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第2篇 第4讲 幂函数与二次函数


第4讲 幂函数与二次函数
[最新考纲] 1.了解幂函数的概念.
1 1 2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y= x,y=x2 的图象,了解
2 3

它们的变化情况. 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

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培养解题能力

知识梳理
1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如 ________ y=xα 的函数称为幂函数,其中 x 是自变 量,α为常数.

(2)常见的5种幂函数的图象

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(3)常见的5种幂函数的性质 函数特 征性质 定义域 值域 y=x R R y=x2 R [0,+∞) y=x3 R R
1 y=x2

y=x-1 {x|x∈R, 且x≠0} {y|y∈R, 且y≠0}

[0,+∞) [0,+∞)

奇偶性
单调性 定点




偶 奇 (-∞,0] 减,[0, 增 +∞)增 (0,0),(1,1)

非奇非偶


奇 (-∞,0) 减,(0,+ ∞)减 (1,1)
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2.二次函数 (1)二次函数的定义 ax2+bx+c(a≠0) 的函数叫做二次函数. 形如f(x)=_________________ (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),(m,n)为顶点坐标; ③两根式: f(x) = a(x - x1)(x -x2)(a≠0) 其中 x1 , x2 分别是 f(x)

=0的两实根.

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(3)二次函数的图象和性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) a>0 图象 a<0

定义域 值域 对称轴

R
?4ac-b2 ? ? ? ,+∞ ? 4a ? ? ? y∈_____________

R
2? ? 4 ac - b ? y∈? -∞, ? 4a ? ? ?

b -2a x=______

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函数 顶点 坐标 奇偶性 递增区 间 递减区 间 最值

二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
2? ? 4 ac - b b ? ? - , ? 2a 4a ? ? ?

b=0?y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数
? ? b ?- ,+∞? ? 2a ? ? b? ?-∞,- ? 2a? ? ? b? ?-∞,- ? 2a? ? ? ? b ?- ,+∞? ? 2a ?

b b 当x=- 时,y有最小 当x=-2a时,y有最 2a 4ac-b2 4ac-b2 大值ymax= 4a 值ymin=_________ 4a

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辨析感悟

1.对幂函数的认识
(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=2x2都是幂函数. (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0). (3)幂函数的图象不经过第四象限. (× ) ( ×) (√ )

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2.对二次函数的理解 (4)二次函数 y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.(× ) 1 2 (5)(教材习题改编)函数 f(x)= x +4x+6,x∈[0,2]的最大值 2 为 16,最小值为-2. ( ×) (6)(2011· 陕西卷改编)设 n∈N*, 一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是 n≤4. ( ×)

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[感悟·提升] 三个防范 一是幂函数的图象最多出现在两个象限内,一

定会经过第一象限,一定不经过第四象限,若与坐标轴相
交,则交点一定是原点,但并不是都经过 (0,0) 点,如 (2) 、 (3). 二是二次函数的最值一定要注意区间的限制,不要盲目配 方求得结论,如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域.

三是一元二次方程有实根的充要条件为 Δ≥0 ,但还要注意
n∈N*,如(6).

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考点一 【例 1 】
?1 ? ?2, ?

幂函数的图象与性质的应用

(1)(2014· 济南模拟)已知幂函数 y= f(x)的图象过点 ( ).

2? ? ,则 log4f(2)的值为 2? ? 1 1 A. B.- 4 4 C .2 (2)函数
1 y=x3

D.-2 的图象是 ( ).

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解析 (1)设f(x)=x
?1? ? ?α= ?2?

α

?1 ,由图象过点? ?2, ?

2? ? ,得 ? 2?

1 2 ? 1? 1 1 1 2 2 ? ? 2 =?2? ?α=2,log4f(2)=log42 =4.

(2)显然f(-x)=-f(x),说明函数是奇函数,同时由当0<x
1 <1时,x3 1 >x;当x>1时,x3

<x,知只有B选项符合.

答案 (1)A (2)B

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规律方法

(1)幂函数解析式一定要设为y=xα(α为常数)的形

式; (2) 可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调
性;(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择 适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函 数的图象和性质是解题的关键.

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【训练1】 比较下列各组数的大小:
1 (1)1.12 1 ,0.92

,1;
4 ,(-1.1)3

? (2)? ?- ?

2? ? 2? ?

2 3

? 10?-2 ,?- 7 ? 3 ? ?
1 2

.
1 2



(1)把1看作1

,幂函数y=x

在(0,+∞)上是增函
1 <1.12

1 数.∵0<0.9<1<1.1,∴0.92 1 即0.92 1 <1<1.12

1 <12

.

.

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? (2)因为? ?- ? ? 10?-2 ?- ? 3 7? ?

2 ? 2? 2 2? ?3 ? ?3 = , ? ? ? 2? ? 2 ?

? 7 ?2 =?-10?3 ? ?

