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人教A版选修【4-4】2.1.1《参数方程的概念》ppt课件



第二讲 参数方程
2.1 曲线的参数方程 2.1.1 参数方程的概念

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1.理解曲线参数方程的概念,理解参数在方程

中的意义.
2.能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程.

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1

.参数方程的定义. 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线 C 上任一点 P 的坐标 x 和
? ?x=f?t?, ;反过来,对于 t 的 y 都可以表示为某个变量 t 的函数:______________ ? ? ?y=g?t? ?

?x=f?t?, 都在曲线C上 , 每个允许值, 由函数式? 所确定的点 P(x, y)________________ ?y=g?t? ? ? ?x=f?t?, 参数方程,变量 t 是参变数,简称 那么方程? 叫作曲线 C 的__________ ?y=g?t? ?

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点的坐标间关系 的方程叫做 参数.相对于参数方程而言,直接给出__________________
普通方程,参数方程可以转化为普通方程.

2.关于参数的说明. 参数方程中参数可以有物理意义、几何意义,也可以没有明 显意义. 3.曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程;若知道 变数 x、y 中的一个与参数 t 的关系,可把它代入普通方程,求另
? ?x=f?t?, 一变数与参数 t 的关系,则所得的? 就是参数方程. ? ?y=g?t?
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预习 思考
以下表示 x 轴的参数方程的是(
2 ? ?x=t +1, A.? (t 为参数) ? ?y=0

)
? ?x=0, B.? (t 为参数) ? ?y=3t+1 ? ?x=4t+1, D.? (t 为参数) ? ?y=0

? ?x=1+sin θ, C.? (θ 为参数) ? ?y=0

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答案:D

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题型1

参数方程的建立

例 1 设飞机以匀速 v=150 m/s 做水平飞行, 若在飞 行高度 h=588 m 处投弹(设炸弹的初速度等于飞机的速 度). (1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程; (2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命 中目标?
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分析:这是物理学中的平抛运动,选择合适的参 变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动 表示出来. 解析: (1)如下图所示, A 为投弹点, 坐标为(0,588), B 为目标,坐标为(x0,0).记炸弹飞行的时间为 t,在 A 点 t=0.设 M(x,y)为飞行曲线上的任一点,它对应时 刻 t,炸弹初速度 v0=150 m/s,用物理学知识,分别 计算水平、竖直方向上的路程,得
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?x=v0t, ? 1 2 y=588- gt ?g=9.8 m/s2?, 2 ?
? ?x=150t, 即? 2 ? y = 588 - 4.9 t . ?

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这是炸弹飞行曲线的参数方程.

(2)炸弹飞行到地面目标 B 处的时间 t0 满足方 程 y=0,即 588-4.9t2=0,解得 t0=2 30. 由此得 x0=150×2 30=300 30≈1 643(m). 即飞机在离目标 1 643 m(水平距离)处投弹才 能击中目标.
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题型2

参数方程与普通方程的互化

? ?x=1+2t, 例 2 已知某条曲线 C 的参数方程为? (其中 2 ? ?y=at

t 是参数,a∈R),点 M(5,4)在该曲线上. (1)求常数 a; (2)求曲线 C 的普通方程.
分析: 点 M(5,4)在该曲线上, 则点 M 的坐标应适合曲线 C 的方程,从而可求得其中的特定系数,进而消去参数得到普通 方程.

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? ?1+2t=5, 解析:(1)由题意,可知? 2 ?at =4, ? ? ?t=2, 故? 所以 a=1. ? ?a=1, ? ?x=1+2t, (2)由已知及(1)可得,曲线 C 的方程为? 由第 2 ? ?y=t , ?x-1?2 x-1 ?, 一个方程,得 t= ,代入第二个方程,得 y=? 2 ? 2 ?

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即(x-1)2=4y 为所求.

例 3 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是 什么曲线.
? ?x=1+2 t, (1)? (t 为参数); ? ?y=3-4 t ? ?x=cos θ+sin θ, (2)? (θ 为参数). ?y=sin θcos θ ?
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解析:(1)∵x=1+2 t, ∴2 t=x-1. ∵-4 t=-2x+2, ∴y=3-4 t=3-2x+2. 即 y=-2x+5(x≥1),它表示一条射线.
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? π? (2)∵x=cos θ+sin θ= 2sin?θ+4?, ? ?

∴x∈[- 2, 2]. x2=1+2sin θcos θ, 将 sin θcos θ=y 代入,得 x2=1+2y. ∴普通方程为 1 2 1 y= x - (- 2≤x≤ 2),它是抛物线的一部分. 2 2
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变式 训练
2 ? ?x= t +2t+3, 参数方程? (t 为参数)表示的曲线是( 2 ? ?y= t +2t+2

)

A.双曲线 x2-y2=1 B.双曲线 x2-y=1 的右支 C.双曲线 x2-y2=1 且 x≥0,y≥0 D.以上结论都不对
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答案:D



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