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山东省2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编7:立体几何



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山东省 2014 届高三文科数学一轮复习之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 7:立体几何
一、选择题 1 .【解析】山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟文科数学)多面体 MN-ABCD 的底面 ABCD (

为矩形,其正(主)视图和侧(

左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等 腰三角形,则 AM 的长

( A. 3 B. 5 C. 6 D. 2 2



【答案】C

,由正视图可知 MN ? 2, EF ? 4 ,由侧视图可

知 多 面 体 的 高 为 2, BC ? 2 . 所 以 FK ? 1 , MF ?

22 ? 12 ? 5 , 所 以
, 选

AM ? MF 2 ? AF 2 ? ( 5) 2 ? 12 ? 6

2 ( . 【解析】 山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文 (a)设 m,n 是两条不同直线, ? , ? )

C.

是两个不同的平面,下列命题正确的是 A. m // ? , n // ? 且 ? // ? , 则 m // n C. m ? ? , n ? ? , m ? n, 则 ? ? ?

( B. m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n D. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则 ? // ?



【答案】B【解析】A 中直线 m, n 也有可能异面,所以不正确.B 正确.C 中 ? , ? 不一定垂

直,错误.D 当 m, n 相交时,结论成立,当 m, n 不相交时,结论错误.所以选 B. 3 .【解析】山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟文科数学)一个几何体的三视图如右图所 ( 示,则它的体积为

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第 11 题图

( B



A.

20 3

40 . 3

C.20

D.40

【答案】B 由三视图可知,该几何体是一个放到的四棱锥,其中四棱锥的底面是主视图,为

直角梯形,直角梯形的上底为 1,下底为 4,高为 4.棱锥的高位 4,所以四棱锥的体积为

1 1? 4 40 ,选 B. ? ? 4? 4 ? 3 2 3
4 . 【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学) 已知 m,n 是两条不同直 (

线, ? , ? 是两个不同平面,给出四个命题: ①若 ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m ,则 ? ? ? ②若 m ? ? , m ? ? ,则 ? / / ? ③若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? ④若 m / /? , n / / ? m / / n ,则 ? / / ? 其中正确的命题是 ( A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 【答案】B 由面面垂直的性质可知②③正确. 5 ( . 【解析】 山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试文科数学) 若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是



( A.36 cm
3



B.48 cm

3

C 60 cm



3

D.72 cm

3

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【答案】B 解:由三视图可知,上面是个长为 4 宽为 2 的长方体,下面是一个发放倒的四棱

柱,高为 4,底面是个梯形,上下底分别为 2,6,高为 2.所以长方体的体积为 4 ? 2 ? 2 ? 16 , 四棱柱的体积为 4 ?

2?6 ? 2 ? 32 ,所以该几何体的体积为 32 ? 16 ? 48 ,选 2

B. )

6 . 【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学 ) 点 M、N 分别是正方体 (

ABCD—A1B1C1D1 的棱 A1B1、A1D1 的中点,用过 ( A.M、N 和 D.N、C1 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图, 则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为

( A.①、②、③ B.②、③、③ C.①、③、④ D.②、④、③ 【答案】B【解析】由三视图的定义可知,该几何体的三视图分别为②、③、③,选
7 .【解析】山东省临沂市 2013 届高三 3 月教学质量检测考试(一模)数学(文)试题)具有 (



B.

如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为

( A.3
【答案】D



B.7+3 2

C.

7 ? 2

D.14

由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱, 或水平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为 1,底面边长分别为 1,3, 所以表面积为 2(1? 3 ? 1? 1 ? 3 ? 1) ? 14 ,选 D. 8 .【解析】山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(文)试题)右图是底面半径为 1, (

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母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的侧视图的面积为

A. 8?

B. 6?

C. 4 ? 3

D. 2 ? 3

【答案】C【解析】该组合体的侧视图为

.其中正方形的边长为

2,三角形为边长为 2 三角形,所以侧视图的面积为 22 ? 正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是

1 2 3 ?2 ? ? 4 ? 3 ,选 2 2

C.

9 . (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试题)一个四棱锥的底面为

( A.1
【答案】B



B.2 C.3 D.4 由题设及图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为 2 的正方

1 ?1?1 ? 2 .由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱 2 与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为 13 ,对角线长为 2,故 1 2 2 棱锥的高为 ( 13) ? 2 ? 9 ? 3 .此棱锥的体积为 ? 2 ? 3 ? 2 ,选 B. 3
形,故其底面积为 4 ?
10.【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析)下列命题中错误的是 ( ( ..



