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圆锥曲线的共同特征教案



圆锥曲线的共同特征
一、教学目标:1、知识与技能:通过本节的学习,掌握圆锥曲线的共同性质, 理解离心率、焦点、准线的意义. 2、过程与方法:教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线,通过观察、类 比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质. 3、情感、态度与价值观:通过本节的学习,可以培养我们观察、猜想、归纳、 推理的能力,感受圆锥曲线的统一美. 二、教学重点:圆锥曲线第二定义

的推导; 教学难点:对圆锥曲线第二定义的理解与运用 三、教学方法:讨论探究法 四、教学过程 (一)复习回顾 1、椭圆的定义: 平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|)的点的轨迹 表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 2、抛物线的定义: 平面内到定点 F 的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹 表达式|PF|=d (d 为动点到定直线距离) 3 、双曲线的定义: 平面内到两定点 F1、F2 距离之差的绝对值等于常数 2a (2a< |F1F2| )的点轨迹 表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|)

4、求轨迹方程的方法:定义法、直接法、相关点法 (二)新课导入 学生看课本 P24《椭圆的标准方程》 、P32《双曲线的标准方程》 思考:在推导椭圆的标准方程时,我们曾得到这样的一个式子:
a 2 ? cx ? a ( x ? c) 2 ? y 2

将其变形为

你能解释这个式子的几何意义吗?
(三)自主学习:P86 (四)学生练习:见课本 P87 1、2 (五)讨论交流: 思考 1:通过以上求轨迹方程,你有哪些发现? a2 思考 2: 已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线l:x= 的距离 c c 的比是常数 (a>c>0),求点P的轨迹. a

( x ? c) 2 ? y 2 c ? a2 a ?x c

解:由题意可得

( x ? c) 2 ? y 2 a ?x c
化简得
2

?

c a

(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) 。
令 a ? c ? b ,则上式可以化为
2 2 2

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

变式 若将条件 a ? c ? 0 改为 0 ? a ? c 呢?
由上例知,椭圆上的点 P 到定点 F 的距离和它到一条定直线 l (F 不在 l 上)的距离的 比是一个常数,这个常数就是椭圆的离必率 e

a2 类似地,可以得到:双曲线上的点 P 到定点 F(c,0)的距离和它到定直线 l : x ? c
b ( c ? a ? 0, ? c ? a )的距离的比是一个常数,这个常数
2 2 2

c 就是双曲线的离心率 e 。 a

x a

2 2

y ? b

2 2

? 1(a ? 0, b ? 0)

说明:定点为焦点、定直线为准线、定值为离心率 思考 3:通过以上分析,总结圆锥曲线的共同特性?

圆锥曲线的共同特征: 平面内到一定点 F 与到一条定直线 l 的距离之 比为常数 e 的点的轨迹: ( 点 F 不在直线 l 上) 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
(六)练习 1、动点 P 到直线 x=0.5 的距离与它到点(2,0) 的距离之比为 0.5,则点 P 的轨迹 y2 是:2 ? x ?1 3 2.、动点 P( x, y)到定点 A(3,0)的距离比它到定直线 x=-5 的距离小 2,则动点 P 的轨迹方程是: 2 ? 12 x y

3、若椭圆的长轴长是短轴长的 4 倍,一条准线方程是 y ? ?4 ,求椭圆的标准方程.

4、已知椭圆

x2 y ? ? 1 上有一点 P,到其左、右焦点距离之比为 1:3,求点 P 到两准线 100 36

的距离及点 P 的坐标.

五、课堂小结 1、通过本节课的学习,你有哪些收获? 2、圆锥曲线的共同特征是什么,你能复述一下?试试看 六、作业 P87 2、3

圆锥曲线共同特征教学反思 前面又详细学习了圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、几何性质, 以及简单应用, 通过抛物线的学习加深了学生对圆锥曲线统一的认识,提高对坐 标法这一解析几何基本方法的应用能力,提高学生综合能力。 二、 教材处理 由于前面己经学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、几何性质,己积 累一定经验, 对统一定义这一部分己有一定的自学能力,故本节在抓好基础知识 的同时,注重激发学生学习的兴趣,同时注重学生在自我探索过程中发现知识, 培养探究意识。 让学生成为一名自主的学习者和探索者,让学生处在一种对知识 的追求状态中。 圆锥曲线统一定义很简单但非常重要, 学习时指导学生注意和抛物线定 义相联系。由复习轨迹方程的求法导入,以例题的形式出现,让学生利用学过的 方法进行求解,发现其奇妙之处,然后引导学生进行讨论交流,思考总结。这一 过程中,学生获取了知识,而且加深了理解。 教师作为热烈讨论的平等氛围中的引导者,鼓励学生大胆探究、勇于创新, 积极谈论和参与体验,留给学生更多的思考和探索,转变学习方式。验证学生的 结果。 三、成功之处: 1、教学方法上:结合本节课的具体内容,确立启发探究式教学、互动式教 学法进行教学这两种教学方法,体现了认知心理学的基本理论。 2. 学习的主体上:课堂上为学生的主动参与提供充分的时间和空间,让不 同程度的学生勇于发表自己的各种观点(无论对错) ,这样可以调动学生学习积 极性,拉近师生距离,提高知识的可接受度,让学生体会到他们是学习的主体。 进而完成知识的转化,变书本的知识、老师的知识成为自己的知识。 四、存在的问题 1、对学生运算能力估计不足,在化简运算过程中,部分同学不知如何操作, 造成效率低下; 2、在引导发现总结规律过程中教师操之过急,没有完全让学生自主交流探 究,总结提升,平时教学中应该引起注意并真正落实,相信学生,发挥学生的主 体作用; 3、课堂上留出更多时间让学生进行训练。



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