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1964年第六届IMO试题(不含答案)


第六届(1964 年) 苏联 莫斯科(Moscow,Soviet Union)
1. a) 求所有正整数 n 使得 2n—1 能被 7 整除; b) 求证不存在正整数 n 使得 2n+1 能被 7 整除。 (捷克斯洛伐克) 2. 假设 a、b、c 是三角形的三边长,求证:

a 2 (b ? c ? a) ? b2 (a ? c ? b) ? c 2 (a ? b ? c) ? 3abc(匈牙利)
3. 三角形 ABC 的三边长分别为 a、b、c。分别平行于三角形 ABC 的各边作三角 形 ABC 内切圆 的切线, 每条切线都在△ABC 中又切出一个小三角形, 再在每个 这样的小三角形中作内切圆,求这四个内切圆的面积之和(用 a、b、c 表示) 。 (南斯拉夫) 4. 十七个人互相通信,每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三 个不同的话题,每两个人只讨论一个话题,求证:这些人当中至少有三个人他们 所讨论的话题是一样的。 (匈牙利) 5.平面上有五个点,任意两点的连线都不平行,也不垂直,现从每一个点向其他 四点两两连接的直线作垂线,试求出所有这些垂线的交点的最大数目。 (罗马尼 亚) 6.四面体 ABCD 的中心是 D0 ,分别过 A、B、C 作 DD0 的平行线,这些线分别 交平面 BCD、 CAD、ABD 于点 A1、B1、C1,求证:ABCD 的体积是 A1B1C1D0 的三分之一;再问如果 D0 为三角形 ABC 内的任意一点,结果是否仍然成立? (波兰)


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