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吉林省吉林市第一中学校2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题



吉林一中 2014-2015 届高二年级下学期期末数学理试卷

数学理测试试卷
考试范围:XXX;考试时间:100 分钟;命题人:XXX 学校:__________姓名:__________班级:__________考号:__________ 题号 得分 注意事项: 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 评

卷人 得分 一 二 三 总分

一、单项选择(注释)

1、抛物线 y ? 2 x 2 的准线方程是( A. x ?

)

1 2

B. y ?

1 8

C. y ? ?

1 2

D. y ? ?

1 8

2、双曲线 A、2

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐进线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( ) a 2 b2
B、 3 C、 2 D、

3 2

3、 在平面直角坐标系 xoy 中, 抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F, M 是抛物线 C 上的点, 若?OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积 9?,则 p=( A.2 B. 2 C.3 D. 3 ) D. ?0, ??? )

4、函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax 在 [0,??) 上是减函数,则 a 的取值范围是( A. ? ??,0? B. ? ??,0? C. ? 0, ???

5、已知 f ?x ? 是可导的函数,且 f ??x ? ? f ?x ? 对于 x ? R 恒成立,则( A、 f (1) ? ef (0), f (2015) ? e2015 f (0) B、 f (1) ? ef (0), f (2015) ? e2015 f (0)



C、 f (1) ? ef (0), f (2015) ? e2015 f (0) D、 f (1) ? ef (0), f (2015) ? e2015 f (0) 6、若曲线 y ? x 4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 ( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 7、已知 a ? 1 ,则 lim A. B. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0 )

1? ax ?( x ??? 2 ? 3a x
1 3
C.

) D.不存在

1 2

B. ?

1 1 或? 2 3

8、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? 5) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,且 | F1 F2 |? 8 ,弦 AB 过点 F1 ,则 a 2 25
) (C)2 41 (D) 4 41 ).

△ ABF 2 的周长为( (A)10 (B)20

9、若 a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λ b)⊥a,则实数 λ 的值为( A.-1 B.0 C.1 D.-2 10、过双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左焦点 F ?? c,0? 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点 a 2 b2
1 OF ? OP ,则双曲线 2

为 E ,延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P , O 为原点,若 OE ? 的离心率为( A. ) B.

?

?

3? 3 3

1? 5 2

C.

5 2

D.

1? 3 2

11、已知函数 f ( x) ? e x ? a ln x 的定义域是 D ,关于函数 f ( x) 给出下列命题: ①对于任意 a ? (0, ??) ,函数 f ( x) 是 D 上的减函数; ②对于任意 a ? (??, 0) ,函数 f ( x) 存在最小值; ③存在 a ? (0, ??) ,使得对于任意的 x ? D ,都有 f ( x) ? 0 成立; ④存在 a ? (??, 0) ,使得函数 f ( x) 有两个零点.

其中正确命题的序号是( ) A.①② B.②③C.②④ D.③④ 12、 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 y2 2 ? ? 1( a > b > 0) C : x ? ? 1 有公共的焦点,C1 的一条 与双曲线 1 a 2 b2 4


渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点, 若 C1 恰好将线段 AB 三等分, 则 ( (A) a 2 ?

13 2

(B) a 2 ? 13

(C) b 2 ?

1 2

(D) b2 ? 2

评卷人

得分

二、填空题(注释)

13、双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为______________。

14、若不等式| ax3 ? ln x |≥1 对任意 x ? (0,1] 都成立,则实数 a 取值范围是__________.

15、设 A、B 为在双曲线 面 积的最小值为______ 16、设曲线 y ?
评卷人

上两点,O 为坐标原点.若 OA 丄 OB,则Δ AOB

2 ? cos x ? 在点 ( , 2) 处切线与直线 x ? ay ? 1 ? 0 垂直,则 a ? sin x 2
三、解答题(注释)

得分

17 、在平面直角坐标系中 , 已知一个椭圆的中心在原点,左焦点为 F (? 3, 0), 且过

D(2, 0).
(1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,点 A(1,0) ,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程 18、一物体沿直线以速度 v(t ) ? 2t ? 3 ( t 的单位为:秒, v 的单位为:米/秒)的速度作变速 直线运动,求该物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程?

19、 已知椭圆的两个焦点分别为 F 1 (0, ?2 2), F 2 (0,2 2) ,离心率 e ?

