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1.自主招生专题之函数的性质(答案)


1.自主招生专题之函数的性质
一、典型例题

1? ? 6 ?6 ? x ? ? ??x ? x ??2 x? ? 例 1.(2001 年上海交大) x ? R ,求 f ? x ? ? ? 的最小值。 3 1? ? 3 ?3 ?x? ? ?x ?x x ? ?

6

例 2.(2005 年上海交大) y ?

ax 2 ? 8 x ? b 的最大值为 9,最小值为 1,求实数 a,b. x2 ? 1

例 3.(2011 北约)求 y ? | x ? 1 | ? | 2 x ? 1 | ?... ? | 2011 x ? 1 |的最小值。

1

例4.(2010年浙江大学)设集合M ? {x | f ( x) ? x},N ? {x | f ( f ( x)) ? x}. (1)求证:M ? N ; (2)若f ( x)是一个R单调增函数,是否有M=N?若有,请证明.
【证明】 (1)若 M ? ? ,显然有 M ? N 成立; 若 M ? ? ,任取 x0 ? M ,即有 f ( x0 ) ? x0 , 从而 f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ) ? x0 ,即 x0 ? N .故 M ? N . (2)若 f ( x) 是一个在 R 单调递增的函数,一定有 M ? N .证明如下: 若 N ? ? ,则 N ? M ,又由(1)知 M ? N ,从而有 M ? N . 若 N ? ? ,任取 x0 ? N ,即有 f ( f ( x0 )) ? x0 . 下证 f ( x0 ) ? x0 ,用反证法证明之. 若 f ( x0 ) ? x0 ,不妨设 f ( x0 ) ? x0 ,由于 f ( x) 是一个在 R 单调递增的函数, 从而 f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ) ? x0 ,与 f ( f ( x0 )) ? x0 . 矛盾! 同理 f ( x0 ) ? x0 时,有 f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ) ? x0 ,矛盾! 故必有 f ( x0 ) ? x0 ,即 x0 ? M ,从而有 N ? M . 又由(1)知 M ? N ,从而有 M ? N . 注意:这里“ f ( x) 在 R 上单调递增”是十分重要的,此条件下,当 N ? {x | f n ( x) ? x} 时仍有 M ? N ,
2

但若 f ( x) 是 R 的减函数时,结论则未必成立,例如 f ( x) ? ? x ,此时 M ? {x | f ( x) ? x} ? {0} , 而 N ? {x | f ( f ( x)) ? x} ? {0,1} ,此时 M ? N.

例5.(2008年北京大学)已知a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 , a1a2 ? a2a3 ? a3a1 ? b1b2 ? b2b3 ? b3b1. 若 min{a1 , a2 , a3} ? min{b1 , b2 , b3}, 求证: max{a1 , a2 , a3} ? max{b1 , b2 , b3}.
分析:由a1 ? a2 ? a3及a1a2 ? a2 a3 ? a3 a1,可以联想到韦达定理,可以先构造三次方程试试.

如果f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d的三个零点分别为x1 , x2 , x3 , 那么三次方程的韦达定理是什么?

设f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 )展开得,比较对应的系数, b ? ? x1 ? x2 ? x3 ? ? a , ? c ? 得 ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ? , (三次方程韦达定理). a ? d ? ? x1 x2 x3 ? ? a . ? 证明:设a1 ? a2 ? a3 ? a, a1a2 ? a2 a3 ? a3 a1 ? b, a1a2 a3 ? c1 , b1b2b3 ? c2

则函数f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c1有三个零点a1 , a2 , a3 ; 函数g ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c2有三个零点b1 , b2 , b3 .
? g ( x) ? ( x ? b1 )( x ? b2 )( x ? b3 ).

由对称性,不妨设a1 ? a 2 ? a ,3b ? a1 ? b1 . 1 b ? 2 b . 由已知,得 3
3 2 ? g( a b ?即a 0 1 ) ? (a 1 ? b 1 ) (a 1 ? b 2 ) (a 1? 3 ) 1 .? aa1 ? ba1 ? c2 ? 0.

3 f (a1 ) ? 0,? a1 ? aa12 ? ba1 ? c1 ? 0, 于是c1 ? c2 , 所以f ( x) ? g ( x).

又f ( a 所以 , g ( a ?) 即 0, 3 a? ( 1b 3 )? 0 3
而b1 ? b2 ? b ,3 ? a3 ? b3 0 ?即 ,

3

a )?( 2 b

3

? a )( 3 b? )

0.
}.

