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7.1 两个计数原理2



1、分类加法计数原理:完成一件事,有n类办法,在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方 法. 2、分步乘法计数原理:完成一件事,需要分成n个步 骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……,做第n步有mn种不同的方法

.那么完成这件 事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn种不同的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点:回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点:分类加法计数原理与分类有关, 分步乘法计数原理与分步有关。

分类计数原理
区别1 完成一件事,共有n类 办法,关键词“分类”

分步计数原理
完成一件事,共分n个 步骤,关键词“分步”

每类办法都能独立地完成 这件事情,它是独立的、 区别2 一次的、且每次得到的是 最后结果,只须一种方法 就可完成这件事。 区别3

每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能独立完成这件 事,缺少任何一步也不能完成 这件事,只有各个步骤都完成 了,才能完成这件事。
各步之间是互相关联的。

各类办法是互相独立的。

即:类类独立,步步关联。

例1. 五名学生报名参加四项体育比赛,每人 限报一项,报名方法的种数为多少?又他们争 夺这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多 少种?
解:(1)5名学生中任一名均可报其中的任一项,因此每 个学生都有4种报名方法,5名学生都报了项目才能算完成 这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 45 种 . (2)每个项目只有一个冠军,每一名学生都可能获得 其中的一项获军,因此每个项目获冠军的可能性有5种 故有n=5×5×5×5= 54 种 .

例2.给程序模块命名,需要用3个字符,其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z,后两个要求用数字1~9, 问最多可以给多少个程序命名?
分析:要给一个程序模块命名,可以分三个步骤:第一步, 选首字符;第二步,先中间字符;第三步,选末位字符。

解:首字符共有7+6=13种不同的选法, 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理,最多可以有13×9×9=1053种不同的选法

答:最多可以给1053个程序命名。

例3.核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链,长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据,总共有4个不同的碱基,分别用A,C,G,U表 示,在一个RNA分子中,各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成,那么能有多少种不同的RNA分子?

分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链,每个位置都可以从A、 第1位 第2位 第3位 第100位 C、G、U中任选一个来占据。
……
4种 4种 4种 4种

解:100个碱基组成的长链共有100个位置,在每个位置中,从A、C、G、U 中任选一个来填入,每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理,共有
100 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 = 4 种不同的RNA分子. ?? ? ??? ? 100 个4

例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态,而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法,即二进制,为了使计 算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一 个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位,每个字节由8个二进制位构成,问 (1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符? (2)计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字,一个 汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用 多少个字节表示? 如00000000,10000000, 11111111.
2种 2种 2种 2种

第1位

第2位

第3位

第8位

……

例5.计算机编程人员在编 开始 写好程序以后要对程序进 行测试。程序员需要知道 到底有多少条执行路(即 子模块3 子模块2 子模块1 28条执行路径 45条执行路径 程序从开始到结束的线),18条执行路径 以便知道需要提供多少个 测试数据。一般的,一个 A 程序模块又许多子模块组 成,它的一个具有许多执 行路径的程序模块。问: 子模块5 子模块4 43条执行路径 38条执行路径 这个程序模块有多少条执 行路径?另外为了减少测 试时间,程序员需要设法 减少测试次数,你能帮助 结束 程序员设计一个测试方式, 以减少测试次数吗?

分析:整个模块的任 意一条路径都分两步 完成:第1步是从开 始执行到A点;第2步 是从A点执行到结束。 而第步可由子模块1 或子模块2或子模块3 来完成;第二步可由 子模块4或子模块5来 完成。因此,分析一 条指令在整个模块的 执行路径需要用到两 个计数原理。

开始

子模块1 18条执行路径

子模块2 45条执行路径 A

子模块3 28条执行路径

子模块4 38条执行路径

子模块5 43条执行路径

结束

2)在实际测试中,程序 开始 员总是把每一个子模块看 成一个黑箱,即通过只考 察是否执行了正确的子模 子模块3 子模块2 子模块1 块的方式来测试整个模块。 28条执行路径 45条执行路径 18条执行路径 这样,他可以先分别单独 测试5个模块,以考察每 A 个子模块的工作是否正常。 总共需要的测试次数为: 18+45+28+38+43=172。 子模块5 子模块4 43条执行路径 38条执行路径 再测试各个模块之间的信 息交流是否正常,需要测 试的次数为:3*2=6。 如果每个子模块都正常工 结束 作,并且各个子模块之间 的信息交流也正常,那么 这样,测试整个模块的次数就变为 整个程序模块就正常。 172+6=178(次)

例6.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增 长,汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌 照组成办法,每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母 和3个不重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合成一组出现, 3个数字也必须合成一组出现,那么这种办法共能给多少辆汽 车上牌照?

课堂练习
1、乘积 (a1 ? a2 ? a3 )(b1 ? b2 ? b3 )(c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ) 展开后共有几项?

2、某商场有6个门,如果某人从其中的任意一个 门进入商场,并且要求从其他的门出去,共有多 少种不同的进出商场的方式?

课堂练习

3.如图,该电
路,从A到B共 有多少条不 同的线路可 通电?

A

B

解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条

所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。

在解题有时既要分类又要分步。



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