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江西省吉安一中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题



江西省吉安一中 2014-2015 学年下学期高一年级期中考试 数学试卷
一、选择题(本大题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 不等式 x( x ? 2) ? 0 的解集为( A. {x | x ? 0或x ? ?2} C. {x | 0 ? x ? 2} )

B. {x | ?2 ? x ? 0} D. {x | x ? 0或

x ? 2}
2

2. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a2 、a4 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的两个根,则 S5 的 值为( A. )

5 2

B. 5

C. ?

5 2

D. ? 5 )

3. 在△ ABC 中,如果 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,那么角 A 等于( A. 30 ? B. 60 ? C. 120 ? ) B. sin x ? D. D. 150 ?

4. 下列不等式一定成立的是( A. lg( x ? ) ? lg x( x ? 0)
2

1 4

1 ?2 sin x

C. x ? 1 ? 2 x ( x ? R)
2

1 ? 1( x ? R) x ?1
2

5. 在△ ABC 中,若 sin A ? 2 sin B cos C ? 0 ,则其形状为( A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形

) D. 等边三角形

6. 若某公司从四位大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人,这四人被录用的机会均等, 则甲被录用的概率为( A. ) C.

1 6

B.

1 3

1 2

D.

2 3
2

7. 对于任意实数 x , 不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围为 ( )

2) A. (??,

B.(? ?,2]

C. (?2,2)

D. (?2,2] )

2 8. R 是△ ABC 三角形的外接圆半径,若 ab ? 4R cos A cos B ,则∠C 为(

A. 锐角

B. 直角

C. 钝角

D. 无法判断 )

9. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n 满足: 且 a1 ? 1 , 那么 a10 的值为 ( S n ? Sm ? Sn ? m ,

A. 1

B. 9

C. 10

D. 55 )

10. 若关于 x 的方程 9x ? (4 ? a)· 3x ? 4 ? 0 有解,则实数 a 的取值范围是( A. (??,?8] ? [0,??) B. (??,?4]
2

C. (??,4]
2

D. (??,?8]

2 2 k 为实数, 11. 设 x1 、 则 x1 x2 是关于 x 的二次方程 x ? 2kx ? 1 ? k ? 0 的两个实根, ? x2

的最小值为 A. ? 2 B. ? 1 C. 1 D. 2

12. 已知 a、b、c 均为正数,若 a ? b ? c , b ? c ? a , c ? a ? b , a ? b ? c 依次成等比 数列,且公比为 q ,则 q 3 ? q 2 ? q 的值为( A. 0 B. 1 C. 3 D. 不能确定 )

二、填空题(本大题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 在 Rt△ABC 中,∠A=30°,动点 D 在斜边 AB 上运动,则∠BCD<=60°的概率为 。 14. 设 x、y ? R ,且 x 2 ? y 2 ? 1,则 x ? y 的最小值是 。

15. 一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°,行驶 4 小时后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15°,这时船与灯塔的距离为 16. 设函数 f ( x) ? x ? 1 ,对任意 x ? [?
2

km。

3 3 x ,? ] , f ( ) ? 4m 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 2 4 m


恒成立,则实数 m 的取值范围是

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为 0、1、2、3 四个相同小球 的抽奖箱中,每次取出一球记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和 等于 6,则中一等奖,等于 5 则中二等奖,等于 4 或 3 则中三等奖。 (1)求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率。 18. (本小题满分 12 分)

已知 a ? 1 ,解关于 x 的不等式 19. (本小题满分 12 分)

ax ?1。 x?2

在△ABC 中, a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,且 (2a ? c) cos B ? b cosC ? 0 。 (1)求角 B 的值; (2)若 a ? c ? 4 ,求△ABC 面积 S 的最大值。

20. (本小题满分 12 分) 已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前四项和为 14, 且 a1 、a3 、a7 恰为等比数列 {bn } 的前三项。 (1)分别求数列 {an } 、 {bn } 的前 n 项和为 S n 、 Tn ; (2)记为数列 {an bn } 的前 n 项和为 K n ,设 cn ? 21. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a、b ? R, a ? 0) ,设方程 f ( x) ? x 的两个实根为

S nTn ,求证: cn? ? cn ( n ? N * ) 。 Kn

x1 和 x 2 。
(1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,若函数 f ( x) 的对称轴为 x ? x0 ,求证: x0 ? ?1 ; (2)如果 ? 2 ? x1 ? 2 且 x2 ? x1 ? 2 ,求 b 得取值范围。 22. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ?

1 2 11 n ? n 。数列 {bn } 满足 bn?2 ? 2bn?1 2 2

? bn ? 0 (n ? N*) ,且 b3 ? 11, b1 ? b2 ? ?? b9 ? 153。
(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

k 3 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对一 57 (2an ? 1)(2bn ? 1)

切 (n ? N*) 都成立的最大正整数 k 的值; ( 3 ) 设 f ( n) ? ?

?an (n ? 2l ? 1, l ? N*) , 是 否 存 在 (m ? N*) , 使 得 ?bn (n ? 2l , l ? N*)

f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。

【试题答案】 1. A 2. A 3. B 4. C 5. B 6. C 7.D 13. 8. C 9. A 10.D 11. C 12. B

1 2

14. ? 2

15. 30 2

16. (??,-

3 3 ] ? [ ,??) 2 2

17. 解析:设“中三等奖”为事件 A, “中奖”为事件 B。 从四个小球中有放回地取两球有: (0,0) ,(0,1) , (0,2) , (0,3) , (1,0) , (1,1) ,(1,2) ,

(1,3) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,0) , (3,1) , (3,2) , (3,3) ,共 16 种不同的结果。
2分 (1)取出的两个小球号码相加之和等于 4 或 3 的取法有:

(1,3) , (2,2) , (3,1) , (0,3) , (1,2) , (2,1) , (3,0) 共 7 种结果,
则中三等奖的概率为 P ( A) ?

