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2015年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析



2015 年重庆市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015?重庆)已知集合 A={1,2,3},B={2,3},则( ) B=? A.A=B B.A∩ C. D. A B B A 考点: 子集与真子集

. 专题: 集合. 分析: 直接利用集合的运算法则求解即可. 解答: 解:集合 A={1,2,3},B={2,3},
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可得 A≠B,A∩ B={2,3},B

A,所以 D 正确.

故选:D. 点评: 本题考查集合的基本运算,基本知识的考查. 2. (5 分) (2015?重庆)在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6=( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.6 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 直接利用等差中项求解即可. 解答: 解:在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a4= (a2+a6)=
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=2,

解得 a6=0. 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的性质,等差中项个数的应用,考查计算能力. 3. (5 分) (2015?重庆)重庆市 2013 年各月的平均气温(℃ )数据的茎叶图如,则这组数据 的中位数是( )

A.19

B.20

C.21.5

D.23

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据中位数的定义进行求解即可.
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1

解答: 解:样本数据有 12 个,位于中间的两个数为 20,20, 则中位数为 ,

故选:B 点评: 本题主要考查茎叶图的应用,根据中位数的定义是解决本题的关键.比较基础. 4. (5 分) (2015?重庆)“x>1”是“ A.充要条件 C. 必要而不充分条件 (x+2)<0”的( )

B. 充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 充要条件. 专题: 简易逻辑. 分析: 解“ (x+2)<0”,求出其充要条件,再和 x>1 比较,从而求出答案.
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解答: 解:由“

(x+2)<0”

得:x+2>1,解得:x>﹣1, 故“x>1”是“ (x+2)<0”的充分不必要条件, 故选:B. 点评: 本题考察了充分必要条件,考察对数函数的性质,是一道基础题. 5. (5 分) (2015?重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 判断三视图对应的几何体的形状,利用三视图的数据,求解几何体的体积即可. 解答: 解: 由三视图可知, 几何体是组合体, 左侧是三棱锥, 底面是等腰三角形, 腰长为 , 高为 1,一个侧面与底面垂直,并且垂直底面三角形的斜边,右侧是半圆柱,底面半 径为 1,高为 2,
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所求几何体的体积为:

=



故选:A. 点评: 本题考查三视图与直观图的关系,组合体的体积的求法,判断几何体的形状是解题的 关键.

2

6. (5 分) (2015?重庆)若非零向量 , 满足| |= 的夹角为( A. ) B. C.

| |,且( ﹣ )⊥ (3 +2 ) ,则 与

D.π

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可. 解答: 解:∵ ( ﹣ )⊥ (3 +2 ) ,
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∴ ( ﹣ )?(3 +2 )=0, 即3
2

﹣2

2 2

﹣ ? =0,
2

即 ? =3

﹣2

=

2



∴ cos< , >=

=

=



即< , >=



故选:A 点评: 本题主要考查向量夹角的求解, 利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解 决本题的关键. 7. (5 分) (2015?重庆)执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 8,则判断框图可填入 的条件是( )

3

A. s≤

B. s≤

C.

s≤

D.

s≤

考点: 循环结构. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 k,S 的值,当 S>
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时,退出循环,

输出 k 的值为 8,故判断框图可填入的条件是 S



解答: 解:模拟执行程序框图,k 的值依次为 0,2,4,6,8, 因此 S= 因此可填:S (此时 k=6) , .

故选:C. 点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图, 根据框图的流程判断程序运行的 S 值是解题的 关键. 8. (5 分) (2015?重庆)已知直线 l:x+ay﹣1=0(a∈R)是圆 C:x +y ﹣4x﹣2y+1=0 的对 称轴.过点 A(﹣4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( ) A.2 B. C.6 D. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线 l:x+ay﹣1=0 经过圆 C 的圆心(2,1) , 求得 a 的值,可得点 A 的坐标,再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值. 2 2 2 2 解答: 解:圆 C:x +y ﹣4x﹣2y+1=0,即(x﹣2) +(y﹣1) =4,表示以 C(2,1)为圆 心、半径等于 2 的圆. 由题意可得,直线 l:x+ay﹣1=0 经过圆 C 的圆心(2,1) ,故有 2+a﹣1=0,∴ a=﹣1, 点 A(﹣4,﹣1) .
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2

2

由于 AC= ∴ 切线的长|AB|= =

=2 =6,

,CB=R=2,

故选:C. 点评: 本题主要考查圆的标准方程,直线和圆相切的性质,属于基础题.

