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函数单调性和奇偶性的综合应用题



函数单调性和奇偶性应用 【巩固练习】 ⑴函数 y=(2k+1)x+b 在 R 上是减函数,则实数 k 的取值范围是 ______ ⑵函数 f(x)=2x2-mx+3 当 x∈[2, +∞) 时是增函数, 则实数 m 的取值范围 _____ 7 ⑶设 f(x)=ax +bx+5,已知 f(-7)=-17,求 f(7)的值. 1 ⑷已知 f(x)是奇函数, g(x)是偶函数, 且 f

(x)-g(x)= , 求 f(x)、 g(x). x ?1 【学习探究】 一、函数单调性的判断及应用a 例 1、试讨论函数 f ( x) ? x ? , (a ? 0)在(0,?? ) 上的单调性

x

【变式训练】试讨论函数 f(x)? 上的单调性,其中 a 为非零 在( - 1,1) 2 x ?1 常数。

ax

例 2、函数 f(x)=x2-2ax-3 在区间[1,2]上单调,则( ) A.a∈(-∞,1] B.a∈[2,+∞) C.a∈[1,2] D.a∈(-∞,1]∪[2,+∞) 【变式训练】 已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞, 4]上是减函数, 求实数 a 的取值范围.

例 3、已知 f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f(x-2)<f(1-x),求 x 的取 值范围

二、函数奇偶性的判断和应用 例 4.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=5x+3

(2)f(x)=x-2+x4

f ( x) ? x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 (3)

? x 2 ? 2 x ? 3( x ? 0) ? f ( x) ? ?0 ( x ? 0) (4) ?? x 2 ? 2 x ? 3( x ? 0) ?

【例 5】已知 f ( x) 是定义域 R 为的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? x ? 2 , 求 的解析式.

三、单调性和奇偶性的的综合应用 例 1 : 设函数 f ( x) 为定义在 R 上的偶函数,且 f ( x) 在 [0, ??) 为减函数,则
f (?2), f (?? ), f (3) 的大小顺序

练习:
1 5 7 1: y ? f ( x) 在(0,2)上是增函数, y ? f ( x ? 2) 是偶函数,则 f ( ), f ( ), f ( ) 2 2 2 的大小关系

2:若函数 f ( x) ? x2 ? mx ? n ,对任意实数 x ,都有 f (1 ? x) ? f (3 ? x ) 成立,试 比较 f (?1), f (2), f (4) 的大小关系
1 3、 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? 4a ? 是定义在 [a ? 1, 2a] 上的奇函数,且 f (1) ? 5 , b 求a、b

4、若 f ( x) ? ( K ? 2) x2 ? ( K ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是



) 是增函数且为奇函数, 例 2 : 已 知 y ? f ( x ) 在 定 义 域 (? 1 , 1 上 f (t ? 1) ? f (2t ? 1) ? 0 ,求实数 t 的取值范围.

例 3:已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 3x ?1 , 求
f ( x) 的解析式.

例 4:函数 y ? f ( x) 是 [?2, 2] 上的偶函数,当 x ? [0, 2] 时, f ( x) 是减函数,解不 等式 f (1 ? x) ? f ( x) 。 练 习 : 已 知 f ( x) 是 定 义 在 (?1,1) 的 偶 函 数 , 且 在 (0,1) 上 为 增 函 数 , 若
f ( a? 2 ) ? f ( 3 ? a,求 ) a 的取值范围。

例 5:已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数且是增函数,解不等式 f (?4 x ? 5) ? 0 。

x 练习:1. f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的增函数,且 f ( ) ? f ( x) ? f ( y) 。(1)求 f (1) y
1 的值;(2)若 f (6) ? 1 ,解不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 。 3

8 ) ? 3 ,解不等式 f (2) ? f ( x ? 2) 2. R ? 上的增函数满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (

≥6

【课后作业】 1.若 f (3x) ? 2x2 ?1 ,则 f ( x) 的解析式为 2.求函数定义域(1) f ( x) ?

。 (2) y ? x ?1 ? 1 ? x

5? x | x | ?3

1 1 3.已知 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ? 1 ,则函数 f ( x) 的解析式 x x

4.函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 8 的单调增区间为 5.已知函数 f ( x) ? (m ? 2) x2 ? (m ?1) x ? 3 是偶函数,则实数 m 的值 6.已知函数 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 8 若 f (?2) ? 10 ,则 f (2) 的值 7.定义在实数集上的函数 f ( x) ,对任意 x,y ? R ,有 (1) 求证 f (0) ? 1 ; (2) 求证:y ? f ( x) f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x ) f ( y ) 且 f (0) ? 0 . 是偶函数。

8. 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 在 区 间 [0, ??) 上 是 单 调 增 函 数 , 若 f (1) ? f (lg x) ,求 x 的取值范围.

9. 函数 f ( x ) ?

ax ? b 1 2 是定义在 (?1,1) 上的奇函数,且 f ( ) ? . 2 1? x 2 5

(1)确定函数 f ( x) 的解析式; (2)用定义证明 f ( x) 在 (?1,1) 上是增函数; (3)解不等式 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 .

例 6:定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)在整个定义域上是减函数,若 f(1-a)+f(1-3a)<0,求实数 a 的取值范围.

【变式练习】 已知 f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值为 4,那么 f(x)在[-7,-3]上 是 ____ 函数,且最_____值是_________ . 【课后作业】 1.已知函数 f (x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且 f (2)=1,且 f (x+5) <1,求 x 的取值范围

2.已知函数 f (x)是 R 上的偶函数,在[0, +∞)上是减函数,且 f (2)=0, 求不等式 x f (x)<0 的解.

3.已知函数 f (x)是定义在[-2,2]上的减函数,且 f (3x)<f (x+1),求 x 的取值范围.



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