? a3 ? b1 , a3 ? b,2 a3?中至少有一个为负数 b3 .
a3 ? ? b . 3m a xa{ 1 a, 2 a, 3? } ma b1x b {2 b ,3 ,

例 6.(2012 年北大保送生考试试题)已知 f ( x )为实系数一元二次函数,

a, f(a), f( f(a)), f( f( f(a)))为正项等比数列,求证: f (a) ? a 。

3

例 7.(2011 年清华大学)已知函数 y ? f( x)满足: (1) f(1) ? 1 ;(2)?x ? [0,1], f( x) ? 0 ; (3) ?x ? [0,1], y ? [0,1]且 x ? y ? [0,1],都有 f( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)。 求证: ?x ? [0,1], f( x) ? 2 x 。

例 8.(2009 年南京大学)设 R 为实数集,找出所有定义在 R 上且使得 f ( f ( x ? y)) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? xy 对所有实数 x,y 都成立的函数 f(x) 。

4

二、课堂练习 1.(2000 年上海交大)已知 f ? x ? 满足: f ? x ? 1? ? _______________。2

1? f ? x? ,则 f ? x ? 的最小正周期是 1? f ? x?

2.(2012 北约)函数 f( x) ? | x ? 2 | ? | x | ? | x ? 1 | 的单调递增区间是_________.

3.函数 f ( x) ?

x2 ? 1 的值域为 x ?1



1 1 cos ? ? 解析:设 x ? tan? ,? ? ? ? ,且 ? ? ,则 f ( x) ? ? 4 2 2 tan? ? 1 sin? ? cos?

. ? 2 sin( ?? ) 4 1 2 ? ] ? (1,??) . 设 u ? 2 sin( ? ? ) ,则 ? 2 ? u ? 1 ,且 u ? 0 ,所以 f ( x) ? ? (??,? u 2 4 4.(2011 年南京理工大学)已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 1 ,若 a ? (0,3) 且 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值 为

?

?

?

1

3 ,则 a ? 2



1 9 或 2 4


5.(2009 年南京大学)已知x ? R, f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1, 则f ( x)的值域是 解析: x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 ? ( x ? )2 ? (0 ?
1 2 3 2 1 3 2 ) ? ( x ? ) 2 ? (0 ? ) 2 2 2

1 3 1 3 联想到两点间的距离公式,知本题是求点P( x,0)到两点M (? , ), N ( , )的 2 2 2 2 距离之差的取值范围.从而值域为(?1,1).

6. (2000 年上海交大) 函数 f ? x ? ?

3

x ? 1 ? x 2 ? 3 x ? 1 ? x 2 ? x ? R? 的反函数是___________。

y ?

x3 ? 3 x 2

三、课后作业 1.集合 M 由满足如下条件的函数

f ? x ? 组成:当 x1, x2 ???1, 1 ? 时,有
x ,以下关系
( )

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 x1 ? x2 ,对于两个函数 f1 ? x ? ? x2 ? 2x ? 5, f 2 ? x ? ?
中成立的是

A. f1 ? M , f2 ? M ; B. f1 ? M , f2 ? M ; C. f1 ? M , f2 ? M ; D. f1 ? M , f2 ? M ;
2 2 解析: f1 ? x1 ? ? f1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 ? 4 x1 ? x2 .

f 2 ? x1 ? ? f 2 ? x2 ? ?

x1 ?

x2 ?

x1 ? x2 x1 ?
?

x2

,取 x1 ?

1 1 , x2 ? , 900 3600

则 f 2 ? x1 ? ? f 2 ? x2 ? ?

x1 ? x2 x1 ? x2

x1 ? x2 ? 20 x1 ? x2 ? 4 x1 ? x2 .答:D. 1 1 ? 30 60
5

2.(2012 年上海财经)分别记函数 y ? x ?

x 2 ? 1 的图像为 C1 ,定义在集合 A 上的函

1 1 ( x ? ) 的图像为 C2 。若 C1 与 C2 关于直线 y ? x 对称,则集合 A 为 ( B ) 2 x A. [?1, 0) (0,1] B. [?1, 0) [1, ?? ) C. ( ??, ?1] (0,1] D. ( ??, ?1] [1, ?? ) y?
2x ?1 , f n ?1 ? x ? ? f1 ? ? f n ? x ?? ? ,则 f 28 ? x ? =_______________. x ?1

3.(2001 年上海交大) f1 ? x ? ?

