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“变换主元



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课 外园地?  

数学通讯 一 2 0 1 2年 第 1 0期 ( 下半月)  

5 7  

“ 变换 主 元 , 柳 暗花 明 ”  
简解 一道 竞赛 题 引发 的思考 
程汉波   杨春 波   胡 典顺  
( 华 中师范大学 数学与统计学学 院 ,

4 3 0 0 7 9 )  

在许 多数学 问题 中 , 都会 含 有 常 量 、 参量、 变 量 

到如下 更加 简洁 的解 法 .   简解 沿用 参考答 案 中的记法, 并设直线 1 :  


等多个量( 统称为元素) , 有 时按照常规思维对这些  元素主次性的区分往往使我们陷入繁难甚至无法解 
决 的境地 , 但 若变 换 角度 , 反客为主, 往往 能 事半 功 
倍, 收到意想 不到 的效果 .  

口+ r 6+ r   + 2r  + 1= 0 r 0

则原 点 到直线 z上 的点 

的距离 应不 小于原 点 到直线 z的垂 直距离 , 于是有 


、 / 厂  

≥   兰 
  ‘

引例  ( 2 0 1 1 全 国高 中数 学联 赛 湖 北 省预 赛 第  1 0题 )已知 口 , b ∈R, 关 于 X 的方程 z   +纰 。 +2 x   +如 +1 =0有一个 实根 , 求口  +6  的最小 值 .   参 考答 案 是这 样 解 的 : 设 r为 方程 X  +O . X 0 +   2 z   +   +1 =0的实根 , 贝 0 有 r  +盘 r 。 +2 r   +b , . +  
1 =0 , 即( r   +1 )   +r ( 口 r   +b ) =0 . 显然 r ≠O , 由柯 

 ̄ / r 6 +r 2  

:  丝
’  
,  

 ̄ / r 2 ( r   +1 )  

:  

 ̄  / 2 (   r 2 + 1   ) 2  2  
: ±  : ±  一  
2  

则口   +b 2 ≥8 , 经检验 , 等 号 可 以取 得 , 即口  +  
b  的最 小值 为 8 .  

简解 将 关 于  的 四次方 程 看作 参 数 口, b的直  线方 程 , 反 客为 主 , 数 形 结合 , 收 到 了意想 不 到 的解  题 效果 , 这 启示 我们 : 在 某些 情 况 下 , 可 以人 为地 突  出某 些元 素 的地 位 和 作 用 , 变换 主元 , 独辟 蹊 径 , 往 

西不 等式易得 ( a r   +b )   ≤( 口   +b   ) ( r   +1 ) , 于是 




 

]   ×  

(   ! ±   ) ! 一(   ! ±  1 ±   ) !  
r   ( r   十1 )   r   ( r  +1 )  
1   :
 

往会柳暗花明又一村 . 这种 以某元素为主去分析 、 研 



r ( r 4 +   )  
2  

r z  
r 4

等 r   2 + 。 筹1 r 4 十   + 4  对 主元 法 在数学 解题 中的应 用再 加 以阐述 .  
1 主元法 与不定 方 程 

究、 解决 问题 的方法 叫作 主元法 . 下面 结合若 干例题 

+1   X   4r ≥2   r 4

1+4= 8.  



侈 4   1   求方程 3 z  十7 x y一2 x一5 y一1 7 :0的  正整 数解 .   分析 有 的 同学 一看 到 求方 程 的正 整数 解 , 马 

经检验 , 等 号 可 以取 得 , 因此 n  十b  的最小 值 
为8 .  

上述解法 首 先 将 原 方 程 变 形 , 得知 a r  +b可 

上想 到把原 方程 整理 为关 于  的一 元二 次方 程 , 即 

用r 表出, 继 而运用柯西不等式、 基本不等式对 口  
+b  进行 放缩 与 变 形 , 最终求得其最小值. 该 解 法  技巧 性之强 , 难度 之大令 人感觉 很不 自然 , 也难 以想  到, 而且有 些变形 是 多余 的 . 于是 不 禁 要 问 : 有 没 有  更 加简洁 的解 法 呢?  