9. (5 分) (2015?重庆)若 tanα=2tan

,则

=(



A.1

B.2

C.3

D.4

考 三角函数的积化和差公式;三角函数的化简求值.
4

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点 : 专 三角函数的求值. 题 : 分 直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式,利用同角三角函数的基本关系式结合已 析 知条件以及积化和差个数化简求解即可. : 解 解:tanα=2tan ,则 答 : = =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=3.

故答案为:3. 点 本题考查两角和与差的三角函数,积化和差以及诱导公式的应用,考查计算能力. 评 :

10. (5 分) (2015?重庆)设双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右顶点为 A,

过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线,两垂线交于

5

点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 a+

,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

( ) A.(﹣1, 0) ∪ (0, 1) B.(﹣∞, ﹣1) ∪ (1, C.(﹣ ,0)∪ D.(﹣∞,﹣ )∪ (0, +∞) ) ( ,+∞) 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;创新题型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:
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由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上, 设D (x, 0) , 则由 BD⊥ AC 得 求出 c﹣x,利用 D 到直线 BC 的距离小于 a+ 解答: 解:由题意,A(a,0) ,B(c, 轴上, ) ,C(c,﹣ ,即可得出结论. ) ,由双曲线的对称性知 D 在 x



设 D(x,0) ,则由 BD⊥ AC 得



∴ c﹣x=



∵ D 到直线 BC 的距离小于 a+



∴ c﹣x=

<a+



∴ <c ﹣a =b ,

2

2

2

∴ 0< <1, ∴ 双曲线的渐近线斜率的取值范围是(﹣1,0)∪ (0,1) . 故选:A. 点评: 本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,确定 D 到直线 BC 的距离是关键. 二、填空题:本大题共 3 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题 卡相应位置上. 11. (5 分) (2015?重庆)设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 ,则(a+bi) (a﹣bi)= 3 . 考点: 复数代数形式的乘除运算;复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 2 2 分析: 将所求利用平方差公式展开得到 a +b ,恰好为已知复数的模的平方. 解答: 解:因为复数 a+bi(a,b∈R)的模为 ,
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6

所以 a +b =

2

2

=3,则(a+bi) (a﹣bi)=a +b =3;

2

2

故答案为:3. 点评: 本题考查了复数的模以及复数的乘法运算;属于基础题. 12. (5 分) (2015?重庆) 的展开式中 x 的系数是
8

(用数字作答) .

考点: 二项式定理. 专题: 二项式定理. 分析: 先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 8,求得 r 的值,即可求得展
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开式中的 x 的系数. 解答: 解:由于

8

的展开式的通项公式为 Tr+1=
8

?

?



令 15﹣

=8,求得 r=2,故开式中 x 的系数是

? = ,

故答案为: . 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题. 13. (5 分) (2015?重庆)在△ ABC 中,B=120°,AB= . ,A 的角平分线 AD= ,则 AC=

考点: 余弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 利用已知条件求出 A,C,然后利用正弦定理求出 AC 即可. 解答: 解:由题意以及正弦定理可知: ,即
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,∠ ADB=45°,

A=180°﹣120°﹣45°,可得 A=30°,则 C=30°,三角形 ABC 是等腰三角形, AC=2 = . 故答案为: . 点评: 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力. 三、考生注意: (14) 、 (15) 、 (16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则 按前两题给分. 14. (5 分) (2015?重庆)如题图,圆 O 的弦 AB,CD 相交于点 E,过点 A 作圆 O 的切线 与 DC 的延长线交于点 P,若 PA=6,AE=9,PC=3,CE:ED=2:1,则 BE= 2 .

