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高三数学第一学期第一阶段考试试题



高三数学第一学期第一阶段考试试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题: 1、已知 M ? {x | y ? x2 ? 1}, N ? { y | y ? x 2 ? 1} ,那么 M ? N = A、 ? B、 M C、 N

D、 R ( ) ( )

? ??q : x( x ? 3) ? 0 ,则 p 是 q 的 2、已知: p :| 2 x ? 3 |? 1,

A、充分不必要条件 件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条

3、关于直线 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,有下列四个命题: ① m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ; ③ m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ; 其中真命题的序号是: A、①② B、③④ C、①④ D、②③ ( D、 ?
1? t 2

② m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ④ m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n . ( )

4、设 ? 是第二象限角,且 cos? ? t ,sin A、
1? t 2

?
2

? cos

?
2

,则 sin C、 ?

?
2

的值是



B、

1? t 2

1? t 2

5、若 2sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? ? 0 ,则 cos2 ? ? cos2 ? 的取值范围是 A、[1,5] B、 [1, 2]
1 , 且 x ?? (1 ] , f ( x)

( D、 [ ?1, 2]



C、 [1, ]
时 ,f ( x) ? x ,

9 4

6、 若函数 f (x)满足 f ( x ? 1) ? 的图象的交点的个数为 A、 3

则函数 y=f(x)的图象与函数 y ? log3 x ( )

B、 4

C、 6

D、 8

7、若四面体的六条棱中有五条长为 a ,则该四面体体积的最大值为
1 8


3 3 a 12



A、 a 3

B、

3 3 a 8

C、

1 3 a 12

D、

8、已知偶函数 y=f(x)在[-1,0]上为单调递减函数,又 ? 、 ? 为锐角三角形的两内角,则 A. f (sin ? ) ? f (cos ? )? C. f (sin ? ) ? f (sin ? )? B. f (sin ? ) ? f (cos ? )? D. f (cos ? ) ? f (cos ? )?

9、菱形 ABCD 的边长为 a, ?A ? 600 , E , F , G ,H 分别在 AB、BC、CD、DA 上,且 BE ? BF ? DG ? DH ?

a , 3

沿 EH 与 FG 把菱形的两个锐角对折起来,使 A、C 两点重合,这时 A 点到平面 EFGH 的距离为 A、
a 2

B、

2 a 2

C、

3 a 2
?
2

D、

?

3 ?1 a

?

10、已知定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 满 足 y ? f ( x ? ) 为偶函数,对于函数 y ? f ( x ) 有下列几种 描述, (1) y ? f ( x ) 是周期函数 (3) ( ?? , 0) 是它图象的一个对称中心 其中描述正确的是 A、 (1) (2) B、 (1) (3) C、 (2) (4) (2) x ? ? 是它的一条对称轴 (4)当 x ?
?
2

时,它一定取最大值 ( D、 (2) (3) )

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题: 11、若函数 f ( x2 ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的定义域为 12、 y ? x ? 4 ? 9 ? x2 的值域为 ;
3 2 15sin 2 x ,则 f [ ]= ? 5 cos( x ? ) 4



13、y=f(x)是关于 x=3 对称的奇函数,f(1)=1, cos x ? sin x ?



14、已知方程 x 2 ? (1 ? a) x ? 4 ? a ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,则 a 的取值范围是



4 15、在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,若 a、b、c 成等差数列,sinB= ? 且 5
3 △ABC 的面积为 ? ,则 b = 2

.

16、若对终边不在坐标轴上的任意角 x ,不等式 sin x ? cos x ? m ? tan 2 x ? cot 2 x 恒成立,则实数 m 的 取值范围是 三、解答题:
?π ? ?π π? 17、已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?



(1)求 f ( x) 的最大值和最小值;
?π π? (2)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

18、已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x sin ? ?1????x ?[?

3 1 , ]。 2 2

? (1)当 ? ? ? 时,求 f ( x) 的最大值和最小值。 6

(2)若 f ( x) 在 x ?[?

