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高中数学第五章平面向量专题讲义【精品】


第 1 讲 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等, 不能比较大 小 0 的相反向量为 0 量的长度(或称模) 长度为零的向量;其方向是任意的 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向 0 与任一向量平行或共线 定义 既有大小又有方向的量; 向量的大小叫做向 备注 平面向量是自由向量 记作 0 a 非零向量 a 的单位向量为± |a|

2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律: 加法 求两个向量和的 运算 a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+ (b+c) 求 a 与 b 的相反向 减法 量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 (1)|λa|=|λ||a|; 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 当 λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向相反; 当 λ=0 时,λa=0 λ(μa)=λμa; μa; λ(a+b)=λa+λb (2)当 λ>0 时, λa 的方向与 a 的方向相同; (λ+μ)a=λa+ a-b=a+(-b)

3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa.

第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示
知 识 梳 理 1.平面向量的基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只 有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
2 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|= x2 1+y1.

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2. 4.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0.

第 3 讲 平面向量的数量积及其应用
知 识 梳 理 1.平面向量数量积的有关概念 → → (1)向量的夹角: 已知两个非零向量 a 和 b, 记OA=a, OB=b, 则∠AOB=θ(0° ≤θ ≤180° ) 叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)数量积的定义:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,则数量|a||b|cos__θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos__θ,规定零向量与任一向量的数量积 为 0,即 0· a=0. (3)数量积的几何意义: 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos__θ 的乘 积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量 a,b 的夹角. (1)数量积:a· b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.
2 (2)模:|a|= a· a= x2 1+y1.

a· b (3)夹角:cos θ=|a||b|=

x1x2+y1y2 2 2 2. x1+y2 1· x2+y2

(4)两非零向量 a⊥b 的充要条件:a· b=0?x1x2+y1y2=0.
2 2 2 (5)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤ x2 1+y1· x2+y2.

3.平面向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律). (2)λa· b=λ(a· b)=a· (λb)(结合律). (3)(a+b)· c=a· c+b· c(分配律).

第 1 讲 平面向量的概念及线性运算
基础巩固题组 一、选择题 → → → → → → → → → → → → 1.已知下列各式:①AB+BC+CA;②AB+MB+BO+OM;③OA+OB+BO+CO;④AB → → → -AC+BD-CD,其中结果为零向量的个数为( ) D.4 ) D.|-λa|≥|λ|· a

A.1 B.2 C.3 2.设 a 是非零向量,λ 是非零实数,下列结论中正确的是( A.a 与 λa 的方向相反 B.a 与 λ2a 的方向相同 C.|-λa|≥|a| → → → 3.如图,在正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF=( → → A.0B.BEC.AD → D.CF )

4.设 a0 为单位向量,下述命题中:①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, → → → → 则OA+OB+OC+OD等于( → A.OM → B.2OM ) → C.3OM → D.4OM )

→ → → → → 6.在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD等于( 2 1 A.3b+3c 5 2 B.3c-3b 2 1 C.3b-3c

1 2 D.3b+3c

→ → → 7.(2017· 温州八校检测)设 a,b 不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若 A,B, D 三点共线,则实数 p 的值为( A.-2 B.-1 ) C.1 D.2

→ → 8.如图所示,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C,D 是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC= → b,则AD=( 1 A.a-2b 1 C.a+2b ) 1 B.2a-b 1 D.2a+b

二、填空题 9.如图,点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,在分别以正六边形的顶点 → 和中心为始点和终点的向量中,与向量OA相等的向量有________个. → → 10.如图, 在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB+AD → =λAO,则 λ=________. → → → 11.向量 e1,e2 不共线,AB=3(e1+e2),CB=e2-e1,CD=2e1+e2,给 出下列结论:①A,B,C 共线;②A,B,D 共线;③B,C,D 共线;④A,C,D 共线, 其中所有正确结论的序号为________. 能力提升题组 → → → 13.(2017· 延安模拟)设 e1 与 e2 是两个不共线向量,AB=3e1+2e2,CB=ke1+e2,CD=3e1 -2ke2,若 A,B,D 三点共线,则 k 的值为( 9 A.- 4 4 B.- 9 ) 3 C.- 8 D.不存在 )

→ → → 14.已知点 O,A,B 不在同一条直线上, 点 P 为该平面上一点, 且 2OP=2OA+BA, 则( A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上

→ → → → → 16.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则△ABC 的形状为________.

