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2017版高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习 课件 第九章 平面解析几何 第2讲



第2讲

两直线的位置关系

最新考纲

1. 能根据两条直线的斜率判定这两条直线

平行或垂直; 2. 能用解方程组的方法求两条相交直线 的交点坐标; 3. 掌握两点间的距离公式、点到直线的 距离公式,会求两条平行直线间的距离.

知识梳理
1.两条直线平行与垂直的

判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2, 则有l ∥l ? k1=k2 .特别地,当直线l ,l 的斜率都不
1 2 1 2

存在时,l1与l2 平行 .
(2)两条直线垂直 如 果 两 条 直 线 l 1 , l 2 斜 率 都 存 在 , 设 为 k1 , k2 , 则 k2=-1 ,当一条直线斜率为零,另一条 l ⊥l ? k1 ·
1 2

直线斜率不存在时,两条直线 垂直 .

2.两直线相交

直线 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x+B2y+C2=0 的公共
? ?A1x+B1y+C1=0, 点的坐标与方程组? 的解一一对应. ? ?A2x+B2y+C2=0

相交?方程组有 唯一解 ,交点坐标就是方程组的解; 平行?方程组 无解 ; 重合?方程组有 无数个解
3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为 |P1P2|=

.

(x2-x1)2+(y2-y1)2 .

特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|= (2)点到直线的距离公式

x2 + y 2

.

平面上任意一点 P0(x0 , y0) 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离

|Ax0+By0+C| 2 2 A + B d .

(3)两条平行线间的距离公式 一般地,两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0 间的距离 d=

|C1-C2| A2+B2

.

诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时,一定有 k1=k2?l1∥l2.( × ) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直, 则它们的斜率之积一定等于-1.( × ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.( √ ) (4)已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1, A2,B2,C2 为常数),若直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0.( √ ) (5) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距 离.( √ )

2.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 ( ) B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0

A.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0

解析 设所求直线方程为 x-2y+c=0(c≠-2), 将(1, 0)代入得 c=-1,∴所求直线方程为 x-2y-1=0.

答案 A

3.已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于( A. 2 ) B.2- 2 C. 2-1 D. 2+1

|a-2+3| 解析 依题意得 =1. 1+1 解得 a=-1+ 2或 a=-1- 2. ∵a>0,∴a=-1+ 2.

答案 C

4.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是________.

1 解析 先将 2x+2y+1=0 化为 x+y+2=0, 1 |2- | 2 3 2 则两平行线间的距离为 d= = 4 . 2 3 2 答案 4

5.(人教A必修2P114A4改编)若直线(3a+2)x+(1-4a)y+ 8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=________. 解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+

(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.

答案 0或1

考点一 两直线的平行与垂直 【例1】 已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+ b=0,求满足下列条件的a,b的值. (1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.

解 (1)法一 由已知可得 l2 的斜率存在,∴k2=1-a. 若 k2=0,则 1-a=0,a=1. ∵l1⊥l2,直线 l1 的斜率 k1 必不存在,即 b=0. 4 又∵l1 过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即 a=3(矛盾)

∴此种情况不存在,∴k2≠0. a 即 k1,k2 都存在,∵k2=1-a,k1=b,l1⊥l2, a ∴k1k2=-1,即b(1-a)=-1.① 又∵l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.② 由①②联立,解得 a=2,b=2. 法二 由于 l1⊥l2,所以 a(a-1)+(-b)· 1=0.

即 b=a2-a.① 又因为 l1 过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0,②

? ?a=2, 联立①②可得? 经验证,符合题意.故 ? b = 2. ?

a=2,b=2.

(2)∵l2 的斜率存在,l1∥l2,∴直线 l1 的斜率存在, a k1=k2,即b=1-a.③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且 l1∥l2, 4 ∴l1,l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即b=b,④ ? ? ?a=2, ?a= , 3 联立③④,解得? 或? ? ?b=-2 ? 2 ?b=2. 2 ∴a=2,b=-2 或 a=3,b=2.

规律方法

(1) 当含参数的直线方程为一般式时 ,

若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在 的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况, 同时还要注意 x , y 的系数不能同时为零这一隐含 条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接

利用直线方程的系数间的关系得出结论.

【训练 1】 已知两直线 l1: x+ysin α -1=0 和 l2: 2x· sin α +y+1=0,求 α 的值,使得: (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2.

