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解三角形与三角恒等变换综合知识点



1

2

3

三角恒等变换和解三角形基本知识回顾
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:

(2009 年 11 月 19 日)

令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? sin 2? ? 2sin ? cos ? ?

令? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ??? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ?

                         2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         cos 2 ?= ? 1 ? tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                       2 ?= ? sin 2 2 tan ?     2? ? tan 1 ? tan 2 ? 1 ? ? 如(1)下列各式中,值为 的是 A、sin15? cos15? B、cos 2 ? sin 2 2 12 12 ? ? tan 22.5 1 ? cos 30 C、 D、 (答:C) ; 2 ? 2 1 ? tan 22.5 (2)命题 P: tan( A ? B ) ? 0 ,命题 Q: tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的   ?? ? ? ? ? tan
A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件(答:C) ; (3)已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? )sin ? ?

3 ,那么 cos 2? 的值为____(答: 5

1 3 7 )(4) ; 的值是______(答:4) ; ? ? sin10 sin 80? 25
(5)已知 tan110 ? a ,求 tan 50 的值(用 a 表示)甲求得的结果是
0 0

a? 3 ,乙求得 1 ? 3a

4

的结果是

1 ? a2 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______(答:甲、乙都对) 2a

2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先 观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二 看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?
如 (1) 已知 tan(? ? ? ) ?

? ??
2



???
2

? ??

?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?

等) ,

2 ? 1 ? 3 , 那么 tan(? ? ) 的值是_____ 答: ) ( ; tan( ? ? ) ? , 5 4 4 4 22 ? ? 1 ? 2 (2) 已知 0 ? ? ? ? ? ? ? , cos( ? ? ) ? ? ,sin( ? ? ) ? , cos( ? ? ? ) 的 且 求 2 2 9 2 3 3 490 值(答: )(3)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 ; 5 729 3 4 3 x 的函数关系为______(答: y ? ? 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 5 5 5
(2)三角函数名互化(切化弦), 如(1)求值 sin 50 (1 ? 3 tan10 ) (答:1) ;
? ?

sin ? cos ? 2 1 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值(答: ) 1 ? cos 2? 3 8 (3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? 。 如(1)已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B)
(2)已知 =_____(答: ?

2 ) ; 2
3 ,则 4

(2)设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ? 此三角形是____三角形(答:等边)

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 ,sin ? ? 与升幂 2 2 3 2 2 公式: 1 ? cos 2? ? 2cos ? , 1 ? cos 2? ? 2sin ? )。如(1)若 ? ? ( ? , ? ) ,化简 2
(4)三角函数次数的降升(降幂公式:cos ? ?
2

1 1 1 1 ? ? ? cos 2? 为_____(答:sin )(2)函数 f ( x ) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos 2 x ; 2 2 2 2 2 5 ? 5? ? 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________(答: [ k? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) 2 12 12 (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如(1) tan ? (cos ? ? sin ? )

?

sin ? ? tan ? 1 ? sin ? 2; (答: sin ? )(2)求证: ; (3)化简: ? ? ? cot ? ? csc ? 2 1 ? 2sin 1 ? tan 2 2

1 ? tan

?

5

1 2 (答: 1 cos 2 x ) ? ? 2 2 tan( ? x) sin 2 ( ? x) 4 4 2 2 2 2 (6)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x 3 ,如已知 tan ? ? 2 ,求 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 3cos 2 ? (答: ). ? tan ? ? sin ? ?? 等) 4 2 5 (7)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 x cos x ”的内存联系――“知一求二” ,如(1) sin t 2 ?1 若 sin x ? cos x ? t , sin x cos x ? 则 __ (答:? ), 特别提醒: 这里 t ? [? 2, 2] ; 2 4? 7 (2)若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 (答: ? )(3)已知 ; 2 3 sin 2? ? 2sin 2 ? ? ? 。 ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值(答: 1 ? k ) 1 ? tan ? 4 2 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
3、 辅助角公式中辅助角的确定:a sin x ? b cos x ? 的象限由 a, b 的符号确定,? 角的值由 tan ? ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。如 a (1) 若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解, c 的取值范围是___________. 答: 则 ( [-2,2]) ; 3 (2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______(答: ? ); (3)如果 2 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2 cos( x ? ? ) 是奇函数,则 tan ? = ( 答 : - 2) ;( 4 ) 求 值 :
3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ________(答:32) 2 sin 20? cos 20?
2