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A.如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? C.如果平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,那么直线 l ? 平面 ? D.如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 【答案】D 解:根据面面垂直的的性质可知,D 错误.
11.【解析】山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(文) 某几何体的三视图如 ( )

图所示(单位:cm),则该几何体的体积为

( A. (16 + p )cm B. (16 + 3p )cm C. (20 + 4p )cm D. (18 + p )cm 【答案】 解:由三视图可知,该几何体上面是个长宽都是 4,高为 1 的长方体,下面是直径 B 为 2, 高 为 3 的 圆 柱 . 所 以 长 方 体 的 体 积 为 1? 4 ? 4 ? 16(cm ) , 圆 柱 的 体 积 为
3 3 3 3 3



? ? 3 ? 3? (cm3 ) ,所以该几何体的体积为 (16 + 3p )cm3 ,选

B.

12.【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文)如图,若一个空间几何体的三 (

视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为 1,则该几何体的体积为





1 A. 3

1 B. 2 1 3 1 ,选 3

1 C. 6

D.1

【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为 1 的正方形,高为 1

的四棱锥,所以体积为 ? 1? 1? 1 ?





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A.
13.【解析】山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(文)试题)已知直线 a 和平面 (

?、?,? I ? ? l , a ? ? , a ? ? ,且 a 在 ?、? 内的射影分别为直线 b 和 c,则 b 和 c 的

位置关系是 ( A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 【答案】 【解析】 D 由题意,若 a / / l ,则利用线面平行的判定,可知 a / /? , a / / ? ,从而 a 在



?、? 内的射影分别为直线 b 和 c 平行;若 a ? l ? A ,则 a 在 ?、? 内的射影直线 b 和 c 相交于点 A;若 a ? ? ? B , a ? ? ? C ,且直线 a 和 l 垂直,则 a 在 ?、? 内的射影直线 b
和 c 相交;否则直线 b 和 c 异面,综上所述,b 和 c 的位置关系是相交﹑平行或异面故选 D. 14.(【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)如图,一个 空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 形,那么这个几何体的表面积为

3 ,且一个内角为 60°的菱形,俯视图为正方 2

( A. 2 3 B. 4 3 C.4 D.8
【答案】C 由三视图可知,该几何体是由两个相同的四棱锥构成的组合体.因为正视图、



3 , 且 一 个 内 角 为 60° 的 菱 形 , 所 以 设 边 长 为 a , 则 2 1 3 2 3 ,所以 a ? 1 .则四棱锥的各侧面的斜高为 1,所以这个几 2 ? a 2 sin 60? ? a ? 2 2 2 1 何体的表面积为 8 ? ? 1? 1 ? 4 ,选 C. 2 15.【解析】山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)已知 m , n 为两条不同的直 ( 线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ( A.若 l ? m , l ? n ,且 m, n ? ? ,则 l ? ? B.若平面 ? 内有不共线 的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D.若 m // n, n ? ? ,则 m ? ?
侧视图都是面积为
【答案】D 根据线面垂直的性质可知,选项 D 正确. 16.【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文)下列命题正确的是 (







A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

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D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C【解析】 ( A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可能平行,也可能相交或异面, 所以错误.B 中,若三点共线,则两平面不一定平行,所以错误.C 正确.D 若两个平面都垂 直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,所以错误.所以命题正确的为 C,选 C. 17.【解析】山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试文科数学)已知某几何体的侧视图与其 ( 正视图相同,相关的尺寸如下图所示,则这个几何体的体积是 4 正 视 图 A. 8? 侧视图
主视图



3

俯视图
主视图

( C. 2? ` D.



B. 7?

7? 4

3 【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体是一个半径分别为 2 和 2 的同心圆柱,大圆柱 3 7? 4? ?1 ? ? ( ) 2 ?1 ? 2 4 ,选 D. 内挖掉了小圆柱.两个圆柱的高均为 1.所以几何体的体积为
18.【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学)有一平行六面体的三视图如 (

图所示,其中俯视图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为

( A. 21 3 B. 6 ? 15 3 C. 30 ? 6 3 D.42 【答案】C 由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形,两个侧面和底面垂直.其中侧棱



AA1 ? 2 . 底 面 边 长 AD ? 3 , 平 行 六 面 体 的 高 为
2 ( 3? 3? 3? 3? 3? 2 ) = 3 ? 6 3 0

3 . BE ? 2 , 又

AE ? AA12 ? A1 E 2 ? 22 ? ( 3) 2 ? 1 ,所以 AB ? 1 ? 2 ? 3 .所以平行六面体的表面
积 为 , 选

C.

