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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:8.7 抛物线



第八章

第7讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 济南质检]如果抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y-12 =0 上,那么抛物线的方程是( A. y2=-16x C. y2=16x 答案:C 解析:由题设知直线 3x-4y-12=0 与 x 轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点

,故其方程为 y2=16x. 2. [2013· 聊城模拟]点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是 ( ) A. y=12x2 B. y=12x2 或 y=-36x2 C. y=-36x2 1 1 D. y= x2 或 y=- x2 12 36 答案:D 1 1 1 1 解析:将 y=ax2 化为 x2= y,当 a>0 时,准线 y= ,由已知得 3+ =6,∴ =12, a 4a 4a a 1 1 1 1 1 ∴a= .当 a<0 时,准线 y=- ,由已知得|3+ |=6,∴a=- 或 a= (舍). 12 4a 4a 36 12 x2 1 ∴抛物线方程为 y= 或 y=- x2,故选 D. 12 36 3. [2013· 南通模拟]已知点 A(3,4),F 是抛物线 y2=8x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当 |AM|+|MF|最小时,M 点坐标是( A. (0,0) C. (2,4) 答案:C 解析: 由题知点 A 在抛物线内. M 到准线的距离为|MK|, 设 则|MA|+|MF|=|MA|+|MK|, 当|MA|+|MK|最小时,M 点坐标是(2,4). x2 y2 4. 抛物线 y2=-12x 的准线与双曲线 - =1 的两条渐近线所围成的三角形的面积等 9 3 ) B. (3,2 6) D. (3,-2 6) ) B. y2=12x D. y2=-12x

于 (

) A. 3 3 C. 2 答案:A 解析:抛物线的准线为 x=3, 3 双曲线的两条渐近线 y=± x. 3 1 所求三角形的面积 S= ×2 3×3=3 3. 2 故应选 A. 5. [2013· 太原调研]设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于 B. 2 3 D. 3

点 A.若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y2=± 4x C. y2=4x 答案:B a 解析:由抛物线方程知焦点 F( ,0), 4 B. y2=± 8x D. y2=8x

)

a ∴直线 l 为 y=2(x- ), 4 a 与 y 轴交点 A(0,- ). 2 1 ∴S△OAF= · |OF| |OA|· 2 1 a a a2 = · |· |= =4. |- | 2 2 4 16 ∴a=± 8, ∴抛物线方程为 y2=± 8x. 6. [2013· 德州模拟]抛物线 y=x2 上一点到直线 2x-y-4=0 的距离最短的点的坐标是

(

) 1 1 A. ( , ) 2 4 3 9 C. ( , ) 2 4 答案:B 解析:方法一:设抛物线上任一点为(x,y),则由点到直线的距离得 |2x-y-4| |2x-x2-4| |?x-1?2+3| d= = = 5 5 5 ?x-1?2+3 3 = ≥ . 5 5 当 x=1 时,取得最小值,此时点的坐标为(1,1). 方法二:设 2x-y+m=0 与 y=x2 相切,则 x2-2x-m=0. Δ=4+4m=0,∴m=-1,此时 x=1, ∴点的坐标为(1,1). 方法三:(导数法)y=x2 的导数为 y′=2x,设所求点为 P(x0,y0),则 2x0=2. ∴x0=1,∴P(1,1). 二、填空题 7. [2013· 日照模拟]已知抛物线 y2=2px(p>0), 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、 B. (1,1) D. (2,4)

B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为________. 答案:x=-1

?y=x-p, ? p 2 解析:直线方程为 y=x- ,由? 2 2 ?y =2px, ?

得 y2-2py-p2=0.设 A 和 B 的纵坐标分别

为 y1 和 y2,由韦达定理知 y1+y2=2p,又线段 AB 的中点的纵坐标为 2,所以 p=2.于是抛物 线的准线方程为 x=-1,也可用点差法快速破解. 8. 已知抛物线 y2=4x 的弦 AB 的中点的横坐标为 2,则|AB|的最大值为________.