3 z   +( 7  一2 ) z一( 5 y+1 7 ) =0 , 再利 用 求 根 公式  进行讨论 . 显然 , 这 一 过程 将 会 非 常漫 长 . 为什 么不  转换 一个角 度看 问题 呢?原 方程 也可 看作是 关于 y   的 一 次 方 程 ,这 样 就 轻 易 地 得 到 


=  

题目 要求 口   +b   的最小值 , 即点( 口 , b ) 到原点  距离的平方 , 受此启发 , 我们 不妨将题 目中关于 z  
的方程看 作是 关 于参 数 盘, b的直线 方 程 , 则 可 以得 

由 于 

≥ 1 ,y ≥ 1 ,则 

{ 【   ≥   解 得 z : 1 或 z : 2 , 所   3 z   +2 z+1 7 ≥7 z一5 ,。  。  


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数学通讯 一 2 0 1 2年第 l O期 ( 下半月)  

? 课外园地 ?  



j   或 . {  2 ,   【   8,   【   1 .  
例2   ( 2 0 0 2年我 爱数 学初 中生夏 令 营数 学竞 

作 为主元来研 究 , 以此类 推 , 轮流做 主 , 各个击 破 .  
4 主元 法与不等 式 

2 主元法与 高次方程 

例4

( 2 0 1 1年浙 江省 高 中数 学竞 赛 第 1 0题 )  

对任 意 a ∈[ 一1 , 1 ] , 已知 厂 ( z) =z   +( a一4 ) z+4  


赛 第 7题 ) 解 方程 z  一   z   一( 2   +1 ) x+3 +  
= 0.  

2 a>O恒成立 , 求  的取值范 围.   分析 题 中要求 二 次 函数 . 厂 ( z) 的值恒大 于零 ,  

分析 这是一个关于 z的一元三次方程, 若采 
取 因式 分解法求 解 , 一 时真不 知道 该如何 分解 ; 若利  用 三次方 程的求根 公式 求解 , 显 然 十分繁 琐 , 况且 考  纲也并不要 求 中学 生 掌握 其 求 根公 式 , 怎么 办 ?我  们仔细 观察原方 程 的系数 , 发 现  与 3累次 出现 , 如  果把  用 a表示 , 则 原 方程 就 是 z  一觚   一( 2 口+   1 ) z+a  - t - a=0 , 以 a为 主元 , 则 可整 理 成 关 于 a   的一元二 次方程 a   一(   +2 x 一1 )   +z  一   :0 ,  
分解 因式得 ( 以一z+1 ) ( a—z  一z) :0 , 故 口=z—   l 或 口=z   +  , 且   =   一1   =z  +z, 从 而可 

则须使 f( x) 的最 小 值 大 于 零 , 而厂 ( z) 的最 小值 一 
定在对 称轴 处取得 吗 ?这要 由 z 的范 围来定 , 而 

的范 围正是 我们所 要 求 的 , 真是 “ 山重水 复 疑无 路 ”  
啊 !考 虑到在 函数 f ( z) 中  是 自变 量 , 是“ 主” , a  

是变化 的参量 , 是“ 客” , 若 将 主 客角 色 逆转 , 反 客 为  主, 把f ( x) 看 作 是 口 的 函数 , 则将 “ 柳 暗 花 明 又一  村” 了. 设 g( a) =( 1 z一2 ) a+z   一4 x+4 , 贝 0 函数 g  

( 盘 ) >0对 任 意 的 / 2 ∈[ 一1 , 1 ] 恒成 立 , 于 是有 

_ { 【 g   _   ) > 0 ’ 解 得 z < 1 或   > 3 , 即 z 的 取 值 范 围   g( 1 ) >0 ,  
为( 一∞ , 1 ) U( 3 , 十o o ) .   、  

