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2015全国高中数学联赛复习资料03



2013 年全国高中数学联合竞赛试题(A 卷) (一试)
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.
2 1:集合 A ? {2,0,1,3} , B ? {x ? x ? A, 2 ? x ? A} .则集合 B 中所有元素的和为______.

2:在平面直角坐标系 xOy 中,点 A, B 在抛物线 y 2 ? 4

x 上,满足 OA ? OB ? ?4 . F 是抛物 线的焦点,则 S?OFA ? S?OFB ? ______________.

3:在 ?ABC 中, sin A ? 10sin B sin C,cos A ? 10cos B cos C ,则 tan A 的值为_______.

4:已知正三棱锥 P ? ABC 的底面边长为 1,高为 2 ,则其内切球半径为__________.

5: 设 a , b 为实数,f ( x) ? ax ? b 满足: 对任意 x ? [0,1] 有 f ( x) ? 1.则 ab 的最大值为_____.

6:从 1,2,…,20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为_________.

7:若实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 2 x ? y ,则 x 的取值范围是____________________.

8: 已知数列 {an } 共有 9 项, 其中 a1 ? a9 ? 1 , 且对每个 i ?{1, 2, 则这样的数列的个数为_________.

,8} , 均有

ai ?1 1 ?{2,1, ? } , ai 2

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9: (本小题满分 16 分) 给定正数数列 {xn } 满足 Sn ? 2Sn?1 , n ? 2,3, 证明:存在常数 C ? 0