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2013年高考新课标1卷理科数学试题及答案(精编WORD版)



2013 年普通高等学校招生全国统一考试新课标(1)理科数学(完整解析版) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷 满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷 一、 选择题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的一项。 1、已知集合 A={x|x2-2x>0} ,B={x|- 5<x< 5},则 ( ) A、A∩B=? B、A∪B=R C、B? A D、A? B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系,是容易题. 【解析】A=(- ? ,0)∪(2,+ ? ), ∴A∪B=R,故选 B. 2、若复数 z 满足 (3-4i)z=|4+3i |,则 z 的虚部为 ( ) 4 4 A、-4 (B)- (C)4 (D) 5 5 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算,是容易题. 【解析】由题知 z =

| 4 ? 3i | 4 42 ? 32 (3 ? 4i) 3 4 = = ? i ,故 z 的虚部为 ,故选 D. 3 ? 4i 5 (3 ? 4i)(3 ? 4i) 5 5

3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到 该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的 抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法,是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最合理的抽样方法是按学 段分层抽样,故选 C. x2 y2 5 4、已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 ( ) a b 2 1 1 1 A、y=± x (B)y=± x (C)y=± x (D)y=± x 4 3 2 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,是简单题. 【解析】由题知,

5 c 2 a 2 ? b2 b 1 b2 1 c 5 ,即 = 2 = ,∴ = ,∴ = ? ,∴ C 的渐近线方程为 ? 2 2 4 a 4 a 2 a a a 2
开始 ( ) 是 t<1 s=3t s = 4t-t2 输入 t 否

1 y ? ? x ,故选 C . 2
5、执行右面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于 A、[-3,4] B、[-5,2] C、[-4,3] D、[-2,5] 【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法,是简单题. 【解析】有题意知 当 t ? [?1,1) 时, s ? 3t ? [?3,3) 当 t ?[1,3] 时, s ? 4t ? t ? [3, 4] , ∴输出 s 属于[-3,4],故选 A .
2

输出 s 结束

6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注 水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( ) 500π 3 A、 cm 3 866π 3 B、 cm 3 1372π 3 C、 cm 3
-1-

2048π 3 D、 cm 3

【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式,是容易题. 【解析】设球的半径为 R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4,球心到截面圆的距离为 R-2,则

R2 ? ( R ? 2) 2 ?4 2 ,解得 R=5,∴球的体积为

4? ? 53 500π 3 cm ,故选 A. = 3 3

7、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m= ( ) A、3 B 、4 C、5 D、6 【命题意图】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及通项公式,考查方程思想,是容易题. 【解析】有题意知 Sm =

m(a1 ? am ) =0,∴ a1 =- am =-( Sm - Sm?1 )=-2, 2 am?1 = Sm?1 - Sm =3,∴公差 d = am?1 - am =1,∴3= am?1 =- 2 ? m ,∴ m =5,故选 C.
)

8、某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为( A、16+8π B、8+8π C、16+16π D、8+16π 2 2 4 2 4 主视图 侧视图

4

4 2

俯视图 【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体 积公式,是中档题. 【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4,上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体,故其体积为 ? ? 2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 = 16 ? 8? ,故选 A .
2

9、设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y)2m 为 b,若 13a=7b,则 m= ( )

1 2

+1

展开式的二项式系数的最大值

A、5 B、6 C 、7 D、8 【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式,考查方程思想,是容易题.
m m ?1 m m ?1 b 【解析】由题知 a = C2 m , = C2 m ?1 ,∴13 C2 m =7 C2 m ?1 ,即

13 ? (2m)! 7 ? (2m ? 1)! = , m !m ! (m ? 1)!m !