2 2 , 求椭圆的标准 3

方程.

x2 y2 ? ?1 3 20、已知椭圆 C: 4 的右焦点为 F,左顶点为 A,点 P 为曲线 D 上的动点,以 PF 为直
径的圆恒与 y 轴相切. (I)求曲线 D 的方程; (II)设 O 为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的 Δ APM?①点 M 在椭圆 C 上;②点 O 为 Δ APM 的重心.若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.(若三角形 ABC 的三点坐标为

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 3 3 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则其重心 G 的坐标为 , ))
21 、由原点 O 向三次曲线 y ? x3 ? 3ax2 ? bx ? a ? 0? 引切线,切于不同于点 O 的点

P 1 引此曲线的切线,切于不同于 P 1 的点 P 1 ? x1, y 1? , 再由 P 2 ? x2 , y2 ? , 如此继续地作下
去,…,得到点列 P n ? xn , yn ? , 试回答下列问题: (Ⅰ)求 x1 ; (Ⅱ) 求xn 与xn?1 的关系; (Ⅲ)若 a>0, 求证:当 n 为正偶数时, xn ? a;当n为正奇数时,xn ? a. 22、已知函数 f ( x) ?

?

?

mx , (m, n ? R) 在 x ? 1 处取得极小值 2. x ?n
2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 的极值; ( 3 ) 设 函 数 g ( x) ? x 2 ? 2ax ? a , 若 对 于 任 意 x1 ? R , 总 存 在 x2 ? [?1,1] , 使 得

g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围.
参考答案 一、单项选择 1、 【答案】D

【解析】 2、 【答案】 C 【解析】

3、 【答案】B 【解析】 4、 【答案】B 【解析】 5、 【答案】D 【 解 析 】 令 h? x ? ?

f ??x ?e x ? f ?x ?e x f ??x ? ? f ?x ? f ?x ? ? , 则 , 由 于 ? ? h x ? ? 2 ex ex ex

? ?

f ??x ? ? f ?x?, e x ? 0 对于 x ? R 恒成立,所以 h??x ? ? 0 在 R 上恒成立,所以 h? x ? ?
减函数,?

f ?1? f ?0 ? ? 0 ,即 f ?x ? ? ef ?0? ; e e f ?2015 ? f ?0 ? ? 0 ,即 f ?2015 ? ? e2015 f ?0? . 2015 e e

f ?x ? 为 ex

6、 【答案】A 【解析】 设切点为 , 因为切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直, 故其斜率为 4, 又 y ? x4 (x0 , y 0)
3 的导数为 y ? ? 4 x 3 ,所以 y ? | x? x0 ? 4x0 ? 4 ,所以 x0 ? 1 ,所以 y 0 ? 1 ,所以 l 的方程为

4x ? y ? 3 ? 0 .
7、 【答案】A 【解析】 8、 【答案】D 9、 【答案】D 【解析】a+λ b=(λ ,1+λ ,-1). 由(a+λ b)⊥a,知(a+λ b)·a=0, 所以 1+λ +1=0,解得 λ =-2. 【解析】 10、 【答案】B 【解析】 11、 【答案】C

? x) ?e x? 【解析】由对数函数知:函数的定义域为:(0,+∞), f( ? x) ? ex ? ∴ f(

a ①∵a∈(0,+∞) x

a ≥0,是增函数.所以①不正确, x a ? x) ? e x ? =0,可以判断函数有最小值,②正确. ②∵a∈(-∞,0),∴存在 x 有 f( x
③ 画 出 函 数 y=ex , y=alnx 的 图 象 , 如 图 : 显 然 不 正 确 .

④令函数 y=e 是增函数,y=alnx 是减函数,所以存在 a∈(-∞,0),f(x)=e +alnx=0 有两个根,正确. 故选 C. 12、 【答案】C

x

x

【解析】 考察圆锥曲线相关综合知识, 考察学生的分析能力和计算能力。 首先画出示意图,
2 2 由已知条件可知 a - b =5,以双曲线的一条渐进线 y=2x 为例,由图形的对称性可知 y=2x

与椭圆 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>b>0) 、圆 x2 ? y 2 ? a2 在第一象限的交点横坐标之比为 1:3, 2 a b

a 2 (a 2 ? 5) a2 : ? 1: 3 ,求出 a 2 ? 11 ,故 b 2 ? 1 ,选 C。 即 5a 2 ? 5 5 2 2
二、填空题 13、 【答案】8kx2 ? ky2 ? 8

【解析】焦点在 y 轴上,则

y2 x2 8 1 ? ? 1, ? ? (? ) ? 9, k ? ?1 8 1 k k ? ? k k

14、 【答案】

ax3 ? ln x

【解析】

15、 【答案】

a 2b 2 b2 ? a 2

【解析】设直线 OA 的方程为 y ? kx ,则直线 OB 的方程为 y ? ?

