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方程的根与函数的零点(修订)



3.1.1方程的根与函数的零点
湖北省武昌实验中学 郑艳霞

问题1:判断下列方程是否有实数根?

( 1 )x ? 2 x ? 11 ? 0
2

( 2)x ? 0
(3) ln x ? 2 x ? 6 ? 0

?1

问题2:一元二次方程

的根与二次函数的图象 有什么关系?
判别式 △ =b2-4ac △>0

△=0
有两个相等的 实数根x1 = x2

△<0
没有实数根

方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 的实数根x1 、x2 (a>0)的根 y 函数y= ax2 +bx+c (a>0)的图象 函数的图象 与 x 轴的交点 x1 0

y

y

x2 x

0 x1 (x1,0)

x

0

x

(x1,0) , (x2,0)

没有交点

结论:一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.

3.1.1方程的根与函数的零点
一、函数零点的定义

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数
叫作函数y=f(x)的零点(zero point).

问题3:我们所学过的基本初等函数是否存在 零点?
函数类型
一次函数

函数零点

y= ax +b(a≠0)
指数函数

b ? a
没有

y= ax(a>0,a≠1)
对数函数 y=logax(a>0,a≠1)
幂函数

1

y ? x? ?? ? R?

? ? 0时, 0 ? ? 0时, 没有

一、求函数零点的方法:
1、 方程法: 解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点. 2、 图象法: 画出函数y=f(x)的图象, 其图象与x轴交

点的横坐标是函数y=f(x)的零点.
二、对零点的理解:

1、"数"的角度: 即是使f(x)=0的实数x的值.
2、"形"的角度: 即是函数f(x)的图象与x轴的交点的横 坐标.

问题4:判断下列函数是否存在零点? 说明理由。

(1) f ( x) ? x ? x ?1
5 3

(2) g ( x) ? ? x ? x ?1
5 3

现在有两组镜头(如图所示),哪一组镜头 能说明人的行程一定曾渡过河?

第Ⅰ组









第Ⅱ组









将河流抽象成x轴,将前后的两个位置视为A、B两点。 请问当A、B与x轴怎样的位置关系时,AB间的一段连续 不断的函数图象与x轴一定会有交点?

y
b

O

a

x

问题5:A、B与x轴的位置关系,如何用数学符号(式子) 来表示?

f (a) ? f (b) ? 0

3.1.1方程的根与函数的零点
二、函数零点的存在性定理
连续不断 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 f(a) 〃f(b)<0,那么,函数 〃f(b)<0 的一条曲线,并且有f(a) 有 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点.即存在c∈(a,b), 使得f(c)=0,这个c也就方程f(x)=0的根.
y c a b x

O

3.1.1方程的根与函数的零点
函数零点的存在性定理具备两个条件:
1、图象是连续不断的一条曲线. 2、f(a) 〃f(b)<0.

3.1.1方程的根与函数的零点
结论: 1、在零点存在的条件下,如果函数在[a , b]上具有单调性, 函数f(x)在区间(a , b)上可存在唯一零点。

2、函数零点存在性定理是不可逆的。

3.1.1方程的根与函数的零点
例1:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。
x 1 2 3
1.0986

4
3.3863

5
5.6094

6

7

8

9

f(x)

-4 -1.3069

7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由表和图可知 f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)〃f(3)<0, 说明这个函数在区间(2,3)内有 零点。 由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是 增函数,所以它仅有一个零点。

y
14 12 10

8 6
4 2 0 -2 -4 -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

3.1.1方程的根与函数的零点
拓展:试证明函数f(x)=lnx+2x-6仅有一个零点。

3.1.1方程的根与函数的零点
思考题: 函数f(x)=lnx+2x-6在区间内有零点,

你能想到办法求出这个零点吗?



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