解 (1)法一 当 sin α =0 时, 直线 l1 的斜率不存在, l2 的斜率为 0,显然 l1 不平行于 l2.当 sin α ≠0 时, 1 k1=-sin α,k2=-2sin α .要使 l1∥l2, 1 2 需- =-2sin α ,即 sin α =± 2 . sin α

π 所以 α=kπ ± 4 ,k∈Z,此时两直线的斜率相等. π 故当 α=kπ ± 4 ,k∈Z 时,l1∥l2. 法二 由 A1B2-A2B1=0,得 2sin2α -1=0,

π 2 所以 sin α =± 2 ,所以 α=kπ ± 4 ,k∈Z. 又 B1C2-B2C1≠0,所以 1+sin α ≠0, π 即 sin α ≠-1.故当 α=kπ ± 4 ,k∈Z 时,l1∥l2.

(2)因为 A1A2+B1B2=0 是 l1⊥l2 的充要条件, 所以 2sin α +sin α =0, 即 sin α =0,所以 α=kπ ,k∈Z. 故当 α=kπ ,k∈Z 时,l1⊥l2.

考点二 两直线相交及距离公式的应用
【例 2】 (1)求经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的 交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5=0 垂直的直线 l 的方程. (2)直线 l 经过点 P(2,-5)且与点 A(3,-2)和点 B(-1,6)的 距离之比为 1∶2,求直线 l 的方程.
解 (1)法一
? ?x-2y+4=0, 解方程组? 得 ? x + y - 2 = 0 ?

P(0, 2).因为 l3 的斜率

3 4 为4,且 l⊥l3,所以直线 l 的斜率为-3,由斜截式可知 l 的方程 4 为 y=- x+2,即 4x+3y-6=0. 3

法二

设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0,

即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0. 又∵l⊥l3,∴3×(1+λ)+(-4)×(λ-2)=0, 解得 λ=11.∴直线 l 的方程为 4x+3y-6=0. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,此时直线 l 的方程为 x=2, 点 A 到直线 l 的距离为 d1=1,点 B 到直线 l 的距离为 d2 =3,不符合题意,故直线 l 的斜率必存在. ∵直线 l 过点 P(2,-5), ∴设直线 l 的方程为 y+5=k(x-2),即 kx-y-2k-5=0.

|3k-(-2)-2k-5| ∴点 A(3, -2)到直线 l 的距离 d1= = 2 k +1 |k-3| |-k-6-2k-5| ,点 B(-1,6)到直线 l 的距离 d2= 2 k +1 k2+1 |3k+11| |k-3| 1 = 2 .∵d1∶d2=1∶2,∴ =2, |3k+11| k +1 ∴k2+18k+17=0,∴k1=-1,k2=-17. ∴所求直线方程为 x+y+3=0 和 17x+y-29=0.

规律方法

(1)常见的三大直线系方程:①与直线 Ax+

By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(m∈R 且 m≠C);②与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0(m∈R);③过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2 : A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y +C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括 l2. (2)运用点到直线的距离公式时, 需把直线方程化为一般 式;运用两平行线的距离公式时,需先把两平行线方程 中 x,y 的系数分别化为相同的形式.

【训练2】 (1)如图,设一直线过点(-1,1),
它被两平行直线 l1 : x + 2y - 1 = 0 , l2 : x + 2y-3=0所截的线段的中点在直线l3:x-y -1=0上,则其方程为________. (2)直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相 等,则直线l的方程为________.
解析 (1)与 l1,l2 平行且距离相等的直线方程为 x+2y-2=0.

设所求直线方程为(x+2y-2)+λ(x-y-1)=0, 即(1+λ)x+(2-λ)y-2-λ=0.又直线过(-1,1), 1 ∴(1+λ)(-1)+(2-λ)· 1-2-λ=0.解得 λ=-3.

∴所求直线方程为 2x+7y-5=0. (2)法一 当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y-2

|2k-3+k+2| =k(x+1),即 kx-y+k+2=0.由题意知 = 2 k +1 |-4k-5+k+2| 1 ,即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-3.∴直线 2 k +1 1 l 的方程为 y-2=-3(x+1),即 x+3y-5=0. 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=-1,也符 合题意.综上,直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1.