4、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择, 其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数 值) 。如(1)若 ? , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? 、 tan ? 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根,则求 ? ? ?
2

3? ) ; (2)?ABC 中,3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1 ,则 ?C 4 ? = _______ ( 答 : ) ( 3 ) 若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , ; 3 2? ). cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 ? ? ? 的值(答: 3
的值______ (答: 5、. 三角形中的有关公式: (1)内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不 能忘记!任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角 形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平 方和大于第三边的平方.

a ? b ? c ? 2R (R 为三角形外接圆的半径).注意:①正弦 sin A sin B sin C a b 定理的一些变式: ? i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ? ,sin B ? ,sin C 2R 2R c ; ? iii ? a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, b ? 2 R sin C ;②已知三角形两边一对角,求解三 ? 2R
(2)正弦定理: 角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.

6

(3)余弦定理: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定
2 2 2

2bc

三角形的形状.

2 2 2 2 2 2 2 如 ?ABC 中,若 sin A cos B ? cos A sin B ? sin C ,判断 ?ABC 的形状(答:直角
2

(4)面积公式: ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径) . S

三角形) 。 特别提醒: (1)求解三角形中的问题时,一定要注意 A ? B ? C ? ? 这个特殊性:

A? B C (2)求解三角形中含有边角混合关 ? cos ; 2 2 系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如(1) ?ABC 中,A、B 的对边 ? 分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的 ?ABC A、 有一个解 B、 有两个解 C、无解 D、不能确定(答:C)(2)在 ?ABC 中,A>B 是 sin A ? sin B ; 成立的_____条件 (答: 充要) ; 在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 , log2 sinC (3) 则 1 = _____ ( 答 : ? ) (4) 在 ?ABC 中 , a,b,c 分 别 是 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 , 若 ; 2 ? 则 (答:60 ) ; 在 ?ABC 中, (5) ( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B , ?C =____ A ? B ? ? ? C ,sin( A ? B) ? sin C ,sin
a 2 ? b2 ? c2 ? ? 若其面积 S ? ,则 ?C =____(答: 30 )(6)在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 , ; 4 3

2 39 )(7)在△ABC ; 3 1 2 2 2 B?C 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边, a ? 3, cos A ? , 则 cos = , b ? c 的最 3 2 1 9 大值为 (答: ; ) (8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 ; 3 2
这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径是_______(答:

6 . ?AOB, ?BOC, ?COA 的面积满足关系式 S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ?A (答: 45? )

(答: 0 ? C ?

?

) ( 9 ) 设 O 是 锐 角 三 角 形 ABC 的 外 心 , 若 ?C ? 75 , 且 ;
?

两角和与差的三角函数

(2009 年 11 月 20 日)

例 1.求[2sin50° +sin10° (1+ 3 tan10° )]· 2 sin 2 80? 的值. 解:原式= ?2 sin 50? ? sin10? ? ?1 ? ?
? ? ? ? ? 3 sin10? ?? ?? ? 2 sin 80? cos10? ?? ??

= (2 sin 50? ? sin10? ?

cos10? ? 3 sin10? ) ? 2 sin 80? cos10?

? ? 1 3 cos10? ? sin10? ? ? 2 ? ? 2 cos10? = ?2 sin 50? ? 2 sin10? ? 2 cos10? ? ? ? ? ? ?

= ? 2 sin 50? ? ?
?

2 sin10? sin 40? ? ? ? 2 cos10? cos10? ?

7

=

2 sin 60? ? 2 cos10? ? 2 2 sin 60? cos10?
3 ? 6. 2

=2 2?

变式训练 1:(1)已知 ? ∈( A.

1 7
B.
1 2 (2)B

3 ? ? , ? ),sin ? = ,则 tan( ? ? )等于( 5 2 4 1 B.7 C.- D.-7 7

3 2



(2) sin163° sin223° +sin253° sin313° 等于
1 2 解:(1)A



A.-

C.-

3 2

D.