求 出 原 方 程 的 根 为  1 = √ 3+ 1 ,X 2=  


1 + √1 + 4  
— 一   一  

一1 一 √1 + 4 √ j  
3—  2   。  

例5   已知 a∈R且 O <a<1 , 求证: 对 任 意 的 



3 主元 法与最值 问题 

z≠ 0 ,恒 有 不 等 式 2 1 g  

<  

例3   ( 《 数 学通讯 》 2 0 1 2年 第 5期 问题 9 9 )已 

l g  等  成 立  
分析 若令 t =2   , 则 t >0且 t ≠1 , 原 问题 转 
)   <l g   , 即证  化为证 明l g (  

知 ,   是锐角 , 求  =  
小值.   分析

+  

9  

的最 

对多元 最值 问题 , 我们 比较 陌生 , 但 观察 

( a 2 —3 a) t   十2 a t   十( 2 a一2 ) t  十2 t 一 2 <0  
( *)  

发现 0 ,   是相互独立 的, 于是可 以先选  作为主  元, 将 Y 视 作  的 函 数? Y   f(  )  
3 6  


十  

( *) 式是 关于 变量 t的四次不 等式 , 再证 下去 ,  
思维受 阻 , 怎么办 ?我们 重新 审视 ( *) 式: 它有两个 

易 知 当   号 时 , 厂 (   ) 取 得 最 小 值 ,  
+   . 再 将 厂(  ) r a i n 视 为  的 函  ) ( s i n Z O+  

变元 , 主元 是 t , 参 元 是 a, t的最 高 次 数 是 4 , 而 a  

厂 (  )   =  

的最高次数是 2 , 何不把( *) 式视为关于 a的二次 
不等 式呢? 即令 g( a ) =t 4 a  一( 3 t  一2 t  一2 t   ) a  

数, 有 g(  ) =厂(  )   =   4 +  



2 ( t 。 一t +1 ) , 口∈[ 0 , 1 ] , 从而转证 g ( a ) <0 , 也 

c o S 2 0 ) = 4 0 + 3 6 t a n 2   +—  )6 4 当且仅当 3 6 t a n 2 0  
t a n-  

许会柳 暗花 明 , 不妨 一 试 . g( a ) 是开 1 2 1 向上 的抛物 
线, 且 g ( O ) =一2 ( t  一t +1 ) <O , g ( 1 ) =一 2 ( t 一1 )  
?




即  詈 时 等 号 成 立 ? 故 所 求 函 数 的 最 小  

( t   +t +1 ) <0, 结合 图象 ( 略) 知 g( a ) <0在 ( 0 ,  

值为 6 4 .  

1 ) 上恒 成 立 , 这 就证 明 了 (*) 式成立, 故 原 不 等式 
成立 .  

对于多个元是相互独立 的最值问题 , 我们可以   先选择某个元素作为主元 , 视其他元素为参数 , 研究 
关于这 个元素 的最 值 问题 , 然后 再 选 择 另一 个元 素 

例6  设 a , 口 , y是任意三角形 的三个内角 , 求 
证 :  

?

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3 2

。 +Y   +Z 2 ≥2 x y c o s a+2 y z c o s l+2 f z x c o s y,  

变量 z的地位 , 再 记左 端 为 f ( x ) =( 1 一Y—z ) X+  

其 中 X, Y,   是任 意实数 .  
分析


( Y一1 ) ( 1 一  ) , z ∈[ 0 , 1 ] . 容易  0 断f ( o ) =( Y 一1 )  
( 1 一z ) <O , f ( 1 ) = 一y z <O , 结合 图象 ( 略) 可知 , 对  任意 的 X∈( 0 , 1 ) 都有 f ( z) <0 , 得证 .  
结语 

将 此不 等式转 化 为 

2 +  2 +  2 一( 2 x y c o s a+2 y z c sf o l+2 z x c o s y )  