法二

1 当 AB∥l 时,有 k=kAB=-3,直线 l 的方程为

1 y-2=- (x+1), 即 x+3y-5=0.当 l 过 AB 中点时, 3 AB 的中点为(-1,4).∴直线 l 的方程为 x=-1. 故所求直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1.

答案 (1)2x+7y-5=0 (2)x+3y-5=0或x=-1

考点三 对称问题
【例 3】 已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m: 3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程.
? 2 ?y+2· =-1, ?x+1 3 (1)设 A′(x, y) , 再由已知? y-2 ? x-1 2× 2 -3× 2 +1=0, ? ?



33 ? ?x=-13, ? 33 4? 解得? ∴A′?-13,13?. ? ? ?y= 4 , ? 13

(2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直 线 l 的对称点必在 m′上.设对称点为 M′(a,b),
? ? ? ? ? ?2×?a+2?-3×?b+0?+1=0, ? 2 ? ? 2 ? ?6 ? ? ? ? ? 30? 则? 解得 M′?13,13?. ? ? ?b-0×2=-1, ? ?a-2 3

设 m 与 l 的交点为

? ?2x-3y+1=0, N,则由? 得 ? ?3x-2y-6=0,

N(4,3).

又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线方程为 9x-46y+102=0.

(3)法一 在 l:2x-3y+1=0 上任取两点, 如 M(1,1),N(4,3),则 M,N 关于点 A 的对称点 M′, N′均在直线 l′上.易知 M′(-3,-5),N′(-6,-7), 由两点式可得 l′的方程为 2x-3y-9=0. 法二 设 P(x,y)为 l′上任意一点,

则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y),∵P′在直线 l 上, ∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即 2x-3y-9=0.

规律方法

(1)解决点关于直线对称问题要把握两点,

点M与点N关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,
直线l与直线MN垂直. (2)如果直线或点关于点成中心对称问题,则只需运用 中点公式就可解决问题. (3) 若直线 l1 , l2 关于直线 l 对称,则有如下性质:①若

直线 l1 与 l2 相交,则交点在直线 l 上;②若点 B 在直线 l1
上,则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.

【训练3】 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y

+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
解 法一
? ? ?x-2y+5=0, ?x=-1, 由? 得? ? ?3x-2y+7=0, ? ?y=2.

∴反射点 M 的坐标为(-1,2).

又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5,0), 设 P 关于直线 l 的对称点 P′(x0,y0), 2 y0 由 PP′⊥l 可知,kPP′=-3= x0+5

而 PP′的中点 Q

?x0-5 y ? 0? 的坐标为? ? 2 , 2 ?,又 ? ?

Q 点在 l 上,

2 ? y0 =- , ? 3 x0 +5 x0-5 y0 ? ∴3· 2 -2· + 7 = 0. 由 2 ?3(x0-5)-y0+7=0. ?2 17 ? ?x0=-13, 得? 根据直线的两点式方程可得所求反射光线 32 ?y0=- . 13 ? 所在直线的方程为 29x-2y+33=0.

法二

设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直

y0-y 2 线 l 的对称点为 P′(x,y),则 =- ,又 PP′的中点 3 x0-x
?x+x0 y+y0? ? Q? , ? 2 ?在 2 ? ?

x+x0 y+y0 l 上,∴3× 2 -2× 2 +7=0,

? ?y0-y=-2, 3 ? x 0 -x 由? x+x0 ? 3× 2 -(y+y0)+7=0. ? ?

可得 P 点的横、纵坐标分别为 -5x+12y-42 12x+5y+28 x0 = ,y0= , 13 13 代入方程 x-2y+5=0 中, 化简得 29x-2y+33=0, ∴所求反射光线所在的直线方程为 29x-2y+33=0.

[思想方法]
1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存 在且不重合的两条直线 l1,l2,l1∥l2?k1=k2;l1⊥l2?k1·k2 =-1.若有一条直线的斜率不存在, 那么另一条直线的斜率 一定要特别注意. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称 .利用 坐标转移法解决问题.

[易错防范]
1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜 率是否存在.若两条直线都有斜率,可根据判定定理判 断,若直线无斜率,要单独考虑. |C1-C2| 2.在运用两平行直线间的距离公式 d= 2 2时,一定 A +B 要注意将两方程中 x,y 的系数分别化为相同的形式.



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