例 2. 已知 α ? ( 值. 解:∵α- α∈(
? 3? , 4 4
? 4

? 3 5 ? 3? ? 3? , ),β ? (0, ), cos (α- )= ,sin( +β)= ,求 sin(α+β)的 4 5 13 4 4 4 4
3? 4



+β=α+β+
1 3

? 2

) β∈(0, ? 1 ? β+

? sin x ? 1 )

∴α-

? ? ∈(0, ) 4 2
4 ? )= 5 4

3? 3? ∈( ,π) 4 4

∴sin(α-

cos(
? 2

12 3? ? ? )=- 13 4

∴sin(α+β)=-cos[ =-cos[(α-

+(α+β)]

3? ? 56 )+( ? ? )]= 65 4 4

变式训练 2:设 cos( ? - 求 cos( ? +β). 解:∵

? 1 ? 2 π π )=- ,sin( -β)= ,且 < ? <π,0<β< , 9 3 2 2 2 2

? π π π π ? π < ? <π,0<β< ,∴ <α- <π,- < -β< . 2 2 4 2 4 2 2

? ? 4 5 1 )=- ,得 sin(α- )= . 9 9 2 2 ??? ? 5 ? 2 ? ? 由 sin( -β)= ,得 cos( -β)= .∴cos =cos[ ? - )-( -β) ( ] 3 3 2 2 2 2 2
故由 cos( ? - = cos (? ?

?
2

) cos(

?
2

? ? ) ? sin (? ?

?
2

)sin(

?

1 5 2 4 5 ? ? ? ?) = ? ? 9 3 3 9 2
2

?7 5? 7 5 ??? 239 ? ∴cos( ? +β)=2cos2 -1= 2 ? ? -1=- . ? 27 ? ? 729 2 27 ? ?
例 3. 若 sinA=
5 10 ,sinB= ,且 A,B 均为钝角,求 A+B 的值. 5 10

8

解 ∵A、B 均为钝角且 sinA= ∴cosA=- 1? sin A =2

5 10 ,sinB= , 5 10

2 5

=-

2 5 , 5

cosB=- 1? sin B =2

3 10

=-

3 10 , 10

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB = ??
? 2 5 ? ? 3 10 ? ? ×? ? ? - 5 × 10 = 2 ? 5 ? ? 10 ? 5 2 10 ? ? ? ?



又∵

? ? <A< ? , <B< ? , 2 2

7? . 4
7 A?C -- cos2B= ,求角 B 的度数. 2 2

∴ ? <A+B<2 ? 由①②知,A+B=

变式训练 3:在△ABC 中,角 A、B 、C 满足 4sin2 解 在△ABC 中,A+B+C=180° , 由 4sin2 得 4·
7 A?C -cos2B= , 2 2

7 1 ? cos( A ? C ) -2cos2B+1= , 2 2

所以 4cos2B-4cosB+1=0. 于是 cosB= ,B=60° . 例 4.化简 sin2 ? · 2 ? +cos2 ? cos2 ? sin
1 cos2 ? · ? . cos2 2
1 2

解 方法一 (复角→单角,从“角”入手) 原式=sin2 ? · 2 ? +cos2 ? · 2 ? sin cos =sin2 ? · 2 ? +cos2 ? · 2 ? sin cos
1 · (2cos2 ? -1)· (2cos2 ? -1) 2

1 (4cos2 ? · 2 ? -2cos2 ? -2cos2 ? +1) cos 2 1 2

=sin2 ? · 2 ? -cos2 ? · 2 ? +cos2 ? +cos2 ? sin cos =sin2 ? · 2 ? +cos2 ? · 2 ? +cos2 ? sin sin =sin2 ? +cos2 ? 1 1 1 =1- = . 2 2 2 1 2

方法二 (从“名”入手,异名化同名) 原式=sin2 ? · 2 ? +(1-sin2 ? )· 2 ? sin cos =cos2 ? -sin2 ? (cos2 ? -sin2 ? )1 cos2 ? · ? cos2 2

1 cos2 ? · ? cos2 2

9

=cos2 ? -sin2 ? · ? cos2

1 cos2 ? · ? cos2 2
2 ?

1 ? =cos2 ? -cos2 ? ·sin2 ? ? cos 2? ? ? ? ?

= =

1 ? cos 2? -cos2 ? 2

·sin 2 ? ? (1 ? 2 sin 2 ? )? ?
? ?

?

1 2

?

