+tan 2 4 9.(2010· 全国新课标理,9)若 cosα=- ,α 是第三象限的角,则 =( 5 α 1-tan 2 1 A.- 2 [答案] A 4 [解析] ∵cosα=- 且 α 是第三象限的角, 5 3 ∴sinα=- , 5 α α cos +sin 2 2 α α α α cos 1+tan cos +sin 2 2 2 2 ∴ = = α α α α α 1-tan cos -sin cos -sin 2 2 2 2 2 α cos 2 1 B. 2 C.2 D.-2 B.1 C. 3 D.不存在 )

)

?cosα+sinα?2 2? ? 2 = α α?? α ?cos -sin cos +sinα? 2 ?? 2 2? ? 2
3 1- 5 1+sinα 1+sinα 1 = = = =- ,故选 A. cosα 4 2 2α 2α cos -sin - 2 2 5 α α α [点评] 本题解题思路广阔,由 cosα 可求 sinα,也可求 sin 及 cos ,从而求出 tan .也 2 2 2 π α 可以利用和角公式将待求式变形为 tan?4+2?,再用诱导公式和二倍角公式等等. ? ?

含详解答案

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A+B 10.(2011· 浙江五校联考)在△ABC 中,已知 tan =sinC,给出以下四个论断: 2 ① tanA =1; tanB

②1<sinA+sinB≤ 2; ③sin2A+cos2B=1; ④cos2A+cos2B=sin2C. 其中正确的是( A.①③ [答案] D A+B π-C C [解析] 因为在三角形中 A+B=π-C,所以 tan =tan =cot = 2 2 2 C C =2sin cos , 2 2 C cos 2 A+B C C C C C 1 ∵tan =sinC,∴ =2sin cos .因为 0<C<π,∴cos ≠0,sin >0,故 sin2 = , 2 C 2 2 2 2 2 2 sin 2 C 2 π π ∴sin = ,∴C= ,A+B= , 2 2 2 2 π ∴sinA+sinB=sinA+cosA= 2sin?A+4?∈(1, 2],排除 A、C; ? ? cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1=sin2C,故选 D. 二、填空题 π 1 7π 1 11.(2010· 哈三中)已知 tan?α+6?= ,tan?β- 6 ?= ,则 tan(α+β)=________. ? ? 2 ? ? 3 [答案] 1 [解析] tan(α+β)=tan(α+β-π) 1 1 + 2 3 π 7π =tan[(α+ )+(β- )]= =1. 6 6 1 1 1- × 2 3 12. (2010· 重庆南开中学)已知等差数列{an}满足: 1005= a [答案] - 3 [解析] 由等差数列的性质知,tan(a1+a2009) π 8π =tan(2a1005)=tan =tan?-3?=- 3. ? ? 3 4π , tan(a1+a2009)=________. 则 3 C cos 2 ,而 sinC C sin 2 ) B.②③ C.①④ D.②④

含详解答案

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3 π 1 π 13. (2010· 山师大附中模考)若 tan(x+y)= , tan(y- )= , tan(x+ )的值是________. 则 5 3 3 3 [答案] 2 9

π π [解析] tan(x+ )=tan[(x+y)-(y- )] 3 3 π 3 1 tan?x+y?-tan?y- ? - 3 5 3 2 = = = . π 3 1 9 1+tan?x+y?· tan?y- ? 1+ × 3 5 3 π π 14.(2010· 上海奉贤区调研)已知 α,β∈(0, ),且 tanα· tanβ<1,比较 α+β 与 的大小, 2 2 用“<”连接起来为________. π [答案] α+β< 2 π [解析] ∵tanα· tanβ<1,α,β∈?0,2?, ? ? ∴ sinα· sinβ <1,∴sinα· sinβ<cosα· cosβ, cosα· cosβ

∴cos(α+β)>0, π ∵α+β∈(0,π),∴α+β< . 2 三、解答题 15.(2010· 福建福州市)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a- c)cosB=bcosC. (1)求角 B 的大小; → → (2)若|BA-BC|=2,求△ABC 的面积的最大值. [解析] (1)在△ABC 中,∵(2a-c)cosB=bcosC, 根据正弦定理有(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(C+B),即 2sinAcosB=sinA. 1 ∵sinA>0,∴cosB= , 2 π 又∵B∈(0,π),∴B= . 3 → → → (2)∵|BA-BC|=2,∴|CA|=2,即 b=2. 根据余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,有 4=a2+c2-ac. ∵a2+c2≥2ac(当且仅当 a=c 时取“=”号), ∴4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,

