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2.2.2椭圆的简单几何性质教案



邹城一中 三案一体

《椭圆的简单几何性质》

高二数学

唐亚芹

《椭圆的简单几何性质》教案
【教学目标】 1.知识目标: (1)使学生掌握椭圆的性质,能根据性质正确地作出椭圆草图;掌握椭圆中 a、b、c 的几何意义及相互关系; (2) 通过对椭圆标准方程的讨论,使学生知道在解析几何中

是怎样用代数方 法研究曲线性质的,逐步领会解析法(坐标法)的思想。 (3) 能利用椭圆的性质解决实际问题。 2.能力目标: 培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决 实际问题的能力。 3.德育目标: (1)通过对问题的探究活动,亲历知识的建构过程,使学生领悟其中所蕴涵 的数学思想和数学方法,体验探索中的成功和快乐,使学生在探索中喜欢数学、 欣赏数学。 (2)培养学生既能独立思考,又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创 新的精神。 【教学重点】椭圆性质的探索过程及性质的运用。 【教学难点】利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。 【教学方法】发现探究式 【教学组织方式】学生独立思考、合作交流、师生共同探究相结合。 【教学过程】 一.创设情境 教师:2008.9.25,是我国航天史上一个非常重要的日子, “神舟 七号”载人 飞船成功发射, 实现了几代中国人遨游太空的梦想,这是我们中华民族的骄傲。 我们知道,飞船绕地运行了十四圈,在变轨前的四圈中,是沿着以地球中 心为一个焦点的椭圆轨道运行的。 如果告诉你飞船飞离地球表面最近和最远的距 离, 即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离,如何确定飞船运行的轨道方 程?要想解决这一实际问题, 就有必要对椭圆做深入的研究,这节课我们就一起 探求椭圆的性质。 (引出课题) 教师: 前面我们学习了椭圆的定义和标准方程, 谁能说说椭圆的标准方程 (学 生回答) 。 二.探索研究 1. 范围 教师:同学们继续观察椭圆,如果分别过 A1、A2 作 y 轴的平行线,过 B1、 B2 作 x 轴的平行线(课件展示) ,同学们能发现什么? 学生能答出:椭圆围在一个矩形内。 教师补充完整:椭圆位于四条直线 x=±a, y=±b 所围成的矩形里,说明椭圆 是有范围的。 教师:下面我们想办法再用方程
x2 y2 + =1(a>b>0)来证明这一结论的正确 a 2 b2

性。启发学生,用方程讨论图形的范围就是确定方程中 x、y 的取值范围。

从方程的结构特点出发,师生共同分析,给出证明过程。 由
x2 y2 + =1,利用两个实数的平方和为 1,结合不等式知识得, a 2 b2

x 2 ≤a 2 且 y 2 ≤b 2 ,则有|x|≤a,|y|≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。 2.对称性的发现与证明 教师:椭圆的图形给人们以视觉上的美感(课件展示椭圆) ,如果我们沿焦 点所在的直线上下对折, 沿两焦点连线的垂直平分线左右对折,大家猜想椭圆可 能有什么性质?(学生动手折纸,课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的 椭圆拿来。 ) 学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。 教师:除了轴对称性外,还可能有什么对称性呢? 稍作提示容易发现中心对称性。 教师:这仅仅是由观察、猜想得到的结果,怎样用方程证明它的对称性? 师生讨论后,需要建立坐标系,确定椭圆的标准方程。不妨建立焦点在 x 轴上的椭圆的标准坐标系,它的方程就是
x2 y2 + =1。 a 2 b2

教师:这节课就以焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为例来研究椭圆的性质。 教师:这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴,我们先证椭圆关于 y 轴对称。 为了证明对称性,先作如下铺垫: (一起回顾) 教师:在第一册学过,曲线关于 y 轴对称是指什么呢? 学生:曲线上的每一点关于 y 轴的对称点仍在曲线上。 教师:要证曲线上每一点关于 y 轴的对称点仍在曲线上,只要证明----学生:曲线上任意一点关于 y 轴的对称点仍在曲线上。 教师:同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程,仔细体会并思考“为什么 把 x 换成-x 时,方程不变,则椭圆关于 y 轴对称” 。 请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程,以此来训练学生表述的逻辑性、完 整性和推理的严谨性。 教师对学生的证明进行评价。 教师:用类似的方法可以证明椭圆关于 x 轴对称,关于原点对称。课件展示 对称性并总结:方程
x2 y2 + =1 表示的椭圆,坐标轴是其对称轴,原点是其对称 a 2 b2

中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心). 3.顶点的发现与确定 教师: 我们研究曲线, 常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。 教师提问:你认为椭圆上哪几个点比较特殊? 由学生观察容易发现, 椭圆上存在着四个特殊点,这四个点就是椭圆与坐标 轴的交点,同时也是椭圆与它的对称轴的交点。 教师启发学生与一元二次函数的图像(抛物线)的顶点作类比,并给出椭圆 的顶点定义。