1 ? cos 2? 1 1 - cos2 ? = . 2 2 2 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 · + · - cos2 ? · ? cos2 2 2 2 2 2
1 1 (1+cos2 ? · ? +cos2 ? +cos2 ? )- · ? · cos2 cos2 cos2 4 2

方法三 (从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 原式=
1 4

= (1+cos2 ? · ? -cos2 ? -cos2 ? )+ cos2
?=
1 . 2

方法四 (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 原式=(sin ? · ? -cos ? · ? )2+2sin ? · ? · ? · ? sin cos sin cos cos =cos2( ? + ? )+ =cos2( ? + ? )=cos2( ? + ? )1 1 sin2 ? · ? - cos2 ? · ? sin2 cos2 2 2 1 · cos(2 ? +2 ? ) 2 1 1 · [2cos2( ? + ? )-1]= . 2 2
? ?
?4 ? ?4 ?

1 cos2 ? · ? cos2 2

变式训练 4:化简: (1) 2 sin ? ? x ? + 6 cos ? ? x ? ; ? ? ? ? (2)
2 cos ? ? 1 . ?? ? ?? ? 2 tan? ? ? ? sin 2 ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?
2

解 (1)原式=2 2 ? sin?
?2 ?

?1

3 ?? ? ?? ?? ? x? ? ? cos? ? x ?? ?4 ? 2 ?4 ?? ?

=2 2 ?sin sin? ? x ? ? cos cos? ? x ? ? ? ? ? ? 6 4 6 4
? ? ? ? ??

?

?

?

?

?

?

=2 2 cos ? ? ? x ? =2 2 cos(x? ?
?6 4 ?

?

?

? 12

).

(2)原式=

cos 2? cos 2? = =1. cos 2? ? 1 ? tan ? ? ? ? ? (1 ? sin 2? ) ?1 ? cos? ? 2? ?? 1 ? sin 2? 1 ? tan ? ? ?2 ??

二倍角的正弦、余弦、正切

(2009 年 11 月 21 日)
10

例 1. 求值:

sin 40?(1 ? 2 cos 40?) 2 cos2 40? ? cos 40? ? 1

解:原式=

sin 40 ? ? sin 80 ? cos 40 ? ? cos 80 ?

= cos( 60 ? ? 20 ?) ? cos( 60 ? ? 20 ?) = 3 变式训练 1: (cos A.- 解:D 例 2. 已知 α 为锐角,且 tan ? ? ,求 解:∵α 为锐角 ∴ =
sin 2? cos ? ? sin ? sin 2? cos 2?

sin( 60 ? ? 20 ?) ? sin( 60 ? ? 20 ?)

?
12

? sin
1 2

?
12

) (cos

? 12

+sin
1 2

? 12

)= D.

( )
3 2

3 2

B.-

C.

1 2

sin 2? cos? ? sin? 的值. sin 2? cos 2?



sin? (2 cos2 ? ? 1) 2 sin? cos? cos2?

5 1 = 1 ? tan 2 ? = 4 cos ?

变式训练 2:化简:
2 tan(

?
4

2 cos 2 ? ? 1 ? ? ) ? sin2 (

?
4

??)

解:原式=
cos(

2 sin(

?
4

cos 2? ??) ??) ? cos 2 (

=1
?
4 ??)

?

4

例 3.已知 f ( x) ? ? 3 sin2 x ? sin x cos x ; (1) 求 f (
25? ) 的值; 6
25 1 ? 6 2

(2) 设 ? ? (0, ? ), f ( ) ? ?
2
cos 25? 3 ? 6 2

?

1 4

3 ,求 sinα 的值. 2

解: (1)∵ sin ∴ f(

25? 25? 25? 25? ) ? ? 3 cos 2 ? sin cos ?0 6 6 6 6
3 3 1 cos 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2

(2) f ( x) ? ∴ f( )?
a 2

3 1 3 1 3 cos ? ? sin? ? ? ? 2 2 2 4 2

16sin22-4sinα-11=0 解得 sin? ? ∵ 2 ? (0, ? ) ?sin? ? 0 故 sin? ? ?