3 1 , ] 上是单调函数,且 ? ? [0, 2? ) ,求 ? 的取值范围。 2 2

19、已知命题 p : x1 和 x 2 是方程 x 2 ? mx ? 2 ? 0 的两个实根,不等式 a 2 ? 5a ? 3 ?| x1 ? x2 | 对任意实 数 m ? [?1,1] 恒成立; 命题 q : 只有一个实数 x 满足不等式 x 2 ? 2 2ax ? 11a ? 0 , 若命题 p 是假命题, 命题 q 是真命题,求 a 的取值范围。 20、设 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,且满足 f (4) ? 1 , ?x1 , x2 ? (0, ??) ,有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 。 (1)求 f (1) 的值; (2)证明 f ( x) 在 (0, ?? ) 上是增函数; (3)解不等式 f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3 。 21、在五棱锥 P-ABCDE 中,PA=AB=AE=2a,PB=PE= 2 2 a,BC=DE=a,∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°. (1)求证:PA⊥平面 ABCDE; (2)若 G 为 PE 中点,求证: AG ? 平面 PDE (3)求二面角 A-PD-E 的正弦值; (4)求点 C 到平面 PDE 的距离

22、设函数 f ( x) ? log a ( x ? 3a)(a ? 0 且 a ? 1) ,当点 P( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 的图象上的点时,点
Q( x ? 2a, ? y) 是函数 y ? g ( x) 的图象上的点。

(1)求出函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)若当 x ? [a ? 2, a ? 3] 时,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? 1 ,试确定 a 的取值范围。

理科学生做(选择填空题每题 4 分) 1. 矩阵 ? ?? 的逆矩阵是 ?1 0 ?
?0 ?1?

(

)

A. ?

? 0 1? ?? ? ?1 0?

B. ? ?? ? 0 1? )

? ?1 0?

C. ?

?1 0 ? ?? ?0 ?1?

D. ? ?? ?1 0 ?

?0 ?1?

2. 表示 x 轴的反射变换的矩阵是( A. ? ?? ?0 1 ?
?1 0?

B. ? ? ? 0 1?

??1 0?

C.

? 0 1? ??1 0? ? ?

D. ? ?? ?0 ?1?

?1

0?

3. 极坐标方程 ? cos? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 B.两条直线

) D.一个圆

C.一条直线和一个圆

4. 若 曲线 x 2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 1? 在 矩 阵 ? ______。

?1 a ? 2 2 ?? 的 作用下变 换成 曲线 x ? 2 y ? 1? , 则 a ? b? 的 值为 ?b 1 ?

5. 点 P ? x,?? y ? 是椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。
x ? 1 ? 2cos? ( ? ? 为参数) 6. 已知圆 C 的参数方程为 ? ,P 是圆 C 与 y 轴的交点,若以圆心 C 为 ? ? ? y ? 2sin ?

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则过点 P 圆 C 的切线的极坐标方程 是 7. (本题 6 分) 过点 P( .
10 M P ? N 求P ,0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 1 交于点 M , N , 2

的最小值及相应的 ? 的值。 8. (本题 10 分)当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数 量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设: (1)由于自然繁殖,兔子数每年增长 10%, 狐狸数每年减少 15%; (2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的 0.15 倍,狐狸数每年增 加兔子数的 0.1 倍; (3) 第 n 年时, 兔子数量 R n 用表示, 狐狸数量用 Fn ? 表示; (4) 初始时刻 (即 第 0 年) ,兔子数量有 R0 ? 100? 只,狐狸数量有 F0 ? 30? 只。请用所学知识解决如下问题: (1)列出兔子与狐狸的生态模型( Rn ? 、 Fn ? 的关系式) ; (2)求出 Rn ? 、 Fn ? 关于 n 的关系式; (3) 讨论当 n 越来越大时, 兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态, 说明你的理由。

参考答案
一、选择题 1.C 2.A 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A 8.A 9.A 10.B

二、填空题 11. [1, 5] 三、解答题 12. [1,3 2 ? 4] 13. -1 14. (?4, ?3) 15.2 16. [ 2, 2]

17.
? π? ?π ?? ? 解: (1)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ? ? 2 x ? ? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 2 3? ? ? ? ? ? π? π π 2π ?π π? ? 又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 ,∴ f ( x)max ? 3, f ( x)min ? 2 . 6 3 3 3? ?4 2? ? ?π π? (2)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? ,∴ m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 , ?4 2?

∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1, 4) .