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19.【解析】山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试 数学(文)试题)一个几何体的三视图 (

如图所示,其中的长度单位为 cm,则该几何体的体积为(

)cm .

3

( A.18 B.48 C.45 D.54
【答案】D 由三视图可知,该几何体时底面是矩形的四棱柱,以俯视图为底,底面直角梯形



的上底为 4,下底为 5,高为 3.棱柱的高为 4,所以四棱柱的体积为 选 D.

4?5 ? 3 ? 4 ? 54cm3 , 2

20. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试文科数学)某几何体的三视图如右图所示,则该

几何体的体积不可能是

( A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3
【答案】由三视图可知,该几何体时一个侧面和底面垂直的的三棱



锥 , 形 ,

PA ? ABC

,

AB ? 2
,

, 其 中 底 面 三 角 形 BAC 为 直 径 三 角 , PC ? 4 , 设 AC ? x, 0 ? x ? 4 , 则 所 以 三 棱 锥 的 体 积 为

PA ? 42 ? x 2 ? 16 ? x 2

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2 2 2 2

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1 1 x ? 16 ? x 1 x ? ( 16 ? x ) 16 8 ? ? 2 x ? 16 ? x 2 ? ? ? ? ? , 当 且 仅 当 3 2 3 3 2 6 3 8 2 x ? 16 ? x 2 ,即 x 2 ? 8, x ? 8 ? 2 2 时取等号,此时体积有最大值 ? 2 ,所以该三 3 3
棱锥的体积不可能是 3,选 棱锥的体积为 D.
21. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学文)一个三棱锥的三视图如图所示,则该三

( A.



1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

1 6
( )

【答案】由三视图可知该三棱锥的侧棱和底面垂直,三棱锥的高为 1,底面直角三角形的

两直角边分别为 2,1,所以三棱锥的体积为 ? A.

1 1 1 ? 2 ?1?1 ? ,选 3 2 3

22. ( 【解析】 山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学) 已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m ?

平面 ? ,下列命题正确的是

①l ? m ? a ∥ ? ②l ∥m ? A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 【答案】C① ? , ? 有可能相交,所以错误.②正确.③当 ? ? ? 时,由 l / / ? 或 l ? ? ,不一 定有 l / / m ,错误.④正确,所以选 C. 23.【解析】山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文(a) 一个几何体的三视图如图 ( ) 所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有 顶点在同一球面上,则该球的表面积是

A. 12?

B. 24?

C. 32?

D. 48?





【答案】D【解析】该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.

其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,高为 CC1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则 球的直径为

AC1 ? 4 3 ? 2 R

, 所 以 球 的 半 径 为 R ? 2 3 ,, 所 以 球 的 表 面 积 是

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4? R 2 ? 4? ? (2 3) 2 ? 48? ,选

D. ( )

24.【解析】山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)一个几何体的三视图如图 (

所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的体积是 A.

32? 3

B. 8?

C.

16? 3

D. 32?

正视图

左视图

俯视图

【答案】B

由三视图可知,该几何体是一挖去 B.

1 半球的球.即所求的体积为 2

3 3 4 V球 = ? ? ? 23 ? 8? ,选 4 4 3

25.【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习(一)文科数学)设 m,n 是两条不同的 (

直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列条件,能得到 m ? ? 的是 A. ? ? ? , m ? ? B.m⊥ ? , ? ? ? C.m⊥n, n ? ? D.m∥n, n ? ? 【答案】根据线面垂直的判断和性质可知,D 正确,选 D.