4.(2011 年南京理工大学)已知函数 f ( x) ?

a ? 3bx ? sin x ? bx cos x (a, b ? R) ,若 f ( x) 在 R 上既有最 3 ? cos x 大值,又有最小值,且最大值与最小值的和为 6 ,则 a ? b ? 。8

5. (2008 年上海财经)函数 y ? ax2 ? 2(a ? 3) x ? a ? 2 中, a 为负整数,则使函数至少有一个整数 零点的所有 a 的值之和为_____________. 答案:-14 解析:令 ax2 ? 2?a ? 3?x ? a ? 2 ? 0, 且 x ? Z , a ? 0, a ? Z ,令 t ? x ? 1, t ? Z ,则 a ? 因 a ? 0, 则 t ? ?

? ?6t ? 4 ? t2

2 ,又 t ? Z ,所以 t ? 0 3

1? t ? 0, x ? 1 时,原方程不成立 2? t ? 0 时, t ? 1, a ? ?10 ,符合题意 t ? 2, a ? ?4 ,符合 t ? 3,4,5,6, a ? Z ,舍去

t ? 7, t 2 ? 6t ? 4, a ? Z ,舍去 即 a ? ?10 或 ? 4
6.函数 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 的值域为______________. [1, ) ? [ 2,?? )

3 2

x 2 ? 3x ? 2 ? x 2 ? 3x ? 2 ? y ? x ? 0 . y2 ? 2 3 两边平方得 (2 y ? 3) x ? y 2 ? 2 ,从而 y ? 且 x ? . 2 2y ? 3 y2 ? 2 y 2 ? 3y ? 2 3 由y?x? y? ?0? ? 0 ?1? y ? 或 y ? 2 . 2y ? 3 2y ? 3 2 2 y ?2 2 任取 y ? 2 ,令 x ? ,易知 x ? 2 ,于是 x ? 3x ? 2 ? 0 且 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 . 2y ? 3 3 y2 ? 2 任取 1 ? y ? ,同样令 x ? ,易知 x ? 1 , 2 2y ? 3
【解】 y ? x ?
2 于是 x ? 3x ? 2 ? 0 且 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 . 3 因此,所求函数的值域为 [1, ) ? [ 2,?? ) . 2

6

7. (2011 年上海财经)已知正方形 ABCD 的面积是 36, AB 平行于 x 轴, 若顶点 A、B、C 分别在 函数 f1 ( x) ? loga x ,f2 ( x) ? 2loga x ,f3 ( x) ? 3loga x 的图像上, 则 a ? ______. 6 3 或

1
6

3

8. (2012 年上海财经 ) 已知 x ? R ,函数 f ( x ) 满足 f ( ) ? ? f ( x ), f ( ) ? ? f (2 x ) 。若当

?

1 x

2 x

x ? [1, 2] 时, f ( x ) ? ( x ? 1)(x ? 2),则函数 y ? f ( x ) ?
_________.4

1 在区间 [1,100] 内零点的个数为 4

7. (2012 年上海财经)指出函数 y ? ( ) 解: (1)定义域为 R; (2)

1 2

| x ? 2|

1 1 ? ( )| x ? 2| ? ( x ? R) 的基本性质并说明理由。 2 2

1 1 1 f ( ? x ) ? ( )|? x ? 2| ? ( )|? x ? 2| ? ? f ( x ) , 2 2 2 ? f ( x ) 为偶函数,图象关于 y 轴对称;

1 ?1 x 1 (2 ? x ) ? , 0 ? x ? 2 ? ?4 2 2 (3)当 x ? 0 时, y ? ? , 17 1 x 1 ? ( ) ? ,x?2 ? ? 4 2 2 所以 f ( x ) 在 (0, 2) 上单调递增,在 (2, ??) 上单调递减,又 f ( x ) 为偶函数, 所以 f ( x ) 在 ( ?? , ?2) 上单调递增,在 ( ?2, 0) 上单调递减, 9 1 9 (4)由(3)知 f ( x )max ? f ( ?2) ? f (2) ? ,所以函数的值域为 ( ? , ] 。 16 2 16
7

8.(五校 2010 联考样题)已知 f ( x )是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x )单调递增, 设 ?( x f(?1) ? 0 。 ) ? s i n
2

x ?m c o s

x 2 ?m
2

, 集合 M ? {m |对任意的 x ? [0, ] ,

?

2

? ?( x) ? 0} , M ? {m |对任意的 x ? [0, ], f(?( x)) ? 0} ,求 M

N.

8



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