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2015年上海市春季高考数学模拟试卷一 Word版含答案



2015 年上海市春季高考模拟试卷一
一、填空题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. )

1、函数

的定义域是



2、已知全集 3、已知函数

,集合 是函数 的反函数,则



=

. (要求

写明自变量的取值范围). 4、双曲线 的渐近线方程是 .

5、若函数 实数 a= 6、已知数列 .

与函数

的最小正周期相同,则

是首项为 1,公差为 2 的等差数列,

是数列的前 n 项和,则

= 7、直线 8、已知

. , , 是方程 ,则直线 与 的夹角为= 的根,则 = . .

9、 10、已知

的二项展开式中的常数项是 是平面上两个不共线的向量,向量

(用数值作答) . , .若 ,

则实数 m= . 11、已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半径相同,若圆柱 M 与球 O 的表面积相等,则 它们的体积之比 12、已知角 = (用数值作答). 角 的

的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合, ,角

终边与单位圆交点的横坐标是 = .

的终边与单位圆交点的纵坐标是 ,则

二、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 13、已知 ( A. 14、已知直线 关系是 ( ) A .相交 B.相切 15、现给出如下命题: ①若直线 与平面 ) B. ,点 C. 在圆 C: C.相离 D.不能确定 D. . 外,则直线 与圆 C 的位置 , .若 是 的必要非充分条件,则实数 a 的取值范围是

内无穷多条直线都垂直,则直线



②空间三点确定一个平面; ③先后抛两枚硬币,用事件 A 表示“第一次抛出现正面向上”,用事件 B 表示“第二次抛出现

反面向上”,则事件 A 和 B 相互独立且 ④样本数据 的标准差是 1. )

=



则其中正确命题的序号是 ( A.①④ B.①③ 16、在关于 的方程

C.②③④ , , ) 或

D.③④ 中,已知至

少有一个方程有实数根,则实数 的取值范围为( A. 17、不等式 A. B. B. 或 的解集是( C. ) D. C.

D.

18、已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则 的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



19、 已知

是椭圆

的两个焦点, 是椭圆上的任意一点, 则

的最大值是(



A.、9 20、函数 A. 21、设函数 A.0

B.16 与 B.

C.

D. 在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是( C. ,则 D. 的值为( C.10 ) D.不存在 )

B.1

22、已知 A.

,则 B. C.



) D. 三边的中点)得到的几何 )

23、将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A、B、C 分别是

体如图 2,则按图 2 所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为(

24、 已知方程

的根大于 , 则实数 满足 (



A.

B.

C.

D.

三、解答题 25、 (本题满分 7 分) 在 中,记 (角的单位是弧度制), 的面积为 S,且 ,

.求函数

的最大值、最小值.

26、 (本题满分 7 分)

已知正方体 平面 的距离.

的棱长为 a. 求点



27、 (本题满分 8 分)

用行列式讨论关于 意义.

的二元一次方程组

的解的情况,并说明各自的几何

28、 (本题满分 13 分)

已知函数 义的实数 x 的集合). (1)求实数 m 的值,并写出区间 D; (2)若底数 ,试判断函数

是奇函数, 定义域为区间 D(使表达式有意

在定义域 D 内的单调性,并说明理由;

(3)当 的值.

(

,a 是底数)时,函数值组成的集合为

,求实数

29、 (本题满分 13 分)

已知双曲线 C: (1)求双曲线 C 的方程; (2) 设经过焦点

的一个焦点是

,且



的直线 的一个法向量为 的取值范围;并证明

当直线 与双曲线 C 的右支相交于 , 中点 在曲线 , 使得 上.

不同的两点时,求实数

(3) 设 (2) 中直线 与双曲线 C 的右支相交于 为锐角?若存在,请求出

两点, 问是否存在实数

的范围;若不存在,请说明理由.