教师:能根据方程确定这四个顶点的坐标吗? 由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令 x=0,得 y=±b,因此 B1(0,-b), B2(0,b) ,令 y=0,得 x=±a,因此 A1 (-a,0), A2(a,0)。 结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长,半焦距, 点明方程中 a、b 和 c 的几何意义和数量关系。 4.离心率 教师:我们在学习椭圆定义时,用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样 吗? 同学们能回答出:不一样,有的圆一些,有的扁一些。 请同学们思考:椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢? 课件动画演示 此时学生展开讨论,可能有的说与 a、c 有关,也可能说与 a、b 有关等等。 通过观察演示实验,化抽象为具体,引导学生思考。 教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线 x=±a,y=±b 围成的矩形 里,矩形的变化对椭圆形状的影响。 矩形越狭长,椭圆越扁;矩形越接近于正方形,椭圆越接近于圆;当矩形变 为正方形时,即 a=b 时,椭圆变为圆。 b b 即当比值 越小,椭圆越扁;比值 越大,椭圆越接近于圆。 a a 由于 越扁;当
b c b c a2 ? c2 a2 ? c2 = = = 1 ? ( ) 2 ,所以当 越大时, 越小,椭圆 2 a a a a a a

c b c 越小时, 越大,椭圆越接近于圆。把比值 e= 叫椭圆的离心率, a a a 分析出离心率的范围:0<e<1。 结论:椭圆离心率 e 越大,它就越扁;离心率 e 越接近于 0,它就越接近于 圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。 b c 由上面的分析可以看到,比值 、 的大小都能反映椭圆的圆扁程度,为什 a a c 么定义 是椭圆的离心率呢?因为 a、c 这两个量是椭圆定义中固有的,是决定 a c 椭圆形状最关键的要素,随着今后的学习可以看到 还有更重要的几何意义。 a 三.典例精析

例 1 求椭圆 16x 2 ? 25y 2 ? 400 的长轴长、短轴长、离心率和顶点,并画出 它的草图。 本题采用讲练结合的方式。 前一部分由学生口述求解过程,后一部分由教师 介绍画椭圆草图的方法(考虑到画草图对学生来说比较实用) 。

例 2. 求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于 20,离心率等于 0.6. 此题是由性质来求椭圆的标准方程,一是让学生进一步熟悉性质;二是让学生体会数形 结合及分类讨论的思想方法。

例 3. 如图, 一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分. 过 对对称的截口 BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F 上, 1 片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个焦点 F 发出的光线,经过旋转 1 椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 . 已知 BC ? F1 F2 , F B ? 2.8cm , 1

F1 F2 ? 4.5cm .建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.
此题是椭圆性质的应用。首先建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的值;此题应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;② a 2 b2
关于 a, b, c 的近似值,原则上在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定.

四.课堂练习:
1. 已知 F1、 2 是椭圆的两个焦点, F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、 两点, F 过 B 若△ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) 3 2 2 3 A. B. C. D. 3 3 2 2 2 2 x y 2.如图,A、B、C 分别为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的顶点与焦点,若∠ABC=90° ,则 a b 该椭圆的离心率为( )

-1+ 5 A. 2

B.1-

2 2

C. 2-1

D.

2 2

x2 y2 3.F1、F2 是椭圆 2+ =1 的两焦点,P 为椭圆的一个顶点,若△PF1F2 是等边三角形, a 9 2 则 a =________. x2 y2 1 4.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 a b 2 的两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)与圆 x2+y2=2 的位置关系是________.(填“在 圆内”、“在圆上”或“在圆外”)

五小结:
1.知识小结: (1) 学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 (2) 研究了椭圆的几个基本量 a,b,c,e 及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系 2.数学思想方法: (1)数与形的结合,用代数的方法解决几何问题。 (2)分类讨论的数学思想。

六.作业:
课本 习题 2.2A 组 3、4、5 七.板书设计: 2.2.2 椭圆的简单几何性质 1. 椭圆的简单几何性质 2.典型例题 例 1. 例 2. 例 3.

强调:

课堂练习参考答案
x2 y2 b4 2b2 1.【解析】 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),令 x=± 得 y2= 2,∴|AB|= , c a b a a 3 2b2 c 3 由题意得:2c= · ,即 3a4-10a2c2+3c4=0,∴a2=3c2,∴e= = .【答案】 A 2 a a 3 2. 【解析】 由已知得 a2+(a2+b2)=(a+c)2,即 c2+ac-a2=0,∴e2+e-1=0, -1+ 5 ∵1>e>0,∴e= .【答案】 A 2 2 3. 【解析】 若 a >9,则有 a2=4(a2-9),解得 a2=12.若 a2<9,则有 9=4(9-a2),

27 27 解得 a2= .【答案】 12 或 4 4 c 1 4. 【解析】 由已知得 = ,∴a=2c,∴b2=a2-c2=3c2,∴b= 3c,∴方程即为 2cx2 a 2 3 1 3 2 + 3cx-c=0, 2+ 3x-1=0, 1+x2=- , 1x2=- , 2+x2=(x1+x2)2-2x1x2= + 2x ∴x x x 2 2 1 4 7 1= <2.∴点 P(x1,x2)在圆 x2+y2=2 内. 【答案】 在圆内 4



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