1 x, k

? y ? kx a 2b 2 a 2b 2 k 2 ? 2 则点 A ? x1 , y1 ? 满足 ? x 2 y 2 故 x12 ? 2 , , y ? 1 b ? a2k 2 b2 ? a 2k 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
∴ OA ? x ? y
2 1 2 2 1

?1 ? k ? a b ?
2

2 2

b2 ? a 2k 2
2 2 2

,同理 OB
2 2 2

2

?1 ? k ? a b ?
2

2 2

k 2b 2 ? a 2



故 OA ? OB

2

2

?1 ? k ? a b ? ?1 ? k ? a b ?
b2 ? a 2k 2 k 2b 2 ? a 2

?

a 4b 4 ? a 2b 2 ? ? a 2 ? b 2 ? ?
2

?k

k2
2

? 1?

2



?k

k2
2

? 1?
2

2

?

1 1 ? (当且仅当 k ? ?1 时,取等号) 1 k2 ? 2 ? 2 4 k

∴ OA ? OB ?

2

?b

4a 4b 4
2

? a2 ?

2

,又 b ? a ? 0 ,故 S ?AOB

a 2b 2 1 . ? OA ? OB 的最小值为 2 b ? a2 2

16、 【答案】 a ? 1. 【解析】 三、解答题 17、 【答案】解:(1)由已知得椭圆的半长轴 a ? 2 ,半焦距 c ? 3 ,则半短轴 b ? 1 .

x2 ? y2 ? 1 又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为 4
(2)设线段 PA 的中点为 M ( x, y ) ,点 P 的坐标是 ( x0 , y0 ) ,

x ?1 ? x? 0 ? ? x0 ? 2 x ? 1 ? 2 由? ,得 ? ? y0 ? 2 y ? y ? y0 ? ? 2

(2 x ? 1)2 ? (2 y )2 ? 1 , 因为点 P 在椭圆上,得 4
∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? 4 y 2 ? 1 . 【解析】

1 2

18、 【答案】 【解析】

19、 【答案】

F1(0,?2 2), F2(0,2 2)
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , b2 a2

【解析】设椭圆方程为

由已知 c ? 2 2,

c 2 2 , b2 ? c2 ? a2 ? a 3

y2 ? x2 ? 1 ? a ? 3, b ? 1 ,? 椭圆方程为 9
x ?1 y , ), 2 2

20、 【答案】 解:(Ⅰ)设 P ( x, y ) ,由题知 F (1, 0) ,所以以 PF 为直径的圆的圆心 E ( 则

| x ? 1| 1 1 ? | PF |? ( x ? 1) 2 ? y 2 , 2 2 2

整理得 y 2 ? 4x 为所求. (Ⅱ)不存在,理由如下: 若这样的三角形存在,由题可设 P(

y12 x2 y2 , y1 )( y1 ? 0), M ( x2 , y2 ) ,由条件①知 2 ? 2 ? 1 , 4 3 4

由条件②得 OA ? OP ? OM ? 0 ,又因为点 A(?2, 0) ,

??? ? ??? ? ???? ?

?

? y12 3 3 ? x2 ? 2 ? 0, y2 2 ? ? x2 ? 2 ? 0 ,故 ? x2 2 ? x2 ? 2 ? 0 , 所以 ? 4 即 4 16 4 ? y ? y ? 0, ? 1 2
解之得 x2 ? 2 或 x2 ?

10 (舍), 3

当 x2 ? 2 时,解得 P(0, 0) 不合题意, 所以同时满足两个条件的三角形不存在.

【解析】 21、 【答案】 (Ⅰ)解:由 y ? x3 ? 3ax2 ? bx ?1? 得y / ? 3x2 ? 6ax ? b, 过曲线(1)上点 P 1 ? x1 , y1 ? 的切线 l1 的方程是 y- x13 ? 3ax12 ? bx1 = 3 x12 ? 6ax1 ? b ( x - x1 ),( x1 ? 0 ) 由它过原点,有 ? x13 ? 3ax12 ? bx1 ? ? x1 3x12 ? 6ax1 ? b ,

?

? ?

?

?

?

即2 x13 ? 3ax12 ? x1 ? 0 ? , 故x1 ?