7 16

5分

(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于 3 或 4 的取法有 7 种; 两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种: (2,3) , (3,2) 。 两个小球号码相加之和等于 6 的取法有 1 种: (3,3)

7 ? 2 ?1 5 ? 10 分 16 8 (a ? 1) x ? 2 ax ? 1 可化为 ?0。 18. 解析:不等式 x?2 x?2 2 x? 1? a ? 0 , ∵ a ? 1 ,∴ a ? 1 ? 0 ,则原不等式可化为 3分 x?2 2 }; 故当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 {x | 2 ? x ? 6分 1? a
则中奖的概率为 P( B) ? 当 a ? 0 时,原不等式的解集为 ? ; 当 a ? 0 时,原不等式的解集为 {x | 9分 12 分

2 ? x ? 2} 。 1? a

19. 解析: (1)由正弦定理得 (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC ? 0 , 即 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 得 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? 0 ,因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin(B ? C ) ? sin A , 得 2 sin A cos B ? sin A ? 0 ,因为 sin A ? 0 ,

1 2? ,又 B 为三角形的内角,所以 B ? 6分 2 3 1 2? 1 2? (2) S ? ac sin B ,由 B ? 及 a ? c ? 4 得 S ? a (4 ? a ) sin 2 3 2 3
所以 cos B ? ?

?

3 3 (4a ? a 2 ) ? [4 ? (a ? 2) 2 ] ,又 0 ? a ? 4 , 4 4
12 分 ,

所以当 a ? 2 时,S 取最大值 3 。 20. 解析: (1)设公差为 d ,则 ?

?4a1 ? 6d ? 14
2 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d )

解得 d ? 1 或 d ? 0 (舍去) , a1 ? 2 , 所以 an ? n ? 1 , S n ?

n(n ? 3) , bn ? 2 n , Tn ? 2 n?1 ? 2 2
① ②

4分

(2)因为 K n ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ?? (n ? 1) ? 2n , 故 2Kn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? n ? 2n ? (n ? 1) ? 2n?1 。 ①-②,得

? Kn ? 2 ? 21 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? (n ?1) ? 2n?1 ,所以 K n ? n ? 2n?1
则 cn ?

8分

S nTn (n ? 3)(2 n ? 1) , ? Kn 2 n ?1
(n ? 4)(2 n ?1 ? 1) (n ? 3)(2 n ? 1) 2 n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 0, 2n? 2 2 n ?1 2n? 2
12 分

cn ?1 ? cn ?

所以 cn?1 ? cn (n ? N ? ) 。

2 21. 解析: (1)证明:设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax ? (b ?1) x ? 1 且 a ? 0 ,由 x1 ? 2 ? x2 ? 4

得 g (2) ? 0 且 g (4) ? 0 ,即 ? 由

?4a ? 2b ? 1 ? 0 3 1 ,∴ ? 4a ? b ? ? 2a , 4 2 ?16a ? 4b ? 3 ? 0

3 1 1 3 b 1 ? 4a ? ? 2a 得 a ? ,∴ 2 ? ?? ? 1? , 4 2 8 8a 2a 4a b 1 故 x0 ? ? 6分 ? 1? ? ?1 1 2a 4? 8 1 2 (2)由 g ( x) ? ax ? (b ?1) x ? 1 ? 0 可知 x1 x 2 ? ? 0 ,∴ x1 、 x2 同号, a

①若 0 ? x1 ? 2 ,则 x2 ? x1 ? 2 ,∴ x2 ? x1 ? 2 ? 2 ,∴ g (2) ? 4a ? 2b ? 1 ? 0 又 x2 ? x1
2

?

(b ? 1) 2 4 ? ? 4 ,得 2a ? 1 ? (b ? 1) 2 ? 1 (由 a ? 0 ,所以负根舍去) 2 a a
1 ; 4

2 代入上式得 2 (b ? 1) ? 1 ? 3 ? 2b ,解答 b ?

②若 ? 2 ? x1 ? 0 ,则 x2 ? ?2 ? x1 ? ?2 ,∴ g (?2) ? 0 即 4a ? 2b ? 3 ? 0 。 同理可求得 b ?

7 1 7 ,故当 0 ? x1 ? 2 时 b ? ;当 ? 2 ? x1 ? 0 时, b ? 。 4 4 4

12 分

22. 解析: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ;
2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ( n ?

1 2

11 1 11 n) ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? n ? 5 。 2 2 2

而 a1 ? 6 满足上式。∴ an ? n ? 5(n ? N*) 。 又 bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 即 bn? 2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn ,∴ {bn } 是等差数列。设公差为 d 。 又 b3 ? 11, b1 ? b2 ? ?? b9 ? 153 ∴ bn ? 3n ? 2 (2) cn ? ∴?

?b1 ? 2d ? 11 解得 b1 ? 5 , d ? 3 。 ?9b1 ? 36d ? 153
4分

3 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 11)(2bn ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 n [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? ∵ Tn ?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)
1 1 k 。令 ? ,得 k ? 19 ∴ k max ? 18。 3 3 57
8分

∴ Tn 单调递增, (Tn ) min ? T1 ? (3) f (n) ? ?

?an (n ? 2l ? 1, l ? N*) ?bn (n ? 2l , l ? N*)
5 ? N * (舍去) 。 7
12 分

①当 m 为奇数时, m ? 15 为偶数。∴ 3m ? 47 ? 5m ? 25 , m ? 11 。 ②当 m 为偶数时, m ? 15 为奇数。∴ m ? 20 ? 15 m ? 10 , m ?

综上,存在唯一的正整数 m ? 11 ,使得 f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立。



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