7

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: 利用切割线定理计算 CE,利用相交弦定理求出 BE 即可. 解答: 解:设 CE=2x,ED=x,则 ∵ 过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P,
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∴ 由切割线定理可得 PA =PC?PD,即 36=3×(3+3x) , ∵ x=3, 由相交弦定理可得 9BE=CE?ED,即 9BE=6×3, ∴ BE=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查切割线定理、相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础.

2

15. (5 分) (2015?重庆)已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,以坐标原点为极

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 , 则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为 (2, π) . 考点: 简单曲线的极坐标方程;直线的参数方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 求出直线以及曲线的直角坐标方程,然后求解交点坐标,转化我 2 极坐标即可. 解答: 解:直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,它的直角坐标方程为:x﹣y+2=0;
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曲线 C 的极坐标方程为 可得它的直角坐标方程为:x ﹣y =4,x<0. 由 ,可得 x=﹣2,y=0,
2 2



交点坐标为(﹣2,0) , 它的极坐标为(2,π) . 故答案为: (2,π) . 点评: 本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化,基本知识的考查. 16. (2015?重庆)若函数 f(x)=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为 5,则实数 a= ﹣6 或 4 .
8

考点: 带绝对值的函数. 专题: 创新题型;函数的性质及应用. 分析: 分类讨论 a 与﹣1 的大小关系,化简函数 f(x)的解析式,利用单调性求得 f(x)的 最小值,再根据 f(x)的最小值等于 5,求得 a 的值. 解答:
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解: ∵ 函数 f (x) =|x+1|+2|x﹣a|, 故当 a<﹣1 时, f (x) =



根据它的最小值为 f(a)=﹣3a+2a﹣1=5,求得 a=﹣6. 当 a=﹣1 时,f(x)=3|x+1|,它的最小值为 0,不满足条件.

当 a≥﹣1 时,f(x)=



根据它的最小值为 f(a)=a+1=5,求得 a=4. 综上可得,a=﹣6 或 a=4, 故答案为:﹣6 或 4. 点评: 本题主要考查对由绝对值的函数,利用单调性求函数的最值,体现了转化、分类讨论 的数学思想,属于中档题. 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (13 分) (2015?重庆)端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有 10 个粽子,其 中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取 3 个. (Ⅰ )求三种粽子各取到 1 个的概率; (Ⅱ )设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ )根据古典概型的概率公式进行计算即可; (Ⅱ )随机变量 X 的取值为:0,1,2,别求出对应的概率,即可求出分布列和期望. 解答: 解: (Ⅰ )令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,
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则由古典概型的概率公式有 P(A)= (Ⅱ )随机变量 X 的取值为:0,1,2, 则 P(X=0)= X P EX=0× +1× = 0 ,P(X=1)= 1 =

= .

,P(X=2)= 2

=



+2×

= 个.

9

点评: 本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算, 求出对应的概率是解决本题的 关键.

18. (13 分) (2015?重庆)已知函数 f(x)=sin( (Ⅰ )求 f(x)的最小正周期和最大值; (Ⅱ )讨论 f(x)在 上的单调性.

﹣x)sinx﹣

x

考点: 二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法;复合三角函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ )由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性和最值 求得 f(x)的最小正周期和最大值.
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(Ⅱ ) 根据 2x﹣

∈[0, π], 利用正弦函数的单调性, 分类讨论求得 ( f x) 在

上的单调性. 解答: 解: (Ⅰ )函数 f(x)=sin( ﹣ sin2x﹣ =sin(2x﹣

﹣x)sinx﹣ )﹣ , .

x=cosxsinx﹣

(1+cos2x)= sin2x

故函数的周期为 (Ⅱ ) 当 x∈

=π,最大值为 1﹣ 时, 2x﹣

∈[0, π], 故当 0≤2x﹣



时, 即 x∈[



]

时,f(x)为增函数; 当 ≤2x﹣ ≤π 时,即 x∈[ , ]时,f(x)为减函数.