答案:6 解析:利用抛物线的定义可知,设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=4,那么|AF|+|BF|= x1+x2+2,由图可知|AF|+|BF|≥|AB|?|AB|≤6,当 AB 过焦点 F 时取最大值为 6. 9. [2012· 北京高考]在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物 线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60° ,则△OAF 的面积为 ________. 答案: 3 解析:由已知得抛物线的焦点坐标为(1,0),直线 l 的方程为 y=tan60° (x-1),即 y= 3x - 3,

?y= 3x- 3, 联立得? 2 ?y =4x. ②
由①得 x=



3 y+1, ③ 3

4 3 将③代入②并整理得 y2- y-4=0, 3 2 解得 y1=2 3或 y2=- 3. 3 又点 A 在 x 轴上方,∴A(3,2 3). 1 1 ∴S△OAF= ×|OF|×|y1|= ×1×2 3= 3. 2 2 三、解答题

10. 已知如图,抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 在抛物线上,其横坐标为 4,且位于 x 轴上方,A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N 的坐标. 解:(1)抛物线 y2=2px(p>0)的准线为 p p x=- ,于是 4+ =5,∴p=2. 2 2 ∴抛物线的标准方程为 y2=4x.

(2)由(1)得点 A 的坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2), 4 ∵F(1,0),∴kFA= . 3 3 ∵MN⊥FA,∴kMN=- . 4 4 则 FA 所在直线的方程为 y= (x-1), 3 3 MN 所在直线的方程为 y-2=- x. 4

?y=3?x-1?, 解方程组? 3 ?y-2=-4x,
4 8 4 ∴N( , ). 5 5

?x=5, 得? 4 ?y=5.
8

11. [2013· 东城检测]已知动圆过定点 F(0,2),且与定直线 l:y=-2 相切. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)若 AB 是轨迹 C 的动弦,且 AB 过点 F(0,2),分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的切线, 设两切线交点为 Q,求证:AQ⊥BQ. 解:(1)依题意,圆心的轨迹是以 F(0,2)为焦点,l:y=-2 为准线的抛物线, 因为抛物线焦点到准线的距离等于 4, 所以圆心的轨迹方程是 x2=8y. (2)证明:因为直线 AB 与 x 轴不垂直, 设 AB:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).

?y=kx+2, ? 由? 1 2 可得 x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16. ?y=8x , ?
1 1 抛物线方程为 y= x2,求导得 y′= x. 8 4 1 1 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 k1= x1,k2= x2, 4 4 1 1 1 k1·2= x1·x2= x1·2=-1. k x 4 4 16 所以 AQ⊥BQ. 12. [2013· 安徽蚌埠模拟]已知定点 A(1,0)和直线 x=-1 上的两个动点 E, 且AE⊥AF, F, 动点 P 满足EP∥OA, FO∥OP(其中 O 为坐标原点). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;













(2)过点 B(0,2)的直线 l 与(1)中的轨迹 C 相交于两个不同的点 M,N,若AM· <0,求直 AN 线 l 的斜率的取值范围. 解:(1)设 P(x,y),E(-1,yE),F(-1,yF). ∵AE· =(-2,yE)· AF (-2,yF) =yE·F+4=0, y ∴yE·F=-4.① y 又EP=(x+1,y-yE),FO=(1,-yF), 且EP∥OA,FO∥OP, ∴y-yE=0 且 x(-yF)-y=0. y ∴yE=y,yF=- ,代入①得 y2=4x(x≠0), x ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x(x≠0). (2)设 l:y-2=kx(易知 k 存在), 联立 y2=4x 消去 x,得 ky2-4y+8=0. 令 M(x1,y1),N(x2,y2), 4 8 则 y1+y2= ,y1·2= , y k k AM· =(x1-1,y1)· 2-1,y2) AN (x =x1x2-(x1+x2)+1+y1y2 =
2 2 2 y1·2 y1+y2 y2 - +1+y1y2 16 4

→ →

→ →

→ →









→ →

2 y1y2 2 ?y1+y2? 3 =( )- + y1y2+1 4 4 2



12 +1<0,∴-12<k<0, k

则实数 k 的取值范围为(-12,0).



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