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求二次函数解析式的常用方法



求二次函数解析式的常用方法
四川省仪陇县实验学校 李洪泉

求二次函数解析式是初中数学的重点和难点, 同时也是初中、 高中数学知识的一个衔接 点。它所涉及的知识面广,解题技巧高,因此要求学生必须熟练掌握以下几种求二次函数解 析式的常用方法。 1、根据二次函数的一般式求解析式 当直接或间接知道二次函数图象上任意三点坐标时,通常可设函数解析式为一般式 2

y=ax +bx+c 求解。 例 1、 (2008 年广东梅州市)如图, 在梯形 ABCD 中, 已知 AB∥CD,AD⊥DB, AD=DC=CB, AB=4.以 AB 所在直线为 x 轴,过 D 且垂直于 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系. (1) 求∠DAB 的度数及 A、D、C 三点的坐标; (2)求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式及其 对称轴 L. (3)若 P 是抛物线的对称轴 L 上的点,那么使 ? PDB 为等腰三角形的点 P 有几 个?(不必求点 P 的坐标,只需说明理由) 分析:根据等腰梯形和直角三角形的性质不难求出

?DAB ? 60?, A(?1,0), D(0, 3), C(2, 3) ,A、D、C 为抛物线上
的任意三点,因此可令抛物线的解析式为一般式:

? 3 ?a ? ? 3 ? ?a ? b ? c ? 0 ? ? 2 3 ? ,解得: ?b ? 故:过 A、D、C 三点的抛物 y ? ax2 ? bx ? c ,则 ?c ? 3 3 ? ? ?4a ? 2b ? c ? 3 ?c ? 3 ? ? ?
线的解析式为: y ? ?

3 2 2 3 x ? x ? 3 ;对称轴为直线 x=1.(第三问解略) 3 3

点评:根据二次函数的一般式求解析式,必须知道抛物线上三点的坐标,目的是列一个 三元一次方程组求解出解析式的待定系数的值。 2、根据二次函数的顶点式求解析式 2 已知二次函数顶点坐标(h,k)或对称轴 x=h 时,通常可设函数解析式为 y=a(x-h) +k 求 解。 例 2、 (四川省南充高中 2011 邀请赛题) 如图, 已知点 B(?2,0), C (?4,0) , 过点 B, C 的

? M 与直线 x ? ?1 相 切于点 A ( A 在第二象限),点 A 关于 x 轴的对称点是 A1 ,直线 AA1
与 x 轴相交点 P 。 (1)求证:点 A 在直线 MB 上; (2)求以 M 为顶点且过 A 的抛物线的 1 1 解析式; (3)设过点 A 且平行于 x 轴的直线与(2)中的抛物线的另一交点为 D ,当 ? D 与 1

? M 相切时,求 ? D 的半径和切点坐标。
1

分析: 根据垂径定理、 切线的性质和轴对称的性质不难求 解出点 M 的坐标为 (?3, 3) , A 的坐标为 (?1, 3) , A 点 点 1 的坐标为 (?1, ? 3) 。因此,求以 M 为顶点过 A 的抛物线的 1 解析式可令为 y ? a( x ? 3)2 ? 3 ,把 A 的坐标 (?1, ? 3) 代 1 入得: a(?1 ? 3)2 ? 3 ? ? 3 ,解得: a ? ?

3 ,故抛物线 2

的解析式为 y ? ?

3 (第三问解略) ( x ? 3)2 ? 3 。 2

点评: 把抛物线的顶点和另一点的坐标代入抛物线的顶点式解析式, 列一个一元一次方 程,就可求解出顶点式中待定系数 a 的值。若只知道抛物线的对称轴,则还必须知道抛物线 上另两点的坐标,列二元一次方程组求解出待定系数 a 和 k 的值。 例 3、(2001 年云南曲靖中考题)已知直线 y=x-3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,二 次函数的图象经过 A、B 两点,且对称轴方程为 x=1,求此二次函数的解析式。 2 解:由对称轴为 x=1,可设二次函数解析式为 y=a(x-1) +k。直线 y=x-3 与 x 轴、y 轴分 别相交于 A、B 两点,由此可求得两点坐标分别为:A(3,0),B(0,-3)。根据二次函数的图

象经过 A、B 两点可得
2 2

∴a=1 , k=-4 。 ∴ 此 二 次 函 数 的 解 析 式 为

y=(x-1) -4=x -2x-3。 3、根据二次函数的交点式(又叫两根式)求解析式 已知二次函数图象与 x 轴的两交点的坐标(x1,0)、(x2,0)时,通常可设函数解析式为 y=a(x-x1)(x-x2)求解。 例 4、 (四川省南充高中 2009 年自主招生题)已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴交于
2

A( x1 ,0) 、 B( x2 ,0) ,与 y 轴正半轴交于点 C,已知 x1 , x2 是方程 x 2 ? 2 x ? 24 ? 0 的两根
(2)画出此抛物线的图像,并根 ( x1 ? x2 ) ? ABC 的面积为 30.(1)求此抛物线的解析式; 据图像写出函数值大于零时自变量 x 的取值范围; (3)点 M 在线段 AC 上,点 N 在线段 BC 上,若 MN// x 轴,以 MN 为直径的 ? P 与 x 轴相切,求此圆圆心 P 的坐标。 分析:根据一元二次方程根与系数的关系和面积法不难求出 x1 ? ?4, x2 ? 6 ,c=6,因 此,A 的坐标为 (?4, 0) ,B 的坐标为 (6, 0) ; C 的坐标为 (0, 6) 。令抛物线的解析式为