≥0 ,  

构造 以 z为 变量 的二次 函数 
f ( x) =, 2 7  一2 x( y c o s G+z c o s T ) +Y  十   一  

以上 几 例 只是 对 主元 法 的使用 作 了初步 探究 .  
利用 主元法 , 我们 可 以分 解 因式 、 解方程( 组) 、 证 明 

2 y z c sf o l ,  

不 等式 、 求 参数 范 围 、 求 最值 、 解 决 过 定点 和恒 成 立  等 问题 , 它在 中学数 学 中有着广 泛 的应 用 , 主元若 选  择得 当 , 不 但解题 思 路 清 晰 , 而且 解法 简 洁 明快 . 另 

只需说 明对任 意 的 z, Y,   都  ( X) ≥0 , 为此  需验 证判别式 不大 于零 .  
A=4 ( y c o s a+z o o s ) ' )   一4 ( y   +   -2 y z c s ̄ o )  
=4 y   ( c s2 o ,  ̄ 一1 ) +8 y z ( c o s a c o s y+c o s # )   +4 z 2 ( c o s 2 y一1 )  
= 一4 y 2 s i n 2 a   8 y z s i n a s i n 2 ' 一4 z   s i n = y  

外, 主元法也是解题的一种重要思想方法, 其问充满  着辩证思维 , 蕴含了转化与化归的数学思想, 体现了  
和谐统 一 、 普 遍联 系 的哲学 观点 , 我们若 能灵活运用  它, 必将收 到事半 功倍 之效 .  

= 一4 ( y s i n a—z s i n y )   ≤0  

题中三个变量 , 2 7 , Y ,   位置对称 , 地位均等, 若  平均使力则不易把握 , 但我们以 , 2 7 为主元( 也可以 Y  
或  为主元 ) , 把 不 等 式 问题 转 化 为 二 次 函数 恒 大  于或等 于零 的问题 , 轻 易得 证 .   例7   ( 第1 5届 全 俄 竞赛 题 )已知 0 <X, Y,  

参考 文献 :  
[ 1 ] 张徐 生 . 主元法 在数学解 题 中的应用 [ J ] . 数学 教学 研 
究, 2 0 1 0 ( 7 ) .  

[ 2 ] 胡 典顺 , 徐汉文. 初等数论 [ M] . 北京: 科学 出版社 ,  
2 0 1 0 . 6 .  

<1 , 求证 : x ( 1 一 Y ) +y ( 1 一z ) +z ( 1 一X ) <1 .   分析 该不等式有代数证明、 几何证明、 概率证  明等多种证法 , 读者可参考文献 [ 4 ] , 但这种种证法 
均技 巧性太强 , 不 易想 到 ; 其实 , 可 将 要 证 的不 等 式  变形 为( 1 —3 , 一z ) x+(  一1 ) ( 1 一z ) <0 , 以此突 出 

【 3 ] 胡典顺 . 减少解题 中的“ 废招” 【 j ] . 数学通报 , 2 0 0 8 ( 7 ) .   [ 4 ] 李国梅 . 证 明不等式 , 感 受数学 美 [ J ] . 数学通讯 , 2 0 1 1   ( 1 2 ) ( 下半月) .  

( 收稿 E t 期: 2 0 1 2 —0 6 —0 5 )  

对一道全 国高中数学联赛试题的推广 
储炳南  
( 安徽省岳西 中学 , 2 4 6 6 0 0 )  

1 问题 的提 出 

( 1 )证 明 : AP A B 的 内切 圆的 圆心在 一条 定直 
线上 ;  

2 0 1 1 年全国高中数联赛复赛第 1 1 题是这样一 

道 题 : “ 作 斜 率 为 吾 的 直 线 z 与 椭 圆   +   4 = 1 交 于  
A, B两 点 , 且点 P( 3   ,   ) 在 直线 z的上方 .  

( 2 )若  A P B=6 0 。 , 求 △ 

的面积 .  

笔者 在 对该 问题进 行 探 讨 时 , 发 现该 题 中 的第  ( 1 ) 小题 的结论 可 以推广 到一般 情形 , 即有如下一般 



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