18. 解: (1)? ?
1 2

?
6

时, f ( x) ? x2 ? x ? 1 ? ( x ? )2 ? 。由 x ?[?
1 4

1 2

5 4

1 5 3 1 , ] ,当 x ? ? 时, f ( x) 有最小值为 ? , 2 4 2 2

当 x ? 时, f ( x) 有最大值为 ? 。 (2) f ( x) ? x 2 ? 2 x sin ? ? 1 的图象的对称轴为 x ? ?sin? ,由于 f ( x) 在 x ?[? 以 ? sin ? ? ? 19. 解: (1) p : x1 和 x2 是 x 2 ? mx ? 2 ? 0 的两根,所以 ?
? x1 ? x2 ? m ?| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? m2 ? 8 x ? x ? ? 2 ?1 2
3 1 , ] 上是单调函数,所 2 2

1 1 ? 2? 7? 11? 3 3 或 ? sin ? ? ,即 sin ? ? 或 sin ? ? ? ,所求 ? 的取值范围是 [ , ] ? [ , ] 2 2 3 3 6 6 2 2

又 m ? [?1,1] ,则有 | x1 ? x2 |?[2 2,3] 。因为不等式 a 2 ? 5a ? 3 ?| x1 ? x2 | 对任意实数 m ? [?1,1] 恒成立, 所以 a 2 ? 5a ? 3 ?| x1 ? x2 |max ? 3 ,所以 a2 ? 5a ? 3 ? 3 ? a ? (??, ?1] ? [6, ??)
q : 由题意有 ? ? (?2 2a)2 ? 4 ?11a ? 0 ? a ? 0或 a ?
11 2

11 由命题“ p 或 q ”是假命题,命题“ p 且 q ”是假命题,有 p 假 q 假,所以 a ? { } 。 2

20. 解: (1)令 x1 ? x2 ? 1 ,则 f (1) ? 0
?x1 , x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x2 时,f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( (2)

x1 x ), 因为 0 ? x1 ? x2 ? 0 ? 1 ? 1 , 又当 x ? (0,1) x2 x2

时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (

x1 ) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, ??) 上单调增。 x2

(3)令 x1 ? x2 ? 4 ,则 f (16) ? f (4) ? f (4) ? 2 ;令 x1 ? 4, x2 ? 16 ,则 f (64) ? f (4) ? f (16) ? 3
?3 x ? 1 ? 0 ?

所以 f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3 ? f (64) ,所以 ?2 x ? 6 ? 0

?(3 x ? 1)(2 x ? 6) ? 64 ?

? x ? (3,5]

21. 解: (1)证明∵PA=AB=2a,PB=2 2 a,∴PA +AB =PB ,∴∠PAB=90°,
2 2 2

即 PA⊥AB.同理 PA⊥AE. ∵AB∩AE=A,∴PA⊥平面 ABCDE. 3 分 (2)∵∠AED=90°,∴AE⊥ED.∵PA⊥平面 ABCDE,∴PA⊥ED.∴ED⊥平面 PAE,所以 DE⊥

AG。 所以 AG⊥PE, ∴AG⊥平面 PDE ? PA ? AE ,G 为 PE 中点,


6

(3)∵∠AED=90°,∴AE⊥ED.∵PA⊥平面 ABCDE,∴PA⊥ED.∴ED⊥平面 PAE.过 A 作 AG ⊥PE 于 G,过 DE⊥AG, ⊥PD. ∴∠AHG 为二面角 A-PD-E 的平面角. 在直角△PAE 中,AG= 2 a.在直角△PAD 中,AH= =
3 10 3 10 .∴二面角 A-PD-E 的正弦值为 . 10 10

∴AG⊥平面 PDE.过 G 作 GH⊥PD 于 H,连 AH,由三垂线定理得 AH

8分
2 5 AG a,∴在直角△AHG 中,sin∠AHG= 3 AH

10 分

(4)∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°, BC=DE=a,AB=AE=2a, 取 AE 中点 F,连 CF,∵AF∥=BC,∴四 边形 ABCF 为平行四边形.∴CF∥AB,而 AB∥DE,∴CF∥DE,而 DE ? 平面 PDE,CF ? 平面 PDE, ∴CF∥平面 PDE.∴点 C 到平面 PDE 的距离等于 F 到平面 PDE 的距离.∵PA⊥平面 ABCDE,∴PA ⊥DE.又∵DE⊥AE,∴DE⊥平面 PAE.∴平面 PAE⊥平面 PDE.∴过 F 作 FG⊥PE 于 G,则 FG⊥ 平面 PDE. ∴FG 的长即 F 点到平面 PDE 的距离. 13 分 ∴FG=
2 a. ∴点 C 到平面 PDE 的距离为 2

在△PAE 中,PA=AE=2a,F 为 AE 中点,FG⊥PE,
2 a. (或用等体积法求) 2

22.
' ' ? ? x ? x ? 2a ? ? x ? x ? 2a (x? 3a ) ,则 ? y ' ? log a ( x' ? 2a ? 3a) , 解: (1)设 Q( x ' , y ' ) ,则 ? ' ,又 y ? log a ?? ' ?y ? ?y ?y ? ?y ? ?

