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苏教版高中数学(必修1)2.2《指数函数》word教案2课时



指数函数及其性质(1)
教学目标: 知识技能:使学生理解指数函数的定义,掌握指数函数 的图象和性质, 初步学会运用指数函数解决问题。 过程方法:引入,剖析、定义指数函数的过 程,启动观察、分析、归纳、 总结、抽象概括等思维活动,培养学生的思维能力,体会数学概念的学习方 法,通过运用多媒体的教学手段,引领学生主动探索指数函数性质,体会学 习数学规律的方法,体验成功的乐趣.

情感态度和价值观:通过本节课的学习,使学生获得研究函数的规律和方 法,提高学生的学习能力,养成积极主动,勇于探索,不断创新的学习习惯 和品质。 教学重难点 重点:指数函数的定义、图象、性质. 难点:指数函数的定义理解,指数函数的 图象特征及指数函数的性质。 教学媒体:多媒体教室 教学过程: 一、 创设问题情境 引例 1:某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,......,依此 类推,一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与分裂次数 x 有怎样的 函数关系? 引例 2:某种商品的价格从今年起每年降低 15%,设原来的价格为 1,x 年后的价 格为 y,则 y 与 x 的函数关系式? 引导学生分析问题通过列表寻找规律 (1) 动画展示细胞分裂的过程,寻找 Y 于 X 的对应关系,进而得到得到的细胞 个数 y 与分裂次数 x 的函数关系。 (2) 通过列表:

x
y2
函数关系: 在

1
0.85

2
0.852

3

4

5

6

0.853 0.854 0.855 0.856
y ? 0.85x

寻找商品价格 y 与 x 年后的函数关系。 归纳总结:

y1 ? 2 x

y1

2 ? 2 x 和 y ? 0.85 x 中,指数 2

x 是自变量,底数是一个大

于 0 且不等于 1 的常量。 我们把这种自变量在指数位置,而底数是大于 0 不等于 1 的常量的函数称为 指数函数。 二、 新知探究 指数函数的定义: x ) 函数 y ? a (a ? 0且a ? 1

叫指数函数(exponential

function), 其中

函数定义域是 R 。 x 是自变量。

探究 1:为什么要规定 a ? 0,且a ? 1呢? 练习 1:若 y ? (a 2 ? 4) x 是指数函数,求 a 的取值范围。 探究 2:函数 y ? 2 ? 3x 是指数函数吗? 练习 2:下列函数是否是指数函数: (1)y=0.2x (2)y=(-2)x (3)y=ex (4) y ? 3? x (5)y=1 x

本题主要考察学生对指数函数定义 的理解。特别注意底数 a ? 0且a ? 1 。 问题:在前面,我们是如何来研究函数的性质的呢? 问题:研究函数的性质,考虑哪些方面? 今天, 我们借鉴研究函数性质的方法通过借助函数的图像来研究指数函数的 性质。 观察下面指数函数的图像,你能发现它们的函数图像有哪些特征?
1? ?1? 将 y ? 2 , y ?3 和 y ?? ? ? , y ? ? ? 的图像画在同一个直角坐标。
x x

x

x

?2?

? 3?

问题一:图象分别在哪几个象限? 问题二:图象的上升、下降与底数 a 有联系吗? 问题三:图象中有哪些特殊的点? 问题四:指数函数 y ? 2 的图像是否具有对称性? 问题五:函数 y ? 3 与 y ?
x

x

?1? ? ? ? 3?

x

图象有什么关系 ?

1 猜想:函数 y ? a x 与 y ? ( ) x 关于 Y 轴对称。 a

分析:函数 y ? a x 图像上的点 ( x, a x ) 关于 Y 轴对称的点 (? x, a ? x ) ,该点坐
1 1 1 标 还 可 可 表 示 为 ( ? x, ( ) ? x ) 在 y ? ( ) x 的 图 像 上 ; y ? ( ) x 图 像 上 的 点 a a a 1 x 1 (x , ( ) ) 关于 Y 轴对称的点 (? x , ( )x ) ,该点坐标还可可表示为 (? x, a ? x ) 在 a a

y ? a x 图像上。因此,猜想是正确的。
用几何画板演示当底数 a ? 0,且a ? 1时的指数函数图象。 完成下表:

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 图像和性质

a>1

0<a<1

y
图 象

y=1 0
a>1
图 征

y=ax (a>1)

y=ax (0<a<1) y=1
x
0<a<1

y (0,1) 0 x
0<a<1

a>1





三、应用示例 例 1、求下列函数的定义域:



y?2

x2 ?1

?1? ②y ?? ? ?3?

