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2015全国高中数学联赛复习资料03



2013 年全国高中数学联合竞赛试题(A 卷) (一试)
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.
2 1:集合 A ? {2,0,1,3} , B ? {x ? x ? A, 2 ? x ? A} .则集合 B 中所有元素的和为______.

2:在平面直角坐标系 xOy 中,点 A, B 在抛物线 y 2 ? 4

x 上,满足 OA ? OB ? ?4 . F 是抛物 线的焦点,则 S?OFA ? S?OFB ? ______________.

3:在 ?ABC 中, sin A ? 10sin B sin C,cos A ? 10cos B cos C ,则 tan A 的值为_______.

4:已知正三棱锥 P ? ABC 的底面边长为 1,高为 2 ,则其内切球半径为__________.

5: 设 a , b 为实数,f ( x) ? ax ? b 满足: 对任意 x ? [0,1] 有 f ( x) ? 1.则 ab 的最大值为_____.

6:从 1,2,…,20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为_________.

7:若实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 2 x ? y ,则 x 的取值范围是____________________.

8: 已知数列 {an } 共有 9 项, 其中 a1 ? a9 ? 1 , 且对每个 i ?{1, 2, 则这样的数列的个数为_________.

,8} , 均有

ai ?1 1 ?{2,1, ? } , ai 2

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9: (本小题满分 16 分) 给定正数数列 {xn } 满足 Sn ? 2Sn?1 , n ? 2,3, 证明:存在常数 C ? 0 ,使得 xn ? C ? 2n , n ? 1, 2, .这里 Sn ? x1 ?

? xn .

10: (本小题满分 20 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2

A1 , A2 分别为椭圆的左、右顶点, F1 , F2 分别为椭圆的左、右焦点. P 为椭圆上不同于 A1 , A2 的任意一点.若平面中两个点 Q, R 满足 QA1 ? PA1 , QA2 ? PA2 , RF1 ? PF1 ,

RF2 ? PF2 , 试确定线段 QR 的长度与 b 的大小关系,并给出证明.

11: (本小题满分 20 分)函数 f ( x) ? ax ? b ,求所有的正实数对 ( a, b) ,使得对任意实数
2

x, y ,有 f ( xy) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y)

(二试)
1: (本题满分 40 分)如图, AB 是圆 ? 的一条弦, P 为弧 AB 内一点, E , F 为线段 AB 上两点,满足 AE ? EF ? FB .连接 PE, PF 并延长,与圆 ? 分别相交于点 C , D . 求证: EF ? CD ? AC ? BD .

2: (本题满分 40 分)给定正整数 u , v .数列 {an } 定义如下: a1 ? u ? v ,对整数 m ? 1 ,

?a2m ? am ? u, , 记 Sm ? a1 ? a2 ? ? a ? a ? v . 2 m ? 1 m ?

? am ( m ? 1, 2,

).

证明:数列 {Sn } 中有无穷多项是完全平方数.

3: (本题满分 50 分)一次考试共有 m 道试题, n 个学生参加,其中 m, n ? 2 为给定的整数. 每道题的得分规则是:若该题恰有 x 个学生没有答对,则每个答对该题的学生得 x 分,未答 对的学生得零分 .每个学生的总分为其 m 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为

p1 ? p2 ?

? pn ,求 p1 ? pn 的最大可能值.

4: (本题满分 50 分)设 n, k 为大于 1 的整数, n ? 2 .证明:存在 2 k 个不被 n 整除的整数,
k

若将它们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被 n 整除.



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