所以 g ( x) ? ? log a ( x ? a) 。 (2)| f ( x) ? g ( x) |?| log a ( x ? 3a) ? log a ( x ? a) |? 1 ,定义域为 ?
? x ? 3a ? 0 ? x ? (3a, ??) ,又 x ? [a ? 2, a ? 3] , ?x ? a ? 0

则有 a ? 2 ? 3a ? a ? 1 ? 0 ? a ? 1 ,所以 | f ( x) ? g ( x) |?| log a ( x ? 3a)( x ? a) |? 1
? ?1 ? log a ( x ? 3a)( x ? a) ? 1??, x ? [a ? 2, a ? 3] ,令 u( x) ? ( x ? 3a)( x ? a) ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? ( x ? 2a)2 ? a 2

? 2a ? a ? 2??? u( x) 在区间 [a ? 2, a ? 3] 上单调增,? a ? u ( x) ?

1 a

? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? a 9 ? 57 ? ?? 2 1 ?0?a? 2 12 x ? 4 ax ? 3 a ? ? a ?

理科学生做 1、A ;2、D;3、C;4、2;5、 22? ;6、 ? cos(? ? 2? ) ? 2? 或 ? cos(? ? 2? ) ? 2? ;
3 3

7、解:设直线为 ? ?

?

10 ? t cos ? (t 为 参 数) , (1 分) 2 ? y ? t sin ? ? x?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ?0 2

代入曲线并整理得

(2 分)

3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ?

(4 分)
3 4

所以当 sin 2 ? ? 1 时,即 ? ? 8、解:⑴ ?

?
2

, PM ? PN 的最小值为 ,此时 ? ?

?
2

。 (6 分)

?Rn ? 1.1Rn ?1 ? 0.15Fn ?1 (n ? 1) ????????????????????2 ?Fn ? 0.1Rn ?1 ? 0.85Fn ?1

⑵设 ? n ? ? ?? , M ? ? ? F
? n?

?? ? ? Rn ?

?1.1 ?0.1

?0.15? ? 0.85 ? ?
?? ?

∴ ? n ? M ? n ?1 ? M (M ? n ? 2 ) =??= M n ? 0 又矩阵 M 的特征多项式 f (? ) ?
? ? 1.1
?0.1

?? ?

???? ?

???? ?

0.15 ? = ? 2 ? 1.95? ? 0.95 ? (? ? 1)(? ? 0.95)? ? ? 0.85

令 f (? ) ? 0? 得: ?1 ? 1, ?2 ? 0.95? ???????????????????????4 特征值 ?1 ? 1? 对应的一个特征向量为 ?1 ? ? ?? 特征值 ?2 ? 0.95? 对应的一个特征向量为 ? 2 ? ? ?? ????????????????6 且 ?0 ? ?
?? ?

?? ?

?3 ? ? 2?

?? ?

?1? ?1?

?? ?

?? ? ?? ? ?100? ?3? ?1? ? 70 ? ? ? 110 ? ? ? 70?1 ? 110?2 ? ? ?30 ? ?2? ?1?
?? ? ?? ?
?3 ? ? ? ?1? ?? ? 210 ? 110 ? 0.95n ? ? n ? ?140 ? 110 ? 0.95 ? ? ?

∴ ? n ? M n?0 ? 70?1n ?1 ? 110?2n ? 2 ? = 70 ? ? ? 110 ? 0.95n ? ? ? ? 2 1 ∴? ?
? Rn ? 210 ? 110 ? 0.95n
n ? ? Fn ? 140 ? 110 ? 0.95

? ???????????????????????????8

⑶当 n 越来越大时, 0.95n ? 越来越接近于 0, Rn ? , Fn ? 分别趋向于常量 210,140。即随着时间的增 加,兔子与狐狸的数量逐渐增加,当时间充分长后,兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状 态。????????????????????????????????10



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