点评: 本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性和最值,正弦函数的单调性,属于中 档题.

19. (13 分) (2015?重庆) 如题图, 三棱锥 P﹣ABC 中, PC⊥ 平面 ABC, PC=3, ∠ ACB= E 分别为线段 AB,BC 上的点,且 CD=DE= (Ⅰ )证明:DE⊥ 平面 PCD (Ⅱ )求二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值. ,CE=2EB=2.

. D,

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
10

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专题: 空间角. 分析: (Ⅰ )由已知条件易得 PC⊥ DE,CD⊥ DE,由线面垂直的判定定理可得; (Ⅱ )以 C 为原点,分别以 系,易得 取 , , , , 的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角坐标 ,平面 PCD 的法向量 可

的坐标,可求平面 PAD 的法向量

,由向量的夹角公式可得.

解答: (Ⅰ )证明:∵ PC⊥ 平面 ABC,DE?平面 ABC,∴ PC⊥ DE, ∵ CE=2,CD=DE= ,∴ △ CDE 为等腰直角三角形, ∴ CD⊥ DE,∵ PC∩ CD=C, DE 垂直于平面 PCD 内的两条相交直线, ∴ DE⊥ 平面 PCD (Ⅱ )由(Ⅰ )知△ CDE 为等腰直角三角形,∠ DCE= ,

过点 D 作 DF 垂直 CE 于 F,易知 DF=FC=FE=1,又由已知 EB=1,故 FB=2, 由∠ ACB= 得 DF∥ AC, , , ,故 AC= DF= , 的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系,

以 C 为原点,分别以

则 C(0,0,0) ,P(0,0,3) ,A( ,0,0) ,E(0,2,0) ,D(1,1,0) , ∴ =(1,﹣1,0) , =(﹣1,﹣1,3) , =( ,﹣1,0) ,

设平面 PAD 的法向量

=(x,y,z) ,由



故可取

=(2,1,1) , 可取 =(1,﹣1,0) ,

由(Ⅰ )知 DE⊥ 平面 PCD,故平面 PCD 的法向量

∴ 两法向量夹角的余弦值 cos<



>=

=

∴ 二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值为



11

点评: 本题考查二面角,涉及直线与平面垂直的判定,建系化归为平面法向量的夹角是解决 问题的关键,属难题.

20. (12 分) (2015?重庆)设函数 f(x)=

(a∈R)

(Ⅰ )若 f(x)在 x=0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y=f(x)在点(1,f(1) ) 处的切线方程; (Ⅱ )若 f(x)在[3,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)f′ (x)= ,由 f(x)在 x=0 处取得极值,可得 f′ (0)=0,
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解得 a.可得 f(1) ,f′ (1) ,即可得出曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (II)解法一:由(I)可得:f′ (x)= ,令 g(x)=﹣3x +(6
2

﹣a)x+a,由 g(x)=0,解得 x1=

,x2=

.对 x 分类

讨论:当 x<x1 时;当 x1<x<x2 时;当 x>x2 时.由 f(x)在[3,+∞)上为减函数, 可知:x2= ≤3,解得即可.

解法二:“分离参数法”:由 f(x)在[3,+∞)上为减函数,可得 f′ (x)≤0,可得 a≥ 值即可. ,在[3,+∞)上恒成立.令 u(x)= ,利用导数研究其最大

12

解答: 解: (I)f′ (x)=

=



∵ f(x)在 x=0 处取得极值,∴ f′ (0)=0,解得 a=0. 当 a=0 时,f(x)= ,f′ (x)= ,

∴ f(1)= ,f′ (1)= , ∴ 曲线 y=f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线方程为 , 化为: 3x﹣ey=0;
2

(II)解法一:由(I)可得:f′ (x)= ﹣a)x+a, 由 g(x)=0,解得 x1= ,x2=

,令 g(x)=﹣3x +(6



当 x<x1 时,g(x)<0,即 f′ (x)<0,此时函数 f(x)为减函数; 当 x1<x<x2 时,g(x)>0,即 f′ (x)>0,此时函数 f(x)为增函数; 当 x>x2 时,g(x)<0,即 f′ (x)<0,此时函数 f(x)为减函数. 由 f(x)在[3,+∞)上为减函数,可知:x2= 因此 a 的取值范围为: . ≤3,解得 a≥﹣ .