含详解答案

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1 3 即 ac≤4,∴△ABC 的面积 S= acsinB= ac≤ 3, 2 4 即当 a=b=c=2 时,△ABC 的面积的最大值为 3. π π 16.(文)(2010· 北京延庆县模考)已知函数 f(x)=sin?2x+6?+sin?2x-6?-2cos2x. ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的值域及最小正周期; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. [解析] (1)f(x)= =2? 3 1 3 1 sin2x+ cos2x+ sin2x- cos2x-(cos2x+1) 2 2 2 2

3 1 ?-1 ? 2 sin2x-2cos2x?

π =2sin?2x-6?-1. ? ? π 由-1≤sin?2x-6?≤1 得, ? ? π -3≤2sin?2x-6?-1≤1. ? ? 可知函数 f(x)的值域为[-3,1]. 且函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π (2)由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z)解得, 2 6 2 π π kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 6 3 π π 所以 y=f(x)的单调增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 6 3 → → (理)(2010· 辽宁锦州)已知△ABC 中, |AC|=1, ∠ABC=120° ∠BAC=θ, f(θ)=AB· , , 记 BC (1)求 f(θ)关于 θ 的表达式; (2)求 f(θ)的值域. [解析] (1)由正弦定理有: |BC| 1 |AB| = = , sinθ sin120° sin?60° -θ? ∴|BC|= sin?60° -θ? sinθ ,|AB|= sin120° sin120°

→ → → → ∴f(θ)=AB· =|AB|· |cos(180° BC |BC -∠ABC) 2 = sinθ· sin(60° -θ) 3 2 3 1 = ( cosθ- sinθ)sinθ 3 2 2

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1 π 1 π = sin(2θ+ )- (0<θ< ) 3 6 6 3 π π π 5π (2)∵0<θ< ,∴ <2θ+ < , 3 6 6 6 1 π ∴ <sin(2θ+ )≤1, 2 6 1 1 ∴0<f(θ)≤ ,即 f(θ)的值域为(0, ]. 6 6 17.(文)(2010· 湖北黄冈)如图,平面四边形 ABCD 中,AB=13,三角形 ABC 的面积为 3 → → S△ABC=25,cos∠DAC= ,AB· =120. AC 5

(1)求 BC 的长; (2)cos∠BAD 的值. [解析] (1)由 S△ABC=25 得, 1→ → |AC||AB|· sin∠CAB=25 2 → → → → 由AC· =120 得,|AC|· |· AB |AB cos∠CAB=120,以上两式相除得, 5 5 12 tan∠CAB= ,∴sin∠CAB= ,cos∠CAB= , 12 13 13 → → ∴|AC||AB|=130, → → 又∵|AB|=13,∴|AC|=10, 在△ABC 中,由余弦定理得, 12 → |BC|2=102+132-2×10×13× =29, 13 → ∴|BC|= 29,即 BC= 29 3 4 (2)∵cos∠DAC= ,∴sin∠DAC= , 5 5 ∴cos∠BAD=cos(∠BAC+∠CAD) =cos∠BAC· cos∠CAD-sin∠BACsin∠CAD = 12 3 5 4 16 × - × = . 13 5 13 5 65

x x (理)(2010· 江西新余一中)已知函数 f(x)=sin +2cos2 . 2 4
含详解答案

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(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若(2a-c)cosB=bcosC,求 f(A) 的取值范围. x 2x [解析] (1)f(x)=sin +?2cos 4-1?+1 ? 2 ? x π x x =sin +cos +1= 2sin?2+4?+1 ? ? 2 2 ∴f(x)的最小正周期为 T=4π. (2)由(2a-c)cosB=bcosC 得, (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(B+C)=sinA, 1 π 2π ∵sinA≠0,∴ocsB= ,∴B= ,∴A+C= , 2 3 3 A π 2π 又∵f(A)= 2sin? 2 +4?+1,∴0<A< , ? ? 3 π A π 7π ∴ < + < , 4 2 4 12 A π π 7π 2 又∵sin <sin ,∴ <sin? 2 +4?≤1, ? ? 4 12 2 ∴2<f(A)≤ 2+1.

含详解答案



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