第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示
基础巩固题组 一、选择题 1.(必修 4P118A 组 2(6))下列各组向量中,可以作为基底的是( A.e1=(0,0),e2=(1,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) )

B.e1=(-1,2),e2=(5,7) 3? ?1 D.e1=(2,-3),e2=?2,-4? ? ? )

→ → → 2.(2016· 沈阳质监)已知在?ABCD 中,AD=(2,8),AB=(-3,4),则AC=( A.(-1,-12) C.(1,-12) B.(-1,12) D.(1,12)

3.已知向量 a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的( A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.如右图, 向量 e1,e2, a 的起点与终点均在正方形网格的格点上, 则向量 a 可用基底 e1,e2 表示为( )

)

A.e1+e2B.-2e1+e2C.2e1-e2 D.2e1+e2 → → → 5.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(-k,10),且 A,B,C 三点共线,则 k 的 值是( 2 A.-3 ) 4 B.3 1 C.2 1 D.3 )

→ → → → → 6.在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD=2DB,CD=rAB+sAC,则 r+s 等于( 2 A.3 4 B.3 C.-3 D.0

→ → → → 7.在△ABC 中, 点 P 在 BC 上, 且BP=2PC, 点 Q 是 AC 的中点, 若PA=(4, 3), PQ=(1, → 5),则BC等于( A.(-2,7) C.(2,-7) ) B.(-6,21) D.(6,-21)

→ → → 8.已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点, 点 E 在边 AC 上, 且EC=2AE, 则向量EM=( → → 1 1 A.2AC+3AB 二、填空题 → → → → 1 1 1 1 B.2AC+6ABC.6AC+2AB → → 1 3 D.6AC+2AB

)

9.(2017· 广州综测)已知向量 a=(x, 1), b=(2, y), 若 a+b=(1, -1), 则 x+y=________. 1 1 10.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值为________. a b 11.已知向量 a=(1, 2), b=(x, 1), u=a+2b, v=2a-b, 且 u∥v, 则实数 x 的值为________. → → → → → → → 1 1 12.在平行四边形 ABCD 中, AB=e1, AC=e2, NC=4AC, BM=2MC, 则MN=________(用 e1,e2)表示. 能力提升题组 → → → → 13.(2017· 长沙调研)如图, 在△OAB 中, P 为线段 AB 上的一点, OP=xOA+yOB, 且BP= → 2 PA,则( )

2 1 1 2 1 3 3 1 A.x=3,y=3B.x=3,y=3C.x=4,y=4D.x=4,y=4 → → → → → → 14.已知|OA|=1,|OB|= 3,OA·OB=0,点 C 在∠AOB 内,且OC与OA的夹角为 30° , → → → m 设OC=mOA+nOB(m,n∈R),则 n 的值为( A.2 5 B.2 ) C.3 D.4

→ → → → → 1 1 15.已知点 A(-1,2),B(2,8),AC=3AB,DA=-3BA,则CD的坐标为________.

第 3 讲 平面向量的数量积及其应用
基础巩固题组 一、选择题 1.(2016· 兰州诊断考试)已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2,则|a-b|=( A.0 B.1 C.2 D. 5 ) )

2.(2015· 陕西卷)对任意平面向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是(

A.|a· b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)· (a-b)=a2-b2 3.已知 a=(1,-2),b=(x,2),且 a∥b,则|b|=( A.2 5 B. 5 C.10 ) D.5

→ 4.(2015· 广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形,AB=(1, → → → -2),AD=(2,1),则AD· AC等于( A.5 B.4 ) C.3 D.2 )

5.(2015· 重庆卷)已知非零向量 a, b 满足|b|=4|a|, 且 a⊥(2a+b), 则 a 与 b 的夹角为( π A.3 二、填空题 6.(2016· 全国Ⅰ卷)设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a⊥b,则 x=________. 7.(2016· 北京卷)已知向量 a=(1, 3),b=( 3,1),则 a 与 b 夹角的大小为________. π B.2 2π C. 3 5π D. 6

→ → → 8.已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),若∠ABC 为锐角,则 实数 m 的取值范围是________. 三、解答题 9.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|; → → (3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的面积.

10.(2017· 德州一模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m= 3 (cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且 m· n=-5. (1)求 sin A 的值; → → (2)若 a=4 2,b=5,求角 B 的大小及向量BA在BC方向上的投影. 能力提升题组 11.(必修 4P120 1(6)改编)若平面向量 a, b, c 两两所成的角相等, 且|a|=1, |b|=1, |c|=3, 则|a+b+c|等于( A.2 ) B.5 C.2 或 5 D. 2或 5 )

→ → 12.(2015· 山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60° ,则BD· CD等于( 3 A.-2a2 3 B.-4a2 3 C.4a2 3 D.2a2

→ → → → 13.(2016· 洛阳统考)已知 A(-1,cos θ),B(sin θ,1),若|OA+OB|=|OA-OB|(O 为坐标原 点),则锐角 θ=________. 14.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)在△ABC 三边 → → → 围成的区域(含边界)上,且OP=mAB+nAC(m,n∈R). → 2 (1)若 m=n=3,求|OP|; (2)用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值.



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