附加题 30、 (本题满分 8 分) 某公司生产某种消防安全产品,年产量 x 台 (单位:百元) ,其成本函数满足 该公司不生产任何产品时,其成本为 4000(百元) . (1)问该公司生产多少台产品时,利润最大,最大利润是多少? (2)在经济学中,对于函数 记作 ,我们把函数 ,求边际函数 称为函数 的边际函数, 时,销售收入函数 (单位:百元) .已知

.对于(1)求得的利润函数

;并利用边际函数

的性质解释公司生产利润情况. (本题所指的函数性质主要包括:函数的单调性、最值、零 点等)

31、 (本题满分 8 分)

已知数列

的前 项和为

,满足

.数列

.

(1)求证:数列 (2)若对于任意

为等比数列; ,不等式 恒成立,求实数 的最大值.

31、 (本题满分 14 分) 已知点 是直角坐标平面内的动点,点 到直线 的距离为 ,到点 的

距离为

,且



(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程; (2)直线 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、B(点 A 或 B 不在 x 轴上),分别过 A、B 点 作直线 的垂线,对应的垂足分别为 ,试判断点 F 与以线段 为直径的圆

的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况); (3)记 ,使 , , (A、B、 是(2)中的点),问是否存在实数

成立.若存在,求出

的值;若不存在,请说明理由.

进一步思考问题:若上述问题中直线

、点

、曲线 C:

, 则使等式 你的判断

成立的

的值仍保持不变. 请给出

(填写“不正确”或“正确”)(限于时间,这里不需要举反例,或证明).

2015 年春季高考模拟 一参考答案

1、

;2、

;3、

; 4、

;5、



6、 ;7、

;8、 ;9、

;10、

;11、

;12、



13-16BADC;17-20BBCD;21-24BCAA

25 、 ∵



,又

,∴





∴所求的 的取值范围是

.∵







.

∴ 26、建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为


. 、 , ,


,向量



设 令 得

是平面

的法向量,于是,有 .于是平面 的一个法向量是

,即 .



因此, 27、

到平面

的距离 ,

.(也可用等积法求得) ,

(1)当

时,

方程组有唯一解,此时

,即



(2)当 (3)当 几何意义:设 当 当 当

时, 时, ,

,方程组有无穷多组解,通解可表示为 , , ,此时方程组无解.



时,方程组唯一解,则直线 与 相交; 时,方程组无解,则直线 与 平行; 时,方程组无穷多解,则直线 与 重合. 是奇函数,∴对任意 ,有 ,即

28 、 (1)∵

. 化简此式,得 .又此方程有无穷多解(D 是区间),必有

,解得

.∴



(2)当

时,函数

上是单调减函数.

理由:令



易知



上是随 增大而增大,



上是随 增大而减小,





上是随 增大而减小.

于是,当

时,函数

上是单调减函数

(3) ∵

,∴



∴依据(2)的道理,当

时,函数

上是增函数,



,解得



若 是

,则

在 A 上的函数值组成的集合为

,不满足函数值组成的集合 .

的要求.(也可利用函数的变化趋势分析,得出 b=1)∴必有 的值是 .

因此,所求实数

29、 (1)



(2) 由 ,得

由 ,

得 ,







,则

. (3) , ,

因为



, 30、 (1)由题意,

, ,所以

( (百元) (2)



) ,所以









边际函数为减函数, 说明随着产量的增加, 每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少; 当 时,边际函数取得最大值为 2480,说明生产第一台的利润差最大;当 时,

边际函数为零,说明生产 62 台时,利润达到最大 31、 (1) , 所以

即:

恒成立 所以,

为以 2 为首项,公比为 3 的等比数列。

(2)



;②

时,

.





所以,



)为递增数列

,从而

由①,②知

,所以

的最大值为

.

32、 (1)设动点为

, 依据题意,有

,化简得



因此,动点 P 所在曲线 C 的方程是: (2)点 F 在以 MN 为直径的圆的外部.



理由:由题意可知,当过点 F 的直线 的斜率为 0 时,不合题意,故可 设直线 : ,如图所示.

联立方程组

,可化为



则点 、 .

的坐标满足

.又



,可得点

点与圆的位置关系, 可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断, 也可以计算点与直径形 成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断.

因 是,



, 则

=

. 于

为锐角,即点 F 在以 MN 为直径的圆的外部.

(3)依据(2)可算出











所以,

,即存在实数

使得结论成立.对进一步思考问题的判断:正确.



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