解法二:由 f(x)在[3,+∞)上为减函数,∴ f′ (x)≤0, 可得 a≥ ,在[3,+∞)上恒成立.

令 u(x)=

,u′ (x)=

<0,

∴ u(x)在[3,+∞)上单调递减, ∴ a≥u(3)=﹣ . 因此 a 的取值范围为: .

点评: 本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数 的单调性极值,考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力,属 于难题.

13

21. (12 分) (2015?重庆)如题图,椭圆 过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQ⊥ PF1 (Ⅰ )若|PF1|=2+ |=2﹣

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,

,求椭圆的标准方程;

(Ⅱ )若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 创新题型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ )由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|,求出 a,再根据
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2c=|F1F2|=

=2

,求出 c,进而求出椭圆的标准方程; )a,

(Ⅱ )由椭圆的定义和勾股定理,得|QF1|= |PF1|=4a﹣|PF1|,解得|PF1|=2(2﹣ 从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2( ﹣1)a,再一次根据勾股定理可求出离心率. 解答: 解: (Ⅰ )由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=2+ +2﹣ =4,故 a=2, 设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF2⊥ PF1,因此 2c=|F1F2|= 即 c= ,从而 b= =1, . =2



故所求椭圆的标准方程为

(Ⅱ )连接 F1Q,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a, 从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|, 有|QF1|=4a﹣2|PF1|, 又由 PQ⊥ PF1,|PF1|=|PQ|,知|QF1|= |PF1|=4a﹣2|PF1|,解得|PF1|=2(2﹣ 而|PF2|=2a﹣|PF1|=2( ﹣1)a, 由 PF2⊥ PF1,知 2c=|F1F2|= ,因此

)a,从

e= =

=

=

=



点评: 本题考查了椭圆的定义 2a=|PF1|+|PF2|,椭圆的标准方程,直角三角形的勾股定理,属 于中档题.

14

22. (12 分) (2015?重庆)在数列{an}中,a1=3,an+1an+λan+1+μan =0(n∈N+) (Ⅰ )若 λ=0,μ=﹣2,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )若 λ= (k0∈N+,k0≥2) ,μ=﹣1,证明:2+ < <2+ .

2

考 点 : 专 题 : 分 析 :

数列与不等式的综合.

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创新题型;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用.

(Ⅰ )把 λ=0,μ=﹣2 代入数列递推式,得到

( n∈N+) ,分析 an≠0 后可得

an+1=2an(n∈N+) ,即{an}是一个公比 q=2 的等比数列.从而可得数列的通项公式; (Ⅱ )把 代入数列递推式,整理后可得

(n∈N) .进一步得到

=

,对

n=1,2,…,k0 求和后放缩可得不等式左边,结合 进一步利用放缩法证明不等式右边. 解 (Ⅰ )解:由 λ=0,μ=﹣2,有 答 : 若存在某个 n ∈N ,使得 0 + ( n∈N+) . ,则由上述递推公式易得



,重复上述过程可

得 a1=0,此与 a1=3 矛盾, ∴ 对任意 n∈N+,an≠0. 从而 an+1=2an(n∈N+) ,即{an}是一个公比 q=2 的等比数列. 故 (Ⅱ )证明:由 . ,数列{an}的递推关系式变为 ,变形为: 由上式及 a1=3>0,归纳可得 3=a1>a2>…>an>an+1>…>0. (n∈N) .



=



15

∴ 对 n=1,2,…,k0 求和得: =

> 另一方面,由上已证的不等式知, 得

. ,

=2+



综上,2+



<2+



点 本题考查了数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了放缩法证明数列不等式属难度 评 较大的题目. :

16



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