1? 3 5 8

1? 3 5 8

11

变式训练 3:已知 sin( 解:cos( =2sin2(

?
6

? ? )=

1 3

,求 cos(

2? ? 2? )的值. 3

2? ? +2α)=2cos2( +α)-1 3 3

7 ? -α) -1=- 9 6

例 4.已知 sin2 2α+ sin 2α cosα-cos2α=1,α ? (0, 解:由已知得 sin22α+sin2αcosα-2cos2α=0 即(sin2α+2cosα) (sin2α-cosα)=0 cos2α(1+sinα) (2sinα-1)=0 ∵α∈(0,
? 2

? ),求 sinα、tanα 的值. 2

) cosα≠0 sinα≠-1 sinα=
1 2

∴2sinα=1

∴tanα=

3 3

变式训练 4:已知 α、β、r 是公比为 2 的等比数列 (? ? [0,2? ]) ,且 sinα、sinβ、sinr 也成等比 数列,求 α、β、r 的值. 解:∵α、β、r 成公比为 2 的等比数列. ∴β=2α,r=4α ∵sinα、sinβ、sinr 成等比数列 ∴
sin ? sin r sin 2? sin 4? ? ? ? ? cos ? ? 2 cos 2 2 ? 1 sin? sin ? sin? sin 2?

即 2 cos 2 2 ? cos ? ? 1 ? 0 ,解得 cosα=1 或 cos ? ? ?

1 2

当 cosα=1 时,sinα=0 与等比数列首项不为零矛盾故 cosα=1 舍去 当 cos ? ? ? 时,∵2∈[0,2π] ∴ 2 ? ∴? ?
1 2 2? 2? 或2? 3 3

2? 4? 8? 4? 8? 16? 或? ? ,? ? ,r ? ,? ? ,r ? 3 3 3 3 3 3

简单的三角恒等变换
例 1: 不查表求值

(2009 年 11 月 22 日) .

2 cos10? ? sin 20? = cos 20?

12

例 2:已知 sin

x x ? 2 cos ? 0 2 2

(1)求 tan x 的值; (2)求

cos 2 x

2 cos( ? x) ? sin x 4 x x x 解析: (1)由 sin ? 2 cos ? 0 , ? tan ? 2 , 2 2 2 x 2 tan 2 ? 2? 2 ? ? 4 . ? tan x ? x 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2
(2) 原式=

?

的值.

cos2 x ? sin 2 x 2( 2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2

?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) (cos x ? sin x) sin x

?

cos x ? sin x 3 1 ? cot x ? 1 ? (? ) ? 1 ? . sin x 4 4

【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手. 例 3. (福建省师大附中 2008 年高三上期期末考试) 设向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 且0 ? ? ? ? ? ? , 若 a ? b ? 求 tan ? 的值。 【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系. 解析:
? a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? cos(? ? ? ) ?
? ?

?

?

?

?

4 4 , tan ? ? , 5 3

4 5

4 5 又 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 0

3 5 3 ? tan(? -? )=4 4 又 ? tan? = 3 ? sin(? -? )=3 4 ? ? tan(? ? ? ) ? tan ? 7 4 3 ? tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? ? 3 4 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 24 1 ? (? ) ? 4 3

【名师指引】 三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三 角变换 、例 4.(2007· 四川 )已知 cos ? ?

? 1 13 , cos(? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14
13

(Ⅰ)求 tan 2? 的值.(Ⅱ)求 ? .

? ? 【解题思路】 由同角关系求出 tan ? 再求 tan 2? ; ? ? ? ?? ? 又
[解析](Ⅰ)由 cos ? ?

? 结合角 ? 的范围定角。

2 1 ? ,0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 4 3 ? ? 7 2 7 ?7?

∴ tan ? ?

sin ? 4 3 7 ? ? ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 2 ? ? 8 3 cos ? 7 1 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 47

?

?

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ? 又∵ cos ?? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
2

13 3 3 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 14 ? 14 14 ?

由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得: cos ? ? cos ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?

? 1 13 4 3 3 3 1 ? cos ? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? 7 14 7 14 2 3
【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值 求角以及计算能力。 例题 5: (08 湖北卷 16) 已知函数 f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域. 本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、代 数式的化简变形和运算能力.(满分 12 分) 解: (Ⅰ) g ( x) ? cos x?

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x? 1 ? sin x 1 ? cos x

? cos x?

(1 ? sin x) 2 (1 ? cos x) 2 ? sin x? cos 2 x sin 2 x

1 ? sin x 1 ? cos x ? cos x? ? sin x? . cos x sin x

14

? 17? ? ? x ? ? ?, ? ,? cos x ? ? cos x, sin x ? ? sin x, ? 12 ?

1 ? sin x 1 ? cos x ? g ( x) ? cos x? ? sin x? ? cos x ? sin x

? sin x ? cos x ? 2
= 2 sin ? x ? (Ⅱ)由 ?<x ?