解得 m =6,故选 B. x2 y2 10、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB 的中点坐标 a b 为(1,-1),则 E 的方程为 ( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A、 + =1 B 、 + =1 C 、 + =1 D、 + =1 45 36 36 27 27 18 18 9 【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题,是中档题. 【解析】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 =2, y1 ? y2 =-2,

x12 y12 ? ?1 a 2 b2



2 2 x2 y2 ? ?1 a 2 b2



-2-

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0, a2 b2 0 ?1 1 b2 1 y1 ? y2 b2 ( x1 ? x2 ) b 2 2 2 2 2 ∴ k AB = =? 2 = 2 ,又 k AB = = ,∴ 2 = ,又 9= c = a ? b ,解得 b =9, 3 ?1 2 a 2 x1 ? x2 a ( y1 ? y2 ) a
①-②得

x2 y 2 ? 1 ,故选 D. a =18,∴椭圆方程为 ? 18 9
2

?-x2+2x ? 11、已知函数 f(x)=? ?ln(x+1) ?

,若| f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( ) x>0 A、 (-∞,0] B、 (-∞,1] C、[-2,1] D、[-2,0] 【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法,是难题。

x≤0

?x ? 0 ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ?x ? 0 【解析】∵| f ( x ) |= ? ,∴由| f ( x ) |≥ ax 得, ? 2 且? , ? x ? 2 x ? ax ?ln( x ? 1) ? ax ?ln( x ?1), x ? 0 ?x ? 0 由? 2 可得 a ? x ? 2 ,则 a ≥-2,排除A,B, ? x ? 2 x ? ax 当 a =1 时,易证 ln( x ? 1) ? x 对 x ? 0 恒成立,故 a =1 不适合,排除 C,故选 D.
12、设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,… cn+an bn+an 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= ,cn+1= ,则( ) 2 2 A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 【命题意图】本题主要考查由递推公式求通项公式,三角形面积海伦公式,属于难题 【解析】B

b1 ? 2a1 ? c1 ? 0且b1 ? c1 ?2a1 ? c1 ? c1 ?a1 ? c1 ?b1 ? a1 ? 2a1 ? c1 ? a1 ? a1 ? c1 ? 0?b1 ? a1 ? c1
又b1 ? c1 ? a1 ? 2a1 ? c1 ? c1 ? a1 ? 2c1 ? a1 ? c1 ? 由题意,bn ?1 ? cn ?1 ? a1 2

bn ? cn 1 ? a1 ? bn ?1 ? cn ?1 ? 2a1 ? (bn ? cn ? 2a1 ) 2 2 ?bn ? cn ? 2an ? 0?bn ? cn ? 2an ? 2a1 ?bn ? cn ? 2a1 c ?b 2a ? b ? b 又由题意,bn ?1 ? cn ?1 ? n n ? bn ?1 ? (2a1 ? bn ?1 ) ? 1 n n ? a1 ? bn 2 2 1 1 ? bn ?1 ? a1 ? (a1 ? bn ) ? bn ? a1 ? (b1 ? a1 )(? ) n ?1 2 2 1 1 ? bn ? a1 ? (b1 ? a1 )(? ) n ?1 , cn ? 2a1 ? bn ? a1 ? (b1 ? a1 )(? ) n ?1 2 2 3a 3a 1 ? ? 3a 1 ? ? 3a ? Sn 2 ? 1 ( 1 ? a1 ) ? 1 ? a1 ? (b1 ? a1 )(? )n?1 ? ? 1 ? a1 ? (b1 ? a1 )(? )n?1 ? 2 2 2 ?? 2 2 ? ? 2

? ?a 2 ? 3 ?a 2 1 ? a12 ? 1 ? ( )n?1 (b1 ? a1 )2 ? 单调递增(可证当n=1时 ? 1 ? (b1 ? a1 )2 ? ? 0) 4 ? 4 4 ? ? 4 ?
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22) 题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13、已知两个单位向量a,b的夹角为60° ,c=ta+(1-t)b,若b· c=0,则t=_____. 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积,是容易题.
-3-