3a . 2

(Ⅱ)过曲线(1)上点 P n?1 ? xn?1 , yn?1 ? 的切线 ln ?1 的方程是

y ? ? xn ?13 ? 3axn ?12 ? bxn ?1 ? ? ? 3xn ?12 ? 6axn ?1 ? b ? ? x ? xn ?1 ?
由 ln?1过曲线?1? 上的点P n ? xn , yn ? , 有

xn 3 ? 3axn 2 ? bxn ? ? xn ?13 ? 3ax 2 n ?1 ? bxn ?1 ? ? ? 3xn ?12 ? 6axn ?1 ? b ? ? xn ? xn ?1 ? ,
∵ xn ? xn?1 ,以xn ? xn?1除上式并化简得,

1 3 xn ? 2 xn ?1 ? 3a ? 0.即xn ?1 ? ? xn ? a. 2 2 1 3 1 (Ⅲ)由 xn ?1 ? ? xn ? a. 得 xn ?1 ? a ? ? ? xn ? a ? 2 2 2 a 1 故 ? xn ? a? 是以x1 ? a ? 为首项,公比为- 的等比数列, 2 2

a? 1? ∴ xn ? a ? ? ? ? 2? 2?
∵a>0,

n ?1

? ? 1 ?n ? ,即xn ? ?1 ? ? ? ? ? a. ? ? 2? ? ? ? ? ? ?
n ? 1? ? ? 2? ? ?

∴当 n 为正偶数时, xn ? ?1 ? ? ? ? ? a ? ?1 ? ? ? ? a ? a;

? ? ?

n ?1? ? ?2? ? ?

? ? 1 ?n ? ? ? 1 ?n ? 当 n 为正奇数时, xn ? ?1 ? ? ? ? ? a = ?1 ? ? ? ? a ? a 。 ? ? 2? ? ? ? ?2? ? ? ? ?
【解析】 22 、 【答案】解: ( 1 ) ∵ 函 数 f ( x) ?

mx , (m, n ? R) 在 x ? 1 处 取 得 极 小 值 2 x ?n
2

∴?

? f (1) ? 2 ? f ' (1) ? 0

m( x 2 ? n) ? 2mx2 mn ? mx2 又 f ' ( x) ? ? 2 ( x 2 ? n) 2 ( x ? n) 2
由②式得 m=0 或 n=1,但 m=0 显然不合题意 ∴ m ? 4, n ? 1

? m ? 2 ?? ① ? ∴ ?1 ? n ?m n ? m ? 0 ?? ② ?
∴ n ? 1 ,代入①式得 m=4

经检验,当 m ? 4, n ? 1 时,函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 2

∴函数 f ( x) 的解析式为 f ( x ) ?

4x x ?1
2

(2)∵函数 f ( x) 的定义域为 R 且由(1)有 f ' ( x) ? 令 f ' ( x) ? 0 ,解得: x ? ?1 ∴当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:

? 4( x ? 1)(x ? 1) ( x 2 ? 1) 2

x
f ' ( x) f ( x)

(??,?1)
— 减

-1 0 极小值-2

(?1,1)
+ 增

1 0 极大值 2

(1,??)
— 减

∴当 x ? ?1 时,函数 f ( x) 有极小值-2;当 x ? 1 时,函数 f ( x) 有极大值 2 (3)依题意只需 g ( x) min ? f ( x) min 即可. ∵函数 f ( x ) ?

4x 在 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;在 x ? 0 时, f ( x) ? 0 且 f (0) ? 0 x ?1
2

∴ 由(2)知函数 f ( x) 的大致图象如图所示:

∴当 x ? ?1 时,函数 f ( x) 有最小值-2 又对任意 x1 ? R ,总存在 x2 ? [?1,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 小值不大于-2 ∴当 x ? [?1,1] 时, g ( x) 的最

又 g ( x) ? x 2 ? 2ax ? a ? ( x ? a) 2 ? a ? a 2 ①当 a ? ?1 时, g ( x) 的最小值为 g (?1) ? 1 ? 3a ②当 a ? 1 时, g ( x) 的最小值为 g (1) ? 1 ? a ③当 ? 1 ? a ? 1 时, g ( x) 的最小值为 g (a) ? a ? a 2 又∵ ? 1 ? a ? 1 ∴此时 a 不存在 ∴ 1 ? 3a ? ?2 得 a ? ?1 ; ∴ 1 ? a ? ?2 得 a ? 3 ; ∴ a ? a 2 ? ?2 得 a ? ?1 或 a ? 2

综上所述,a 的取值范围是 (??,?1] ? [3,??) . 【解析】

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