? ?

?? ? ? 2. 4?

17? 5? ? 5? 得 , <x ? ? . 12 4 4 3

? 5? 3? ? ? 3? 5? ? ?sin t 在 ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数, ? 4 2? ? 2 3?
又 sin

5? 5? 3? ? 5? ? 17? ? (当 x ? ? ?, ) , <sin ,? sin ? sin( x ? )<sin 2 ? 3 4 2 4 4 ? ?
? 4 2 ? , ?? 2 ? 2 ? 2 sin( x ? ) ? 2< ? 3, 2 4

即 ?1 ? sin( x ? )< ?

故 g(x)的值域为 ? ? 2 ? 2, ?3 .

?

?

3x x 2sinx 例 6::证明 tan -tan = 2 2 cosx+cos2x 3x x 3x x 【解题思路】细心观察已知等式中的角,发现它们有隐含关系: + =2x, - =x 2 2 2 2

? 2 -2 =x

3x

x

3x x 3x x ∴sinx=sin cos -cos sin 2 2 2 2

① ②

3x x 又 cosx+cos2x=2cos cos 2 2 ①÷ ②即得: 2sinx = cosx+cos2x 3x x sin 2 2 3x x - =tan -tan . 3x x 2 2 cos cos 2 2 sin

【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方法与化简类似. 例题 7:.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) (2) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

? 2 )+sin x. 3

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

解: (1)

15

f(x)=cos(2x+

? ? 1 ? cos 2 x 1 3 ? ? ? sin 2 x )+sin 2 x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 2 2 2 3
1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sin C ?

所以函数 f(x)的最大值为

(2) f ( ) =

c 2

1 3 1 ? sin C =- , 2 2 4

3 , 2

因为 C 为锐角,

所以

C?

?
3

, cosB=

又因为在 ? ABC 中,

1 , 3

所以

sin B ?

2 3, 3

所以

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 2? ? ? ? . 3 2 3 2 6

【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的 性质以及三角形中的三角关系. 例题 8:(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2 sin x cos
2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(1)求 ? .的值; (2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

2 , f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为

0 ? ? ? ? ,所以 ? ?
(2)因为 f ( A) ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

3 3 ? ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 2 2 6 b sin A 1 2 a b ? 2? ? ,也就是 sin B ? , ? a 2 2 sin A sin B

a ? 1, b ? 2 , 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

?
4

或B ?

3? . 4

16

当B ?

?
4

时, C ? ? ?

?
6

?

?
4

?

7? 3? ? 3? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? ? . 12 4 6 4 12

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数 的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.

解三角形

(2009 年 11 月 23 日)

17

例题 2:2009 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知

a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧是
2 2

二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin A cos C ? 3cos A sin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在
已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一:在 ?ABC 中? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理

有: a ?

a 2 ? b2 ? c2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 ?c, 化简并整理得: 2(a 2 ? c 2 ) ? b 2 .又由已知 2ab 2bc

a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 。
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2 ?????????????① 又 sin A cos C ? 3cos Asin C ,?sin A cos C ? cos Asin C ? 4cos Asin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4cos A sin C
18

由正弦定理得 sin B ?

b sin C ,故 b ? 4c cos A ?????????② c

由①,②解得 b ? 4 。 评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提 高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明确不再考的 知识和方法了解就行,不必

19

三角恒等变换和解三角形测试题
一、选择题
1. 已知 x ? (? A.
7 24

?
2

,0) , cos x ?
? 7 24

4 ,则 tan 2 x ? ( 5
24 7



B.

C.

D.

?

24 7

2. 函数 y ? 3sin x ? 4cos x ? 5 的最小正周期是( A.



? C. ? D. 2? 2 3. 在△ABC 中, cos A cos B ? sin A sin B ,则△ABC 为(
B. A. 锐角三角形
0

? 5

) D. 无法判定

B. 直角三角形
0 0

C. 钝角三角形
0

4. 设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ? 则 a, b, c 大小关系( A. )

6 , 2

a?b?c

B.

b?a?c
20

C.

c ? b? a

D.

a ? c? b


5. 函数 y ?

2 sin(2 x ? ? ) cos[2( x ? ?)] 是(
B. 周期为

? 的奇函数 4 ? C. 周期为 的奇函数 2
A. 周期为 6. 已知 cos 2? ?