【解析】 b c = b ? [ta ? (1 ? t )b] = ta ? b ? (1 ? t )b2 =

1 1 t ? 1 ? t = 1 ? t =0,解得 t = 2 . 2 2

2 1 14、若数列{an}的前 n 项和为 Sn= an+ ,则数列{an}的通项公式是 an=______. 3 3 【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第 n 项与其前 n 项和的关系,是容易题. 【解析】当 n =1 时, a1 = S1 =

2 1 a1 ? ,解得 a1 =1, 3 3 2 1 2 2 1 2 当 n ≥2 时, an = Sn ? Sn?1 = an ? -( an ?1 ? )= an ? an ?1 ,即 an = ?2an?1 , 3 3 3 3 3 3 n ?1 ∴{ an }是首项为 1,公比为-2 的等比数列,∴ an = (?2) .

15、设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______ 【解析】∵ f ( x ) = sin x ? 2 cos x = 5( 令 cos ? =

5 2 5 sin x ? cos x) 5 5

5 2 5 , sin ? ? ? ,则 f ( x ) = 5(sin x cos ? ? sin ? cos x) = 5 sin( x ? ? ) , 5 5 ? ? ? 当 x ? ? = 2 k? ? , k ? z , 即 x = 2k? ? ? ? , k ? z 时, f ( x ) 取最大值, 此时 ? = 2k? ? ? ? , k ? z , 2 2 2 2 5 ? ∴ cos ? = cos(2k? ? ? ? ) = sin ? = ? . 2 5
本题还可用反三角函数理解,求解。 16、若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是______. 【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值,是难题. 【解析】由 f ( x ) 图像关于直线 x =-2 对称,则 0= f (?1) ? f (?3) = [1 ? (?3)2 ][(?3)2 ? 3a ? b] , 0= f (1) ? f (?5) = [1 ? (?5)2 ][(?5)2 ? 5a ? b] ,解得 a =8, b =15, ∴ f ( x ) = (1 ? x )( x ? 8x ? 15) ,
2 2

∴ f ?( x ) = ?2x( x ? 8x ? 15) ? (1 ? x )(2x ? 8) = ?4( x ? 6 x ? 7 x ? 2)
2 2 3 2

= ?4( x ? 2)( x ? 2 ? 5)( x ? 2 ? 5) 当 x ∈(-∞, ?2 ? 5 )∪(-2, ?2 ? 5 )时, f ?( x ) >0, 当 x ∈( ?2 ? 5 ,-2)∪( ?2 ? 5 ,+∞)时, f ?( x ) <0, ∴ f ( x ) 在(-∞, ?2 ? 5 )单调递增,在( ?2 ? 5 ,-2)单调递减,在(-2, ?2 ? 5 )单调 递 增 , 在 ( ?2 ? 5 , +∞ ) 单 调 递 减 , 故 当

x = ?2 ? 5 和 x = ?2 ? 5 时 取 极 大 值 ,
C

f (?2 ? 5) = f (?2 ? 5) =16.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、(本小题满分12分) 如图,在△ABC中,∠ABC=90° ,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 P (2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA A 【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式,是容易题. 【解析】 ( Ⅰ ) 由 已 知 得 , ∠PBC= 60 , ∴∠PBA=30o , 在 △PBA 中 , 由 余 弦 定 理 得
o

B

PA2 = 3 ?

1 1 7 7 ? 2 ? 3 ? cos 30o = ,∴PA= ; 4 2 4 2
-4-

(Ⅱ)设∠PBA= ? ,由已知得,PB= sin ? ,在△PBA 中,由正弦定理得, 化简得, 3 cos ? ? 4sin ? , ∴ tan ? =

3 sin ? , ? o sin150 sin(30o ? ? )

3 3 ,∴ tan ?PBA = . 4 4

18、 (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1, ∠BAA1=60° . (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。 【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直 的判定与性质及线面角的计算,考查空间想象能力、逻 辑推论证能力,是容易题. 【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE, A 1B , A 1E , ∵AB= AA1 , ?BAA1 = 60 ,∴ ?BAA1 是正三角形,
0