3? x

例 2 已知指数函数 f( x ) ? a x

(a>0,且 a≠1)的图象经过点(3,π ) ,求

f(0)、f(1)、f(-3)的值. 分析:我们知道函数图象经过某个点 ,那么这个点的坐标就满足这个函数的方 程。 解题后的 反思:确定指数函数的解析式需要哪些条件? 课堂小结: (1) 指 数函数的定义: 函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1 ) 叫指数函数(exponential function), 其中

x 是自变量。 函数定义域是 R 。

指数函数的性质: (??,??) (1)定义域: 值 域:(0,??) (0,1) (2)函数的特殊值: 0 ? a ? 1, 单调减 a ? 1, 单调增 ; (3)函数的单调性: 方法:利用函数图像研究函数性质是 一种直观而形象的方法,记忆指数函数性质 时可以联 想指数函数的图像。 作业:必做题:习题 2.1A 5、6. 选做题:习题 2.1B 1

2.1.2 指数函数(2)
教学目标:
1.掌握指数函数的图象和性质; 2.能运用指数函数的图象和性质解决一些实际问题。 3.培养从特殊到一般的抽象、概括、归纳能力。 重点、难点:能运用指数函数的图象和性质解决一些实际问题

一、知识归纳
1.设 y1 ? 4 , y2 ? 8
0.9 0.48

1 , y3 ? ( ) ?1.5 ,则它们的大小关系为 2

。 )

2.若函数 y ? a x ? b ?1(a ? 0且a ? 1) 的图象经过第二、三、四象限,则一定有( ① 0 ? a ? 1, 且b ? 0 ③ 0 ? a ? 1, 且b ? 0 ② a>1 ,且 b>0 ④ a>1,且 b<0

3.已知实数 a,b 满足等式 ( ) ? ( ) ,下列五个关系式
a b

1 2

1 3

①0<b<a;②a<b<0;③0< a < b;④b < a <0;⑤a=b=0。 其中不可能成立的关系式有
x



4.若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a ?1| (a ? 0, 且a ? 1) 的图象有两个公共点,则 a 的取值范 围是 5.函数 y ? 3
x ?1



? 2, x ?[?2,0] 的值域是
2 x

。 。

6.当 x>0 时,函数 f ( x) ? (a ?1) 的值总大于 1,则实数 a 的取值范围是

二、例题选讲
学点一:与指数函数相关的定义域、值域。

例 1.求下列函数的定义域与值域 (1) y ? 10
2x ?1 x ?1

; (2) y ? 0.51?2 x?x

2

学点二:与指 数函数相关的函数的单调性 例 2.讨论函数 f ( x) ? ( )

1 3

x2 ? 2 x

的单调性并求值域。

学点三:指函数的应用问题 例 3.某林区 1999 年木材蓄积量 200 万 m3,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使 木材 蓄积量的年平均递增率能达到 5%。 (1)若经过 x 年后,该林区的木材蓄积量为 y 万 m3,求 y ? f ( x) 的表达式,并求此函 数 的定义域; (2)作出函数 y ? f ( x) 的图象,并应用图象求经过多少年后,林区的 木材蓄积量能达 到 300 万 m3?

学点四:与指函数函数有关的奇偶性 例 4.已知函数 f ( x) ? a ?

2 ( x ? R) 是奇函数,求实数 a 的值。 1 ? 2x

三、针对训练
1.某人 2002 年 7 月 1 日到银行存入一年期款 a 元,若按年利率 x 复利计算,则到 2005 年 7 月 1 日可 取回 元。 2.函数 y ? a 在[0,1]上最大值与最小值的和为 3,则 a=
x



3.函数 y ? 2

? x 2 ? 2 x ?3

的单调增区间为



4.已知 f ( x) ?

10 x ? 10? x 10 x ? 10? x

(1)证明: f ( x ) 是奇函数; (2)证明: f ( x ) 在定义域内是增函数; (3)求 f ( x ) 的值域。

5.求函数 y ? 4? x ? 2? x ? 1, x ?[?3, 2] 的最大值和最小值。



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