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淮阴中学高三数学一轮复习学案:函数的性质及其应用


第 02 课:函数的性质及其应用
一、课前预习

1 ? a 是奇函数,则 a = 2 ?1 5 ?1 2、已知 a ? ,函数 f ? x ? ? a x ,若实数 m, n 满足 f ? m? ? f ? n ? ,则 m, n 的大小关 2
1、若 f ? x ? ?
x

系为

__________

3、已知函数 f ? x ? ? ?

? 3x , x ? 1 ? ? x, x ? 1

若 f ? x ? ? 2 ,则 x =

4、定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? = { ____________________ 5、函数 y ?

f ? x ? 1? ? f ? x ? 2 ? , x ? 0

log 2 ? 4 ? x ? , x ? 0

,则 f(3)的值为

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 x

6、已知函数 f ? x ? 是 ? ??, ??? 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ? x ? 2? ? f ? x ? ,且当

x ? [0, 2) 时, f ? x ? ? log2 ? x ?1? ,则 f ? ?2009? ? f ? 2010? 的值为
7、已知函数 f ? x ? ? ? 则a= 8、设函数 f ? x ? ?

?| lg | x ||, x ? 0, a ? R ,若方程 f 2 ? x ? ? f ? x ? ? 0 共有 7 个实数根, a , x ? 0, ?

ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? 的定义域为 D ,若所有点 ? s, f ?t ?? ? s, t ? D? 构成

一个正方形区域,则 a 的值为 9、设函数 f ? x ? ? {

x2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ? x ? ? f ?1? 的解集是 x ? 6, x ? 0

10 、已 知函 数 f ? x ? 满 足: x ? 4 , 则 f ? x ? ? ? ? ; 当 x ? 4 时 f ? x ? ? f ? x ?1? , 则

?1? ?2?

x

f ? 2 ? log ?= 2 3
11、已知偶函数 f ( x ) 在区间 ?0, ??? 单调增加,则满足 f ? 2 x ? 1? ? f ? ? 的 x 取值范围是 12、若关于 x 的不等式 x ? 2? | x ? t | 的解集中至少有一个负数解,则实数 t 的取值
2

?1? ? 3?

范围是
1

13、已知函数 f ? x ? ? {

x2 ? 4 x, x ? 0 2 若 f ? 2 ? a ? ? f ? a ? 则实数 a 的取值范围是 2 4x ? x , x ? 0

14 、已知函数 f ? x ? 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

? xf ? x ?1? ? ?1? x ? f ? x ? ,则 f ? ?
二、例题

? 5 ?? f ? ? ? 的值是 ? 2 ??

例 1、设函数 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,若 a ? b ? c ? 0 , f (0) f (1) ? 0 , (1)求证:方程 f ( x) ? 0 总有两个不相等的实根; (2)求

b 的取值范围; a

(3)设 x1 , x 2 是方程 f ( x) ? 0 的两个实根,求 | x1 ? x2 | 的取值范围

例 2、某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是 P(亿元)和 Q(亿元) ,它们与投

1 1 3t , Q ? t ,今该公司将 5 亿元投资这两个 6 8 项目,其中对甲项目投资 x (亿元) ,投资这两个项目所获得的总利润为 y (亿元) 。 y (1)求 关于 x 的函数表达式; (2)求总利润的最大值。
资额 t (亿元)的关系有经验公式 P ?

2

例 3 、 已 知 二 次 函 数 f(x)= ax

2

+bx+c 和 一 次 函 数 g(x)=-bx , 其 中 a,b,c 满 足

a>b>c,a+b+c=0(a,b,c ? R 且 a ? 0) (1)求证 :两函数的图象交于不同的两点 A,B; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 之长的取值范围。

n ? R 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) , 例 4、 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数, 对m、 且当 x ? 0
时, 0 ? f ( x) ? 1。 (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)证明: x ? R 时恒有 f ( x) ? 0 ;

2 (3)求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (4)若 f ( x) ? f (2 x ? x ) ? 1 ,求 x 的范围。

3

第 02 课作业:函数的性质及其应用
班级____________ 姓名_____________ 学号__________ 成绩________ 1、已知函数 f ? x ? ? 2x ? mx ? 3, 当 x ? ? ??, ?1? 时是减函数,则实数 m 的取值
2

范围是



2 2、已知函数 f ? x ? ? sin x ? 5x , x ? ? ?1,1? ,如果 f ?1 ? a ? ? f 1 ? a ? 0 ,则 a 的取值

?