? 7 ?2 =?10?3 ? ?
2 3

, ,

(-1.1)

4 3

=(1.1 )

2

2 =1.213

2 幂函数y=x3

在(0,+∞)上是增函数,且

7 2 < <1.21. 10 2
? 10?-2 ∴?- 7 ? 3 ? ? ? <? ?- ?
2 2? ?3 <(-1.1) 2? ? 4 3

.

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考点二 二次函数的图象与性质 【例2】 (2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c

图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下
面四个结论: ①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b. 其中正确的是 A.②④ ( ). B.①④

C.②③

D.①③

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解析 因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2> 4ac,①正确; b 对称轴为x=-1,即- =-1,2a-b=0,②错误; 2a 结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误; 由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a <0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.
答案 B

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规律方法 解决二次函数的图象问题有以下两种方法:

(1)排除法,抓住函数的特殊性质或特殊点;
(2)讨论函数图象,依据图象特征,得到参数间的关系.

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【训练2】

1 (2012· 山东卷)设函数f(x)= x ,g(x)=-x2+bx,若y

=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.x1+x2>0,y1+y2>0 B.x1+x2>0,y1+y2<0 C.x1+x2<0,y1+y2>0 D.x1+x2<0,y1+y2<0 ( ).

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解析

由题意知满足条件的两函数图象如图所示.作B关于

原点的对称点B′,据图可知:x1+x2>0,y1+y2<0.

答案 B

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考点三 二次函数的综合运用 【例3】 若二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)满足f(x+1)-f(x)

=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m 的取值范围. 审题路线 的范围. f(0)=1求c→f(x+1)-f(x)=2x比较系数求a,b→

构造函数 g(x) =f(x) -2x -m→求 g(x)min→由g(x)min > 0可求 m

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解 (1)由 f(0)=1,得 c=1.∴f(x)=ax2+bx+1. 又 f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 即
? ?2a=2, 2ax+a+b=2x,∴? ? ?a+b=0, ? ?a=1, ∴? ? ?b=-1.

因此,f(x)=x2-x+1.

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(2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,

要使此不等式在 [-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x
+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0得,m<-1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).

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规律方法

二次函数、二次方程与二次不等式统称 “三个

二次 ” ,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形
结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般 从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数 值符号四个方面分析.

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【训练3】 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].

(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函 数. 解 (1) 当 a =-1 时, f(x) =x2 - 2x + 2= (x - 1)2 + 1 ,x∈[ - 5,5],所以当x=1时,f(x)取得最小值1;

当x=-5时,f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为直线x=-a, 因为y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数, 所以-a≤-5或-a≥5. 故a的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).
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1.对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条 线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分区域.根据 α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分

由奇偶性决定.
2.二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程 根的分布问题,解决的主要思路是等价转化,多用到数形结 合思想与分类讨论思想. 3.对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意

等价转化思想的运用.
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答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题 【典例】 (12分)(经典题)求函数f(x)=-x(x-a)在x∈[-1,1]
? a? 2 a2 ?x- ? + 2? 4 ?

上的最大值.

[规范解答] 函数f(x)=-

的图象的对称轴为x=

a a a a ,应分 <-1,-1≤ ≤1, >1,即a<-2,-2≤a≤2 2 2 2 2 和a>2三种情形讨论. (2分)

(1)当a<-2时,由图(1)可知f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1) =-1-a;
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(5分)
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(2)当-2≤a≤2时,由图(2)可知f(x)在[-1,1]上的最大值为
?a? a2 f?2?= 4 ; ? ?

(8分)

(3)当a>2时,由图(3)可知f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=a -1. (11分)

? ?-a-1,a<-2, ? a2 综上可知,f(x)max=? 4 ,-2≤a≤2, ? ? ?a-1,a>2.
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(12分)

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[反思感悟]

(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类

型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类 型,解题的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时,要 依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. (2)部分学生易出现两点错误:①找不到分类的标准,无从入 手;②书写格式不规范,漏掉结论f(x)max= ? ?-a-1,a<-2, ?a2 ? ,-2≤a≤2, ?4 ? ?a-1,a>2.
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答题模板 第一步:配方,求对称轴.

第二步:分类,将对称轴是否在给定区间上分类讨论.
第三步:求最值. 第四步:下结论.

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【自主体验】 已知函数 f(x) =- 4x2 + 4ax - 4a - a2 在区间 [0,1] 内有一个最

大值-5,求a的值.

? ?a ? a?2 a f(x)=-4?x-2? -4a,对称轴为x= ,顶点为?2,-4a?. 2 ? ? ? ?

a ①当2≥1,即a≥2时,f(x)在区间[0,1]上递增. ∴ymax=f(1)=-4-a2.令-4-a2=-5, ∴a=± 1<2(舍去).

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a ②当0<2<1,即0<a<2时,
? a? 5 ? ? ymax=f 2 =-4a,令-4a=-5,∴a= ∈(0,2). 4 ? ?

a ③当2≤0,即a≤0时,f(x)在区间[0,1]上递减, 此时f(x)max=f(0)=-4a-a2. 令-4a-a2=-5,即a2+4a-5=0, 5 ∴a=-5或a=1(舍去).综上所述,a= 或a=-5. 4

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