∴A 1E ⊥AB, ∴AB⊥ AC 1 ;

∵CA=CB,

∴CE⊥AB, ……6分

∵ CE ? A1E =E,∴AB⊥面 CEA1 , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 ABB1 A 1 ,面 ABC∩ 面 ABB 1A 1 =AB , ∴EC⊥面 ABB1 A 1 ,∴EC⊥ EA 1, ∴EA,EC, EA1 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, EA 的 方向为 x 轴正方向,| EA |为单位长度,建立如图所示空间 直角坐标系 O ? xyz , 有 题 设 知 A(1,0,0), A 1 (0, 1,0, 3 ), AC 1 =(0,- 3 , 3 ),

3 ,0),C(0,0, 3 ),B( - 1,0,0), 则 BC = ( 1,0 , 3 ) , BB1 = AA1 =( -
……9 分

设 n = ( x, y, z ) 是平面 CBB1C1 的法向量, 则?

? ?n ? BC ? 0 ? ?n ? BB1 ? 0

? ?x ? 3y ? 0 n ? A1C 10 ∴ cos n, A1C = , | n || A1C | 5

,即 ?

? ? x ? 3z ? 0

,可取 n =( 3 ,1,-1),

∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

10 . 5

……12 分

19、 (本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品 的件数记为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如 果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产 品都不能通过检验。

1 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为 2 ,且各件产品是否为优质品
相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需 的费用记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。 【命题意图】
-5-

【解析】设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A,第一次取出的 4 件产品中全为优质品为 事件 B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C, 第二次取出的 1 件产品是 优质品为事件 D, 这批 产品通过检验为事件 E,根据题意有 E=(AB)∪(CD),且 AB 与 CD 互斥, ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= C4 ( ) ?
3 2

1 2

1 1 4 1 4 1 3 ? ( ) + ( ) ? = .…6 分 2 2 2 2 64

(Ⅱ)X 的可能取值为 400,500,800,并且 P(X=400)=1- C4 ( ) ?
3 3

1 2

1 1 4 11 1 1 1 3 1 3 ? ( ) = ,P(X=500)= ,P(X=800)= C4 ( ) ? = , 2 2 16 16 2 2 4
40 00 5 00 8

∴X 的分布列为 X 0 P

11 16

1 16

1 4
……10 分

EX=400×

11 1 1 +500× +800× =506.25 16 16 4

……12 分

(20)(本小题满分 12 分) 已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲 线 C (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|. 【命题意图】 【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径 r1 =1,圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 r2 =3. 设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为R. (Ⅰ)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|= ( R ? r 1 ) ? (r 2 ? R) = r 1 ? r2 =4, 由椭圆的定义可知, 曲线C是以M, N为左右焦点, 场半轴长为2, 短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外),

(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 P ( x , y ),由于|PM|-|PN|= 2 R ? 2 ≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆P的半径最长时,其方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,
2 2

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 其方程为 4 3

当 l 的倾斜角为 90 时,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 当 l 的倾斜角不为 90 时, 由 r1 ≠R知 l 不平行 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为Q, 则 0),∴设 l : y ? k ( x ? 4) ,由 l 于圆M相切得 当k =
0

0

| QP | R = , 可求得Q (-4, | QM | r1

| 3k | 1? k 2

? 1 ,解得 k ? ?