二、填空题 26.【解析】山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(文)试题)已知矩形 ABCD (

的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上,且 AB ? 8, BC ? 2 3 ,则棱锥 O—ABCD 的体积为 ______.
【 答 案 】 16

2

球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上.所以对角线长为

82 ? (2 3) 2 ? 2 19 , 所 以 棱 锥 的 高 为 52 ? ( 19) 2 ? 6 , 所 以 棱 锥 的 体 积 为
1 ? 6 ? 8 ? 2 3 ? 16 2 . 3

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27.【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)已知一圆柱内接于球 O,且圆 (

柱的底面直径与母线长均为 2,则球为 O 的表面积为_____.
【答案】8? 圆柱的底面直径与母线长均为 2,所以球的直径

22 ? 22 ? 8 ? 2 2 ,即球

半径为 2 ,所以球的表面积为 4? ? ( 2) 2 ? 8? .
28.【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析)已知一个空间几何体 (

的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的体积是_____.

5? 解:由三视图可知,该几何体的上面是个半球,球半径为 1,下面是个圆柱,底 3 1 4 5? 面半径为 1,圆柱的高为 1.所以该几何体的体积为 ? ? ? ? ? . 2 3 3
【答案】 29.【解析】山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试文科数学)三棱锥 ABCD 中,E、H 分别是 (

AB 、 AD 的 中 点 ,F 、 G 分 别 是 CB 、 CD 的 中 点 , 若 AC ? BD ? 3 , AC ?BD ? 1 , 则

EG 2 ? FH 2 ? ___________.

7 【答案】 2 【解析】 易知四边形 EFGH 是平行四边形, ??? ??? ??? 1 ???? 1 ??? ???? ???? ??? 1 ??? 1 ???? ? ? ? ? ? ? EG ? EF ? FG ? AC ? BD HF ? HE ? EF ? DB ? AC 2 2 2 2 , ,

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??? 2 ? ? ? ? 1 ???? 1 ??? 1 ???? 2 1 ???? ??? 1 ??? 2 EG ? ( AC ? BD) 2 ? AC ? AC ?BD ? BD 2 2 4 2 4 所以 , ???? 2 ???? 1 ??? 2 1 ???? 2 1 ???? ??? 1 ???? 2 ? ? 1 HF ? ( AC ? DB ) ? AC ? AC ?DB ? DD 2 2 4 2 4 , ??? 2 ???? 2 1 ???? 2 1 ???? ??? 1 ??? 2 1 ???? 2 1 ???? ??? 1 ??? 2 ? ? ? ? ? EG ? FH ? AC ? AC ?BD ? BD ? AC ? AC ?BD ? BD 4 2 4 4 2 4 所以 1 1 1 7 ? ( AC 2 ? BD 2 ) ? [( AC ? BD) 2 ? 2 AC ?BD] ? (32 ? 2) ? 2 2 2 2.
30.【解析】山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学)一空间几何体的三视图如图所 (

示,该几何体的体积为

16? ?

8 5 ,则图中 x 的值为_______________. 3

【答案】 3 由三视图可知,该几何体下面是个圆柱,上面是个四棱锥.圆柱的体积为

1 1 8h 4? ? 4 ? 16? ,四棱锥的底面积为 ? 4 ? 4 ? 8 ,所以四棱锥的体积为 ? 8 ? h ? ,所 2 3 3 8 5 8h 以 16? ? ,所以四棱锥的高 h ? 5 .所以 x 2 ? h 2 ? 22 ? 5 ? 4 ? 9 ,即 ? 16? ? 3 3 x ? 3.
31.【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习(一)文科数学)如图,三棱柱的棱长为 (

2,底面是边长为 2 的正三角形,AA1⊥面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形,俯视图为正三 角形,则左视图的面积为_________.

【答案】 2

3 【解析】因为俯视图为正三角形,所以俯视图的高为 3 ,所以左视图的面

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积为 2 3 .
三、解答题 32.【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文)如图,在 ?ABC (

? 45? , O 在 AB

上,且 OB ? OC ?

2 1 AB ,又 PO ? 平面 ABC,DA//PO,DA=AO= PO . 3 2

(I)求证:PB//平面 COD; (II)求证:平面 POD ? 平面 COD.

【答案】

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33. ( 【解析】 山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学) 已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD

是菱形,PA=PD,∠BAD=60°, E 是 AD 的中点,点 Q 在侧棱 PC 上. (1)求证:AD⊥平面 PBE; (2)若 Q 是 PC 的中点,求证 PA∥平面 BDQ; (3)若 VP ? BCDE ? 3VQ ? ABCD ,试求
【答案】

CP 的值. CQ

34. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学文)如图所示,ABCD 是边长为 a 的正方

形,△PBA 是以角 B 为直角的等腰三角形,H 为 BD 上一点,且 AH⊥平面 PDB. (1)求证:平面 ABCD⊥平面 APB; (2)点 G 为 AP 的中点,求证:AH=BG.

