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苏教版高中数学必修五教案(全册)-第三章 不等式第八课时 基本不等式(一)


第八课时 基本不等式(一) 教学目标: 1. 学会推导并掌握均值不等式定理; 2. 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点:均值不等式定理的证明及应用。 教学难点:等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程: 重要不等式:如果 a、b∈R,那么 a 2+b 2 ≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”号) 证明:a 2+b 2-2ab=(a-b)2 当 a≠b 时, (a-b)2>0,当 a=b 时, (a-b)2=0 所以, (a-b)2≥0 即 a 2+b 2 ≥2ab 由上面的结论,我们又可得到 新 课 标 第 一 网 定理:如果 a,b 是正数,那么 a +b ≥ ab (当且仅当 a=b 时取“=”号 ) 2 证明:∵( a )2+( b )2≥2 ab a +b ?a +b≥2 ab ???????????????即? ≥ ab ? 2 a +b 显然,当且仅当 a=b 时, = ab ? 2 a +b 说明:1)我们称 为 a,b 的算术平均数,称 ab 为 a,b 的几何平均数,因而, 2 此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a +b 2)a 2+b 2≥2ab 和 ≥ ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数, 2 而后者要求 a,b 都是正数. 3) “当 且仅当”的含义是充要条件. 4)数列意义 - 问:a,b∈R ? 例题讲解: 例 1 已知 x,y 都是正数,求证: (1)如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ; 1 (2)如果和 x+y 是定值 S,那么 当 x=y 时,积 xy 有最大值 S2 4 证明:因为 x,y 都是正数,所以 (1)积 xy 为定值 P 时,有 x+y ≥ xy 2 ∴x+y≥2 P x+y ≥ P 2 上式当 x=y 时,取“=”号,因此,当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P . (2)和 x+y 为定值 S 时,有 xy ≤ S 2 ∴xy≤ 1 2 S 4 1 2 S . 4 w w w .x k b 1.c o m 上式当 x=y 时取“=”号,因此,当 x=y 时,积 xy 有最大值 说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件: ⅰ)函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; ⅲ)等号成立条件必须存在。 师:接下来,我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用. 例 2 :已知 a、b、c、d 都是正数,求证: (ab+cd) (ac+bd)≥4abcd 分析:此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而正确运用, 同时加强对均值不等式定理的 条件的认识. 证明:由 a、b 、c、d 都是正数,得 xkb1.com ab+cd ac+bd ≥ ab·cd >0, ≥ ac·bd >0, 2 2 ∴ (ab+cd)(ac+bd) ≥abcd 4 即(ab+cd) (ac+bd)≥4abcd 例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水 池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池底 每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低, 最低总造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数 的 最值,其中用到了均值不等式定理. 解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,根据题意,得 1600 l

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