? 的偶函数 4 ? D. 周期为 的偶函数 2


2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 3
11 18
C.
0

A.

13 18

B.

7 9

D.

?1
0

7. 在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6, B ? 30 ,则 c ? b 等于( A.



1

B.

?1

C.

2 3

D.

?2 3


8. 若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. s i n B. c o s A A C.

tan A

D.

1 tan A

9. 在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
0 10. 等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 60 ,

则底边长为( A.



2

B.

3 2

C.

3

D.

2 3
) D. )

11. 在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A.

30 0 或60 0

B.

45 0 或60 0

C.

120 0 或60 0

30 0 或150 0

12. 边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A.

90 0

B.

120 0

C.

135 0

D.

150 0

二、填空题
1. 求值: tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 ? _____________.
0 0 0 0

21

2. 若

1 ? tan ? 1 ? 2008, 则 ? tan 2? ? 1 ? tan ? cos 2?

.

3. 函数 f ( x ) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是___________.

4. 已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 , 那么 sin ? 的值为 3

, cos 2? 的值为 时,cos A ? 2cos

.

5.

?ABC 的三个内角为 A 、 B 、C ,当 A 为
值,且这个最大值为
0

B?C 取得最大 2

.

6. 在 Rt △ABC 中, C ? 90 ,则 sin Asin B 的最大值是_______________. 7. 在△ABC 中,若 a ? b ? bc ? c , 则A ? _________.
2 2 2

8. 在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 30 , C ? 135 , 则a ? _________.
0 0

9. 在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sinC ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________. 10. 在△ABC 中, AB ?

6 ? 2 , C ? 300 ,则 AC ? BC 的最大值是________.

三、解答题
1. 已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0,cos ? ? cos ? ?cos ? ? 0, 求 cos( ? ? ? ) 的值.

2. 若 sin ? ? sin ? ?

2 , 求 cos? ? cos ? 的取值范围. 2

1 ? cos 200 ? sin100 (tan ?1 50 ? tan 50 ) 3. 求值: 0 2sin 20

4. 已知函数 y ? sin

x x ? 3 cos , x ? R. 2 2 (1)求 y 取最大值时相应的 x 的集合;

22

(2)该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象.

5. 在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 则△ABC 的形状是什么?

6. 在△ABC 中,求证:

a b cos B cos A ? ? c( ? ) b a b a

7. 在锐角△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cosC .

8. 在△ABC 中,设 a ? c ? 2b, A ? C ?

?
3

, 求 sin B 的值.

23

参考答案
一、选择题 1. D 2. D 3. C 4. D

x ? (?

4 3 3 2 tan x 24 , 0) , cos x ? ,sin x ? ? , tan x ? ? , tan 2 x ? ?? 2 2 5 5 4 1 ? tan x 7 2? y ? 5sin( x ? ? ) ? 5, T ? ? 2? 1

?

cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? 0, ? cos C ? 0,cos C ? 0, C 为钝角
a ? 2 sin 590 , b ? 2 sin 610 , c ? 2 sin 600
y ? ? 2 sin 2 x cos 2 x ? ? 2 2? ? sin 4 x ,为奇函数, T ? ? 2 4 2

5. C

1 sin 4 ? ? cos 4 ? ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 2? 2 1 11 2 ? 1 ? ( 1 ? c o s? 2 ? ) 2 18 b 7. C ? tan 300 , b ? a tan 300 ? 2 3, c ? 2b ? 4 4, c ? b ? 2 3 a
6. B 8. A 9. C 10. 11.

0 ? A ? ? ,sin A ? 0

cos A ? sin( ? A) ? sin B, ? A, B 都是锐角,则 ? A ? B, A ? B ? , C ? 2 2 2 2 2
D 作出图形 D

?

?

?

?

?

1 b ? 2a sin B,sin B ? 2sin A sin B,sin A ? , A ? 300 或 1500 2
52 ? 82 ? 72 1 ? ,? ? 600 ,1800 ? 600 ? 1200 为所求 2?5?8 2
24

12.

B 设中间角为 ? ,则 cos ? ?

二、填空题 1.

3

tan 600 ? tan(200 ? 400 ) ?

tan 200 ? tan 400 ? 3 1 ? tan 200 tan 400

3 ? 3 tan 200 tan 400 ? tan 200 ? tan 400
2.