【答案】

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35. ( 【解析】 山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学) 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1

中,AB =2, AA1 ? 3 , 点 D 为 AC 的中点,点 E 在线段 AA1 上 (I)当 AE : EA1 ? 1: 2 时,求证 DE ? BC1 ; (Ⅱ)是否存在点 E,使三棱锥 C1 ? BDE 的体积恰为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 体积的 存在,求 AE 的长,若不存在,请说明理由.

1 ,若 3

【答案】

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36. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试题)(本小题满分 12 分)

在如图所示的几何体中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形, AE ? 1, AE ? 平面 ABC,平面

BCD ? 平面 ABC,BD=CD,且 BD ? CD. (I)AE//平面 BCD;(II)平面 BDE ? 平面 CDE.

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第 19 题图 E

D A C
【答案】

M

B

证明:(Ⅰ) 取 BC 的中点 M ,连接 DM 、 AM ,由已知可得 DM ? 1 , DM ? BC , AM ? BC . 又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC 因为 AE ? 平面 ABC , 所以 AE ∥ DM 又因为 AE ? 平面 BCD , DM ? 平面 BCD 所以 AE ∥平面 BCD (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AE ∥ DM ,又 AE ? 1 , DM ? 1 , 所以四边形 DMAE 是平行四边形,则有 DE ∥ AM . 因为 AM ? 平面 BCD , 所以 DE ? 平面 BCD 又 CD ? 平面 BCD ,所以 DE ? CD 由已知 BD ? CD , 则 CD ? 平面 BDE 因为 CD ? 平面 CDE , 所以平面 BDE ⊥平面 CDE (也可利用勾股定理证明题中的垂直关系.)
37.【解析】山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试 数学(文)试题)在如图所示的几何体 (

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中,四边形 ABCD 为矩形,EA⊥平面 ABCD,EF// AB,AB=4,AE=EF =2. (1)若 G 为 BC 的中点,求证:FG∥平面 BDE; (2)求证:AF⊥平面 FBC.

【答案】

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38.【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 (

中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC, ?ABC ? 90? ,BC=BB1,M,N 分别是 AB,A1C 的中点. (I)求证:MN//平面 BCC1B1; (II)求证: MN ? 平面 A1B1C.

【答案】

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39.【解析】山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(文)试题)在如图所示的几何体 (

中 , 平 面

ACEE⊥ 平 面

ABCD, 四 边 形

ABCD

为 平 行 四 边

形,∠ACB=90℃,EF//BC, AC ? BC ?

2 ,AE=EC=1.

(1)求证;AE⊥平面 DCEF;(2)求三锥 F-ABC 的体积.

【答案】

40.【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学 )如图,在四棱锥 S-ABC 中, (

底面 ABCD 是矩形,SA ? 底面 ABCD,SA=AD,点 M 是 SD 的中点,AN ? SC,且交 SC 于点 N. (I)求证:SB∥平面 ACM; (II)求证:平面 SAC ? 平面 AMN.

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【答案】证明:(Ⅰ)连接 BD,交 AC 于点 O,连接 MO

? ABCD 为矩形, ? O 为 BD 中点
又 M 为 SD 中点,

? MO//SB MO ? 平面 ACM,SB ? 平面 AC ? SB//平面 ACM (Ⅱ) ? SA ? 平面 ABCD,? SA ? CD ? ABCD 为矩形,? CD ? AD,且 SA ? AD=A ? CD ? 平面 SAD,? CD ? AM

O

? SA=AD,M 为 SD 的中点

? AM ? SD,且 CD ? SD=D ? AM ? 平面 SCD ? AM ? SC 又? SC ? AN,且 AN ? AM=A ? SC ? 平面 AMN ? SC ? 平面 SAC,? 平面 SAC ? 平面 AMN
41.【解析】山东省临沂市 2013 届高三 3 月教学质量检测考试(一模)数学(文)试题)如图, (

五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 ABF 是等边三角形,棱 EF//BC,且 EF=

1 BC. 2

(I)证明:EO//面 ABF; (Ⅱ)若 EF=EO,证明:平面 EFO ? 平面 ABE.

【答案】

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42. ( 【解析】 山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文 (a) 如图,五面体中,四边形 ABCD )

是矩形,DA ? 面 ABEF,且 DA=1,AB//EF, AB ?