2 . 4

x2 y 2 2 2 ? 1( x ? ?2) 并整理得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 ,解得 x ? 2 代入 ? 时,将 y ? 4 3 4 4 18 ?4 ? 6 2 2 ,∴|AB|= 1 ? k | x1 ? x2 | = . x1,2 = 7 7 18 2 当 k =- 时,由图形的对称性可知|AB|= , 7 4 18 综上,|AB|= 或|AB|= 2 3 . 7
(21)(本小题满分共 12 分)
-6-

已知函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有 相同的切线 y=4x+2 (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值 (Ⅱ)若 x≥-2 时, f ( x) ? kg ( x) ,求 k 的取值范围。 【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值, 考查运算求解能力及应用意识,是中档题. 【解析】 (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 , 而 f ?( x ) = 2 x ? b , g ?( x ) = e x (cx ? d ? c) ,∴ a =4, b =2, c =2, d =2;……4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 , g ( x) ? 2e x ( x ? 1) , 设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2kex ( x ? 1) ? x2 ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ) ,

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ?1) , 有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 , 令 F ?( x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2,
(1)若 1 ? k ? e ,则-2< x1 ≤0,∴当 x ? (?2, x1 ) 时, F ( x) <0,当 x ? ( x1, ??) 时, F ( x) >0,即
2

F ( x) 在 (?2, x1 ) 单 调 递 减 , 在 ( x1 , ??) 单 调 递 增 , 故 F ( x) 在 x = x1 取 最 小 值 F ( x1 ) , 而

F ( x1 ) = 2x1 ? 2 ? x12 ? 4x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x ) ≤ kg ( x) 恒成立, 2 (2)若 k ? e ,则 F ?( x) = 2e2 ( x ? 2)(ex ? e2 ) , ∴当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F (?2) =0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x ) ≤ kg ( x) 恒成立, 2 ?2 (3)若 k ? e ,则 F (?2) = ?2ke ? 2 = ?2e?2 (k ? e2 ) <0, ∴当 x ≥-2 时, f ( x ) ≤ kg ( x) 不可能恒成立, 2 综上所述, k 的取值范围为[1, e ].
请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按 所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在 圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D。

(Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径。 【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识,是容易题. 【解析】 (Ⅰ)连结DE,交BC与点G. 由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE, 又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE= 90 ,由勾股定理可得DB=DC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,∴BG= 设DE中点为O,连结BO,则∠BOG= 60 ,∠ABE=∠BCE=∠CBE= 30 ,
-7o
o
0

3 . 2

∴CF⊥BF,

∴Rt△BCF的外接圆半径等于

3 . 2

(23) (本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 ?x=4+5cost 已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数) , 以坐标原点为极点, ?y=5+5sint x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) 【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求 法、极坐标与直角坐标互化,是容易题. 【解析】将 ?

? x ? 4 ? 5cos t 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 , ? y ? 5 ? 5sin t ? x ? ? cos ? 即 C1 : x2 ? y 2 ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 ,将 ? 代入 x2 ? y 2 ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 得, ? y ? ? sin ?

? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ?16 ? 0 , ∴ C1 的极坐标方程为 ? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ? 16 ? 0 ;
(Ⅱ) C2 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 , 由?

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ?x ? 1 ?x ? 0 ? ? 解得 ? 或? ,∴ C1 与 C2 的交点的极坐标分别为( 2, ) , 2 2 4 ? ?y ?1 ?y ? 2 ?x ? y ? 2 y ? 0

2 , ()

?

2

.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 【命题意图】已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; a 1 (Ⅱ)设 a>-1,且当 x∈[- , )时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. 2 2 本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围,是容易题. 【解析】当 a =-2时,不等式 f ( x ) < g ( x) 化为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ? 0 ,

1 ? x? ? ?5 x , 2 ? 1 ? ? x ? 1, 设函数 y = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 , y = ? ? x ? 2, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1 ? ? 其图像如图所示,从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时, y <0,∴原不等式解集是 {x | 0 ? x ? 2} . a 1 (Ⅱ)当 x ∈[ ? , )时, f ( x ) = 1 ? a ,不等式 f ( x ) ≤ g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 , 2 2 4 a 1 a ∴ x ? a ? 2 对 x ∈[ ? , )都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ≤ , 3 2 2 2 4 ∴ a 的取值范围为(-1, ]. 3

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