?

范围是



3、若函数 f ? x ? ? {
x

x ?1 , x ? 0 1 则不等式 | f ? x ? |? 的解集为 ?x 3 3 ,x ?0



4、若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 5、若 0 ? a ? 1, b ? ?2 则函数 y ? a ? b 的图像一定不经过第
x





象限



6、若函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,4] 上是减函数,则实数 a 的取值范围▲
2

7、对于给定的函数 f ( x) ? x ?

1 ( x ? 0) ,有以下四个结论: x

① f ( x) 的图象关于原点对称;② f ( x) 在定义域上是增函数; ③ f ( x) 在区间 (0,1] 上为减函数,且在 [1,??) 上为增函数;④ f ( x ) 有最小值 2
4

其中结论正确的是

▲ ▲ ▲

8、已知 y ? loga (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 9、若 f(x)=-x2+2ax 与 g ( x ) ?

a 在区间 [1,2]上都是减函数,则 a 的值范围是 x ?1


10、若函数 f(x)=a x ? b ? 2 在[0,+∞]上为增函数,则实数 a、b 的取值范围是

11 、已知 f ( x) 是 R 上的增函数,A( 0,-1 ) ,B ( 3,1)是其图象上的两点,则不等式

| f ( x ? 1) |? 1 的解集为
12、若函数 f ? x ? ?

▲ ▲

ax ? 1 ,在 ? ?2, ?? ? 内为增函数,则实数 a 的取值范围为 x ?1

13、若 f ( x) 为奇函数,且在 ? ??,0? 上是增函数,又 f ?12? ? 0 ,则不等式 集为 ▲

x ? 0 的解 f ? x?

14、已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? ,满足 f ? x ? 4? ? ? f ? x ? ,且在区间[0,2]上是增函数, 若方程 f(x)=m(m>0)在区间 ? ?8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 = ▲ 1. 5. 9. 13. __ ; 2. __ ; 6. __ ; 10. __ ; 14.
?

__ ; 3. __ ; 7. __ ; 11. __

__ ; 4. __ ; 8. __ ;12.

__ ; __ ; __ ;

15、 设 f ( x) 是定义在 R 上的增函数, 并且对任意的 x ? 0, y ? 0 , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 总 成立。 (1)求证: x ? 1 时, f ( x) ? 0 ; (2)如果 f (3) ? 1 ,解不等式 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2

5

16、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,且满足 f (?1) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

1? x 2 ) . f ( x) ? x ? 0 ,并且当 x ? (0, 2) 时,有 f ( x) ? ( 2
(1)求 f (1) 的值; (2) 求 f ( x ) 的解析式;

(3)当 x ? [?1,1] 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? mx 是单调的,求实数 m 的取值范围.

17、 设 A, B 是函数 y ? log 2 x 图象上两点,其横坐标分别为 a 和 a ? 4 ,直线 l : x ? a ? 2 与函
数 y ? log 2 x 的图象交于点 C , 与直线 AB 交于点 D (1)求点 D 的坐标; (2)当 ?ABC 的面积大于 1 时,求实数 a 的取值范围.

6

18、已知函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? 1( a , b 为实数) , x? R。 (1)若函数 f ? x ? 的最小值是 f ? ?1? ? 0 ,求 f ? x ? 的解析式; (2)在(1)的条件下, f ? x ? ? x ? k 在区间 ??3, ?1? 上恒成立,试求 k 的取值范围; (3)若 a ? 0 ,

f ? x ? 为 偶 函 数 , 实 数 m, n 满 足 m n ? 0 , m ? n ? 0 定 义 函 数

? ? f ? x?, x ? 0 F ? x? ? ? ,试判断 F ? m? ? F ? n ? 值的正负,并说明理由。 ? ?? f ? x ? , x ? 0

7


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