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两条直线的位置关系知识点梳理及其典型练习题讲解



两条直线的位置关系知识点梳理及其典型练习题讲解
一、知识点梳理 (一) 、直线平行 1、直线平行的条件; 2、运用直线平行的条件解答相关问题(判断两条直线是否平行,能运用条件确定两平 行直线的方程系数). 直线 l1 的方程为: A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 ,直线 l2 的方程为: A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0

? A1B1C1 ? 0, A2 B2C2 ? 0?
l1 / /l2 ?





A1 B1 C1 ? ? ? A1B2 ? A2 B1 ? 0, C1B2 ? C2 B1 ? 0 A2 B2 C2




l1



l2





?

A1 B1 C1 ? ? ? A1 ? ? A2 , B1 ? ? B2 , C1 ? ?C2 A2 B2 C2 A1 B1 ? ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 . A2 B2

l1



l2





?

(适用于 A l1 / /l2 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0, C1B2 ? C2 B1 ? 0 ; 1、B 1、C1、A 2、B2、C2 取任 意值的情况) (适用于 A l1 与 l2 重合 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0, C1B2 ? C2 B1 ? 0 ; 1、B 1、C1、A 2、B2、C2 取任意值的情况) (适用于 A . l1 与 l2 相交 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 1、B 1、C1、A 2、B2、C2 取任意值的情况) (二) 、直线相交 1、两条直线的交点坐标:解两条直线的方程所组成的方程组,就可以得到两条直线交 点的坐标. 2、 两条直线的夹角: 两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直线的夹角, 记作 ? . 两 条直线的夹角的范围 ? ? ?0,900 ? . ? ? (三) 、两条直线垂直的条件: 1、如果直线 l1 与直线 l2 的斜率都存在且不等于 0,那么 l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . 2、斜率不存在的直线与斜率为 0 的直线垂直. 两条直线的方程分别为 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,则直线 l1 ? l2 的充要条件是: A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 . 二、典型例题讲解 题型 1、判断或证明直线的平行关系 例 1、已知直线 l1 : 3x ? 6 y ? 10 ? 0 , l2 : x ? ?2 y ? 5 ,求证: l1 / / l2 .

证法一: 把 l1 与 l2 的方程写成斜截式 y ? ?

1 5 1 5 x ? ,y ? ? x ? , k1 ? k2 , b1 ? b2 , 2 3 2 2

? l1 / / l2 .
证 法 二 : 把
l2

















x ? 2y ? 5 ? 0



A1B2 ? A2 B1 ? 3 ? 2 ? 1? 6 ? 0 ? B1C2 ? B2C1 ? 6 ? ? ?5? ? 2 ?10 ? 0 ?

A1 3 B1 6 ? ? ? A2 1 B2 2



B1 6 C1 10 , ? l1 / / l2 . ? ? ? B2 2 C2 ?5

例 2、已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 ,l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 ,试确定 m 、 n 的值,使 l1 / / l2 . 分析: l1 / /l2 ? A 1B2 ? A 2B 1 ? 0, C1B2 ? C2 B 1 ? 0. 解:
l1 / / l2 ,?

m 8 n m 8 8 n ? ? ,? 由 ? 得 m ? ?4 ,由 ? 得, 2 m 1 2 m m 1

m ? ?4 ,

? n ? ?2 ,
即 m ? 4 , n ? ?2 或 m ? ?4 , n ? ?2 时 l1 / / l2 . 题型 2.根据平行或垂直条件求直线方程 例3、求直线 l 的方程: (1)过点 P ? 2, ?1? 且与直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 平行; (2)过点 P ? 2, ?1? 且与直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 垂直. 解: (1)设直线 l 的斜率为 k ,直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 为 l1 ,斜率为 k1 . 直线 l1 方程为: 3x ? 2 y ? 6 ? 0 ,? 直线 l1 的斜率 k1 ? ?

3 3 ? , ?2 2

l / /l1 ,

? k ? k1 ? ,
直线 l 过点 P ? 2, ?1? ,? 直线 l 的方程为: y ? ? ?1? ?

3 2

3 0 . ? x ? 2 ? ,即 3x ?2 y ?8 ? 2

另解为:因已知直线与所求直线平行,故所求直线可设为 3x ? 2 y ? C ? 0 ,由点

P ? 2, ?1? 在直线上解得 C ? ?8 ,故所求直线方程为 3x ? 2 y ? 8 ? 0 .
(2)设直线 l 的斜率为 k ,直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 为 l1 ,斜率为 k1 . 直线 l1 方程为: 3x ? 2 y ? 6 ? 0 ,? 直线 l1 的斜率 k1 ? ?

3 3 ? , ?2 2

l ? l1 ,

? k.k1 ? k ? ?1 ,? k ? ? ,
直线 l 过点 P ? 2, ?1? , ? 直线 l 的方程为:y ? ? ?1? ? ?

3 2

2 3

2 3 y1 ? 0 ? . 即 2x ? ? x ? 2? , 3

另解为:因已知直线与所求直线垂直,故所求直线可设为 2 x ? 3 y ? C ? 0 ,由点

P ? 2, ?1? 在直线上解得 C ? ?1 ,故所求直线方程为 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 .
题型 3.求直线交点 例4.求下列两直线的交点: l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 . 解:解方程组 ?

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? x ? ?2 得? ,所以两直线的交点是 ? ?2, 2 ? . ? 2x ? y ? 2 ? 0 ? y ? 2

题型 4.已知直线的位置关系,求参数值
2 例 5. 直线 l1 : ? m ? 2 ? x ? m ? 3m y ? 4 ? 0 , 如果 l1 / / l2 , l2 : 2x ? 4 ? m ? 3? y ?1 ? 0 ,

?

?

求 m 的值. 解: : 若 l1 / / l2 , 则有 ?

?(m ? 2) ? 4( m ? 3) ? ( m 2 ? 3m) ? 2 ? 0
2 ? (m ? 3m) ? (?1) ? 4 ? 4( m ? 3) ? 0

, 解得:m ? ?4 或 m ? 3 .

例 6. 直线 l1 : ax ? ?1 ? a ? y ? 3 ? 0 与 l2 : ? a ?1? x ? ? 2a ? 3? y ? 2 ? 0 互相垂直, 求a的 值. 解:利用直线垂直的充要条件: A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 得, a ? a ?1? ? ?1 ? a ?? 2a ? 3? ? 0 , 解得: a ? ?3 或 a ? 1 .



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