1 y ? a( x ? 4)( x ? 6) ,把 C 的坐标代入得: a ? 4 ? (?6) ? 6 ,解得 a ? ? ,故抛物线的解析 4 1 1 2 1 式为 y ? ? ( x ? 4)( x ? 6) ? ? x ? x ? 6 。 4 4 2

2

点评: 知道抛物线与 x 轴的两个交点的坐标和抛物线上另一点的坐标时, 既可根据抛物 线的一般式来求解析式, 也可根据交点式来求解析式, 但选择后者求待定系数的值计算较前 者简单一些,所以,我们常常选择根据交点式来求抛物线的解析式。但根据交点式求抛物线 的解析式的前提条件是抛物线必须与 x 轴有交点 (即在 y ? ax2 ? bx ? c 中 ? ? b2 ? 4ac ? 0 ) 。 若抛物线与 x 轴只有一个交点(即顶点在 x 轴上),则令抛物线的解析式为 y ? a( x ? x1 )2 。 有时也要综合利用二次函数解析式的三种形式来求出待定系数的值。 例 5 设二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ,当 x ? 3 时取得最大值 10,并且它的图像在 x 轴上截 得的线段长为 4,求二次函数的解析式.

分析: 当 x=3 时,取得最大值 10 的二次函数可写成 y ? a( x ? 3)2 ? 10 且 a<0.又因 为抛物线的对称轴是 x ? 3 ,图像在 x 轴上截得的线段长是 4,所以由对称性,图像与 x 轴 交点的横坐标分别是 1,5.因此,二次函数又可写成 y ? a( x ? 1)( x ? 5) 的形式,故:

5 5 5 2 25 2 a ? 解得: ? ? , y ? ? ( x ? 3) ? 10 ? ? x ? 15 x ? a( x ? 3)2 ? 10 ? a (x ? 1)(x ? 5) 2 2 2 2
4、根据图像变换时点的坐标变化规律求抛物线的解析式 抛物线发生平移时,抛物线的解析式变化存在着一定的规律:○把抛物线 1

y ? ax2 ? bx ? c 向 左 或 右 平 移 m ( m>0 ) 个 单 位 得 到 的 抛 物 线 的 解 析 式 为
2 y ? a( x ? m)2 ? b( x ? m) ? c ;○把抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 向上或向下平移 n(n>0)个单 位得到的抛物线的解析式为 y ? ax ? bx ? c ? n .
2

例 6、 (甘肃兰州)把抛物线 y ? ? x 向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平
2

移后抛物线的解析式为


2

分析:第一种思路,把抛物线先向左平移 1 个单位得到的解析式应为 y ? ?( x ? 1) ;再 向上平移 3 个单位,则得到的抛物线的解析式为 y ? ?( x ? 1) ? 3 。第二种思路,令两次平
2

移后的抛物线上的任意一点的坐标为 ( x , y ) ,则这一点在原抛物线上的对应点的坐标为
2 ( x ? 1, y ? 3) , 把 点 ( x ? 1 y ? 3代 入 y ? ? x2 得 到 y ? 3 ? ? ( ? 1 ), 整 理 得 : , ) x

y ? ?( x ? 1)2 ? 3 ,故两次平移后的抛物线为 y ? ?( x ? 1)2 ? 3 。
点评:抛物线进行对称和旋转变换时,求变换后的抛物线的解析式也可以根据点的坐
3

标变化规律来求。 例 7、 (宁德市)如图,已知抛物线 C1: y ? a?x ? 2? ? 5 的顶点为 P,与 x 轴相交于
2

A、B 两点(点 A 在点 B 的左边) ,点 B 的横坐标是 1. (1)求 P 点坐标及 a 的值; (2)如图 (1) ,抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称,将抛物线 C2 向右平移,平移后的抛物线记为 C3, C3 的顶点为 M,当点 P、M 关于点 B 成中心对称时,求 C3 的解析式;
分析:本题不难求出P点的坐标为 (?2, ?5) ,a的值为 因此抛物线 C1 的解析式为 y ?

5 , 9

5 ( x ? 2) 2 ? 5 。 因为 C2 与 C1 关 9

于 x 轴对称, 所以可令抛物线 C2 上的任意一点的坐标为 ( x, y ) , 则抛物 线 C1 上的对应点的坐标为 ( x , ? y ) , 把 ( x , ? y ) 代入解析式 y ?

5 ( x ? 2)2 ? 5得 9

5 5 ? y ? ( x ? 2) 2 ? 5 , 整 理 得 : y ? ? ( x ? 2 2)? 5 即 抛 物 线 C2 的 解 析 式 为 , 9 9 5 y ? ? ( x ? 2) 2 ? 5 ;当点 M 与点 P 关于点 B 成中心对称时,抛物线 C3 就与抛物线 C2 关于 9
直线 x=1 对称,所以令抛物线 C3 的任意一点的坐标为 ( x, y ) ,则在抛物线 C2 上的对应点的 坐标为 (2 ? x, y ) (根据线段的中点坐标公式可得)把 (2 ? x, y ) 代入 y ? ? ( x ? 2) ? 5 得: ,

5 2 9 5 5 5 y ? ? (2 ? x ? 2) 2 ? 5 ? ? ( x ? 4) 2 ? 5 ,即抛物线 C3 的解析式为 y ? ? ( x ? 4) 2 ? 5 。 9 9 9

4



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