1 EF ? 2 2 , AF ? BE ? 2 ,P、Q、M 分别 2

为 AE、BD、EF 的中点. (I)求证:PQ//平面 BCE;(II)求证:AM ? 平面 ADF;

【答案】

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43 . 【 解 析 】 山 东 省 临 沂 市 2013 届 高 三 5 月 高 考 模 拟 文 科 数 学 ) 如 图 ,AD ? 平 面 (

ABC,AD∥CE,AC=AD=AB=1,∠BAC=90°,凸多面体 ABCED 的体积为
(Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCE.
E D

1 ,F 为 BC 的中点. 2

A B

【答案】(Ⅰ)证明:∵AD⊥平面 ABC,AC ? 面 ABC,AB ? 面 ABC,
E D G A B F 第 19 题图 C

F 第 19 题图

C

∴AD⊥AC,AD⊥AB, ∵AD∥CE,∴CE⊥AC

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∴四边形 ACED 为直角梯形. 又∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,∴AB⊥面 ACED. ∴凸多面体 ABCED 的体积 V ?

1 ? S ACED ? AB 3

1 1 1 ? ? ? (1 ? CE ) ? 1? 1 ? , 3 2 2
求得 CE=2. 取 BE 的中点 G,连结 GF,GD, 则 GF∥EC,GF ?

1 CE=1, 2

∴GF∥AD,GF=AD,四边形 ADGF 为平行四边形, ∴AF∥DG. 又∵GD ? 面 BDE,AF ? 面 BDE, ∴AF∥平面 BDE. (Ⅱ)证明:∵AB=AC,F 为 BC 的中点, ∴AF⊥BC. 由(Ⅰ)知 AD⊥平面 ABC,AD∥GF,∴GF⊥面 ABC. ∵AF ? 面 ABC,∴AF⊥GF. 又 BC ? GF=F,∴AF⊥面 BCE. 又∵DG∥AF,∴DG⊥面 BCE. ∵DG ? 面 BDE,∴面 BDE⊥面 BCE.
44. ( 【解析】 山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学) 如图,几何体 ABCD ? B1C1 D1

中,四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? , AB ? a ,面 B1C1 D1 ∥面 ABCD , BB1 、 CC1 、

DD1 都垂直于面 ABCD ,且 BB1 ? 2a , E 为 CC1 的中点.
(Ⅰ)求证: ?DB1 E 为等腰直角三角形; (Ⅱ)求证: AC ∥面 DB1 E .
D1
B1

C1

E

D
A

C

D1 B1

C1

B
?

【 答 案 】 解 :(I) 连 接 BD , 交

AC 于 O , 因 为 四 边 形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,所以 BD ? a 因为 BB1 、 CC1 都垂直于面 ABCD , ? BB1 // CC1 又面
D A

F

E

C

O
B

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B1C1 D1 ∥面 ABCD ,? BC // B1C1 所以四边形 BCC1 B1 为平行四边形 ,则 B1C1 ? BC ? a 因为 BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,则

DB1 ? DB 2 ? BB12 ? a 2 ? 2a 2 ? 3a
DE ? DC 2 ? CE 2 ? a 2 ? a2 6a ? 2 2 a2 6a ? 2 2

B1 E ? B1C12 ? C1 E 2 ? a 2 ?
所以 DE ? B1 E ?
2 2

6a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? DB12 所以 ?DB1 E 为等腰直角三角形 4 (II)取 DB1 的中点 F ,连接 EF 、 OF 1 因为 O, F 分别为 DB, DB1 的中点,所以 OF ∥ BB1 ,且 OF ? BB1 2 1 因为 EC ∥ BB1 ,且 EC ? BB1 ,所以 OF ∥ EC ,且 OF ? EC 2 所以四边形 EFOC 为平行四边形 所以 EF ∥ AC ,因为 AC ? 面 DB1 E , EF ? 面 DB1 E , 所以 AC ∥面 DB1 E
45.【解析】山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(文)试题)如图,在四棱锥 (

P—ABCD 中,平面 PAB ? 平面 ABCD,AB=AD, ?BAD ? 60? ,E,F 分别是 AP,AB 的中点. 求证:(I)直线 EF//平面 PBC; (II)平面 DEF ? 平面 PAB.
【答案】

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46.【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习(一)文科数学)如图,E 是以 AB 为直 (

径的半圆上异于 A、 的点,矩形 ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面,且 AB=2AD=2. B (1)求证:EA⊥EC; (2)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F. ①试证:EF //AB; ②若 EF =1,求三棱锥 E-ADF 的体积.