2008

1 ?t an? ? 2 c o s? 2

1 s i n 2 ? 1 s? n 2 ? i ? ? c o? 2 s cos 2 ? ?c o s 2

(cos ? ? sin ? )2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? ? ? ? ? 2008 cos 2 ? ? sin 2 ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ?
3. 4. 5.

?

6.

? 2? 2 c x?s (, T ? ) ? ? o 2 3 2 ? ? 2 4 1 7 1 7 , (sin ? cos ) ? 1 ? sin ? ? ,sin ? ? , cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 2 2 3 3 9 3 9 B? C A A A 0 3 2 60 , cos ? 2 cos ? A cos A? 2 ?i n s ? 1 2 sin ? 2 sin 2 2 2 2 2 A A A 1 3 ? ?2sin 2 ? 2sin ? 1 ? ?2(sin ? ) 2 ? 2 2 2 2 2 A 1 B?C 3 0 当 sin ? ,即 A ? 60 时,得 (cos A ? 2cos )max ? 2 2 2 2 1 1 1 sin A sin B ? sin A cos A ? sin 2 A ? 2 2 2
f ( x)? c o s x? 2 3 s i x?2 n
cos ? A b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? A ? 10 0 , 2 2bc 2
a b b sin A 6 ?2 ? ,a ? ? 4sin A ? 4sin150 ? 4 ? sin A sin B sin B 4

7.

120 0

8.

6 ? 2 A ? 150 ,

9.

120 0

a ∶ b ∶ c ? sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,
令 a ? 7k , b ? 8k , c ? 13k cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? , C ? 1200 2ab 2

10.

4

AC BC AB AC ? BC AB ? ? , ? , A C? B C sin B sin A sin C sin B ? sin A sin C A? B A? B ? 2( 6 ? 2)(sin A ? sin B) ? 4( 6 ? 2)sin cos 2 2 A? B ? 4cos ? 4, ( AC ? BC ) max ? 4 2

三、解答题 1. 解: sin ? ? sin ? ? ? sin ?,cos ? ? cos ? ? ?cos ?,

(sin ? ? sin ? )2 ? (cos ? ? cos ? )2 ? 1,
25

1 2 ? 2cos( ? ? ? ) ? 1, cos( ? ? ? ) ? ? . 2
2. 解: 解:原式 ?

2 cos 2 100 cos 50 sin 50 ? sin100 ( ? ) 4sin100 cos100 sin 50 cos 50

?

cos100 cos100 ? 2sin 200 ? 2 cos100 ? 2sin100 2sin100

cos100 ? 2sin(300 ? 100 ) cos100 ? 2sin 300 cos100 ? 2cos 30 0 sin100 ? ? 2sin100 2sin100
? cos 300 ?
3. 解: y ? sin (1)当

3 2

x ? ? ? ? ? 2k? ? ,即 x ? 4k? ? , k ? Z 时, y 取得最大值 2 3 2 3

x x x ? ? 3 cos ? 2sin( ? ) 2 2 2 3

? ? ? ? x | x ? 4k? ? , k ? Z ? 为所求 3 ? ?
(2) y ? 2sin( ?
? 右移 个单位 x ? x 横坐标缩小到原来的2倍 3 ) ????? y ? 2sin ??????? y ? 2sin x ? ? 2 3 2

纵坐标缩小到原来的2倍 ??????? y ? sin x ?

4. 解: a cos A ? b cos B ? c cos C,sin Acos A ?sin Bcos B ?sin Ccos C

sin 2 A ? sin 2B ? sin 2C, 2sin( A ? B) cos( A ? B) ? 2sin C cos C cos( A ? B) ? ? cos( A ? B), 2cos A cos B ? 0

cos A ? 0 或 cos B ? 0 ,得 A ?
所以△ABC 是直角三角形.

?
2

或B ?

?
2 A?C A?C B B cos ? 4sin cos , 2 2 2 2

5. 解: a ? c ? 2b, ∴ sin A ? sin C ? 2sin B , 2sin ∵ 即

∴ sin

B 1 A?C 3 B 13 B ? ? cos ? ,而 0 ? ? , ∴ cos ? , 2 2 2 4 2 4 2 2 B B 3 13 cos ? 2 ? ? ? 2 2 4 4

∴ sin B ? 2sin

39 8

26

27



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