【答案】

47.【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)(本小题满分 1 ) (

如图,四边形 ABCD 中, AB ? AD ,AD∥BC,AD =6,BC =4,AB =2,点 E、F 分别在 BC、AD 上,EF∥AB.现将四边形 ABEF 沿 EF 折起,使平面 ABCD ? 平面 EFDC,设 AD 中点为 P. ( I )当 E 为 BC 中点时,求证:CP//平面 ABEF (Ⅱ)设 BE=x,问当 x 为何值时,三棱锥 A-CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.

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【答案】解:(Ⅰ)取 AF 的中点 Q ,连 QE 、 QP ,

1 DF ,又 DF = 4, EC = 2, 且DF ∥ EC , 2 EC ,即四边形 PQEC 为平行四边形, 所以 QP 所以 CP ∥ EQ ,又 EQ ? 平面 ABEF , CP ? 平面ABEF , 故 CP ∥平面 ABEF
则 QP (Ⅱ)因为平面 ABEF ? 平面 EFDC ,平面 ABEF ? 平面 EFDC ? EF , 又 AF ? EF , 所以 AF ? 平面 EFDC. 由已知 BE ? x ,所以 AF ? x (0 ? x ? 4), FD ? 6 ? x. 1 1 故 VA?CDF ? ? ? 2 ? (6 ? x ) ? x, 3 2 1 1 2 ? (6 x ? x ) ? ? ?( x ? 3) 2 ? 9 ? ? 3 3? 1 ? ? ( x ? 3) 2 ? 3. 3 所以,当 x = 3 时, VA- CDF 有最大值,最大值为 3.
48.【解析】山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(文) 如图所示,AD⊥平面 ( )

ABC,CE⊥平面 ABC,AC=AD= AB=1,BC= 2 ,凸多面体 ABCED 的体积为 (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:平面 BDE⊥平面 BCE.

1 ,F 为 BC 的中点. 2

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【答案】

49. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试文科数学) 三棱锥 P ? ABC ,底面 ABC 为边长

为 2 3 的 正 三 角 形 , 平 面 PBC ? 平 面 ABC , PB ? PC ? 2 , D 为 AP 上 一 点, AD ? 2 DP , O 为底面三角形中心. (Ⅰ)求证 DO ∥面 PBC ; (Ⅱ)求证: BD ? AC ; (Ⅲ)求面 DOB 截三棱锥 P ? ABC 所得的较大几何体的体积. 【答案】证明:(Ⅰ)连结 AO 并延长交 BC 于点 E , 连结 PE 、 DO ? O 为正三角形 ABC 的中心, ∴ AO ? 2OE , A 又 AD ? 2 DP , ∴ DO ∥ PE , ? DO ? 平面 PBC , PE ? 平面 PBC ∴ DO ∥面 PBC (Ⅱ)? PB ? PC ,且 E 为 BC 中点, ∴ PE ? BC , A 又平面 PBC ? 平面 ABC ,∴ PE ? 平面 ABC 由(Ⅰ)知, DO ∥ PE ,∴ DO ? 平面 ABC , D P D O F O E B B C C P

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∴ DO ? AC 连结 BO ,则 AC ? BO , 又 DO ? BO ? O ,∴ AC ? 平面 DOB , ∴ AC ? BD (Ⅲ)连结 BO 并延长交 AC 于点 F ,连结 DF ,则面 DOB 将三棱锥 P ? ABC 截成三棱 锥 D ? ABF 和四棱锥 B ? DFCP 两个几何体

1 1 3 2 3 VD ? ABF ? ? S ?ABF ? DO ? ? 3? ? 3 3 2 3 3 1 1 VP ? ABC ? ? S ?ABC ? PE ? ? 3 3 ? 3 3 3 2 ∴所截较大部分几何体的体积为 3 3
50 . 【 解 析 】 山 东 省 济 南 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 文 科 数 学 ) 如图 , 已 知 三 棱 柱 (

ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC , AC ? BC , M , N 分别是棱 CC1 , AB 中点. (1)求证: CN ? 平面 ABB1 A1 ; (2)求证: CN // 平面 AMB1 .

(第 19 题)
【答案】(1)证明:∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1

? 底面 ABC .

又 CN ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CN ∵ AC ? BC , N 是 AB 中点, ∴ CN ? AB ∵ AA1 I AB ? A , AA1 ? 平面 ABB1 A1 , AB ? 平面 ABB1 A1 ∴ CN ? 平面 ABB1 A1 (2)证明:取 AB1 的中点 G ,连结 MG , NG , ∵ N , G 分别是棱 AB , AB1 中点, ∴ NG // BB1 , NG ?

1 BB1 2

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1 BB1 , 2 ∴ CM // NG , CM ? NG . ∴四边形 CNGM 是平行四边形. ∴ CN // MG ∵ CN ? 平面 AMB1 , GM ? 平面 AMB1 ,
又∵ CM // BB1 , CM ? ∴ CN// 平面 AMB1
51. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试 数学(文)试题)如图,在多面体 ABCDEF

中 , 四 边 形

ABCD 是 矩 形 ,AB//EF, AB ? 2 EF,?EAB ? 90 ABFE ? 平面ABCD . (1)若 G 点是 DC 中点,求证: FG // 面AED . (2)求证: 面DAF ? 面BAF .

?

, 平 面

【答案】解:(1)? 若G点是DC中点,AB ? CD

? 2 EF , AB // EF

? EF // DG且EF ? DG ?四边形DEFG为平行四边形

? FG // DE 又? FG ? 面AED ED ? 面AED ? FG // 面AED (2)(1)? 平面ABFE ? 平面ABCD,AD ? AB,? AD ? 平面BAF 又 ? AD ? 面DAF ? 面DAF ? 面BAF
52.【解析】山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试文科数学)在如图所示的多面体 ABCDE (

中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,

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且 AC=AD=CD=DE=2,AB=1. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有直线 实; (2)求多面体 ABCDE 的体积; (3)求直线 EC 与平面 ABED 所成角的正弦值. E

BF∥平面 ACD,并证明这一事

B F A D

C
【答案】解答:如图,(1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB//ED,

设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点,

// 1 // 连接 FH,则 FH ? ED ,∴ FH ? AB ,

2

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴ BF // AH , 由 BF ? 平面 ACD 内, AH ? 平面 ACD,? BF // 平面 ACD; (2)取 AD 中点 G,连接 CG AB ? 平面 ACD, ∴CG ? AB 又 CG ? AD ∴CG ? 平面 ABED, 即 CG 为四棱锥的高, CG= 3

E

1 (1 ? 2) ? ? 2? 3 = 3 3 2 (3)连接 EG,由(2)有 CG ? 平面 ABED, ∴ ?CEG 即为直线 CE 与平面 ABED 所成的角, 设为 ? ,则在 Rt ?CEG 中, CG 3 6 ? ? 有 sin ? ? CE 2 2 4
∴ VC ? ABED =

B F

A

G H C

D

53.(【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)如图,已知

平 面 ABEF ? 平 面 ABCD , 四 边 形 ABEF 为 矩 形 , 四 边 形 ABCD 为 直 角 梯 形, ?DAB ? 90?, AB ? CD , AD ? AF ? 4, AB ? 2CD ? 8 .

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(Ⅰ)求证: AF ? 平面 BCE ; (Ⅱ)求证: AC ? 平面 BCE ; (Ⅲ)求四棱锥 C ? ABEF 的体积.
【答案】

54. ( 【解析】 山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟文科数学)已知在如图的多面体中, AE ⊥

底面 BEFC , AD // EF // BC , BE ? AD ? EF ? (1)

1 BC , G 是 BC 的中点. 2

求证: AB // 平面 DEG ;(2)求证: EG ? 平面 BDF .

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A
D

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F

E B
G C

第 20 题图

(2)
【答案】证明:(1)∵ AD / / EF , EF / / BC ,

∴ AD / / BC 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD / /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG B (2)连结 GF ,四边形 ADFE 是矩形, ∵ DF // AE , AE ⊥底面 BEFC , ∴ DF ? 平面 BCFE , EG ? 平面 BCFE , ∴ DF ? EG ∵ EF //BG, EF ? BE , ∴四边形 BGFE 为菱形,∴ BF ? EG , 又 BF I DF ? F , BF ? 平面 BFD , DF ? 平面 BFD , ∴ EG ? 平面 BDF

A

D

F

E
G C



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