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北京东城2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题



北京市东城区 2014-2015 学年上学期高一年级期末考试数学试卷
(考试时间 120 分钟 满分 100 分) 一、选择题:共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1. 若集合 A ? {0,1,2,4}, B ? {1,2,3} ,则 A ? B = A. {0,1,2,3,4} B. {1,2} C. {0,4} D. {3}

2. 已知 sin ? ? 0, cos ? ? 0 ,则角 ? 是 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

3. 下列函数中,在区间 (0,??) 上为增函数的是 A. y ?

1 x

B. y ? ( x ? 1) 2

C. y ? 2 ? x

D. y ? log 2 ( x ? 1)

4. cos 2 15? ? sin 2 15°+2sin15°·cos15°的值为 A.

3 ?1 2

B.

3 2

C.

6 2

D.

1 3 ? 2 4

5. 若函数 y ? log a x(a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象如图所示,则下列函数图象正确的是

6. 设 a ? log 2 ? , b ? log 1 ? , c ? ?
2

?2

,则 C. a ? c ? b D. c ? b ? a

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

7. 为了得到函数 y ? sin 3 x cos A. 向右平移

?
3

? cos 3 x sin

?
3

的图象,可以将函数 y ? sin 3 x 的图象 C. 向左平移

? 个单位 9

B. 向右平移 ? 个单位

? 个单位 9

D. 向左平移 ? 个单位

8. 设函数 f ( x) ? x sin x ,若 x1 , x 2 ? ?? , ? ,且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,则 ? 2 2? -1-

? ? ??

A. x1 ? x 2

B. x1 ? x 2 ? 0

C. x1 ? x 2

2 D. x12 ? x 2

9. 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? b sin x ? 4(a, b ? R ), f (lg(log 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) 的值为 A. -5 B. -1 C. 3 D. 4 10. 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 ? ( x) 组成的集合:对于函数 ? ( x) ,存在 一个正数 M,使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间 [? M , M ] 。例如,当 ?1 ( x) ? x 3 , ? 2 ( x) ? sin x 时,

?1 ( x) ? A, ? 2 ( x) ? B 。现有如下结论:
①设函数 f ( x) 的定义域为 D,若对于任何实数 b,存在 a ? D ,使得 f (a ) ? b ,则 f ( x) ? A ; ②若函数 f ( x) ? B ,则 f ( x) 有最大值和最小值; ③若函数 f ( x) , g ( x) 的定义域相同,且 f ( x) ? A, g ( x) ? B ,则 f ( x) ? g ( x) ? B ; ④若函数 f ( x) = a ln( x ? 2) ? 其中正确的是 A. ②③④ B. ①③④ C. ②③ D. ①③

x ( x ? ?2, a ? R) 有最大值,则 f ( x) ? B 。 x ?1
2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。 11. 已知全集 U ? R ,集合 P ? {x | x ? 1} ,那么 CU P =___________。
2

? ? ) ? cos(?? ) 1 2 12. 已知 tan(3? ? ? ) ? ? ,则 的值是___________。 sin(? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) 2 cos(

?

? 16 ? 13. 求值: ? ? ? 81 ?
14. 若 tan(? ?

?

3 4

? log 3

5 4 ? log 3 =___________。 4 5

?
4

)? 1 3

1 ,则 tan ? =___________。 2

15. 函数 y ? 2 sin( x ?

?
6

) 的单调递减区间是___________。

16. 对于任意两个实数 x1 , x 2 ,定义 max( x1 , x 2 ) ? ?

? x1 , x1 ? x 2 , 2 若 f ( x) ? x ? 2 , g ( x) ? ? x ,则 x , x ? x . 2 ? 2 1

max( f ( x), g ( x)) 的最小值为___________。

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 46 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 10 分) 已知集合 A ? {x | x ? 5 x ? 6 ? 0} , B ? {x | mx ? 1 ? 0} ,且 A ? B ? A ,求实数 m 的值组成的集合。
2

-2-

18.(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 。
(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ??

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;

? ? ?? 上的最大值和最小值。 , ? 6 4? ?

19.(本题满分 9 分) 已知函数 f ( x) = e x ? e ? x ,其中 e 是自然对数的底数。 (Ⅰ)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数; (Ⅱ)判断 f ( x) 在 (0,??) 上的单调性,并证明。

20.(本题满分 9 分) 如图,半径为 4m 的水轮绕着圆心 O 做匀速圆周运动,水轮每分钟旋转 4 圈,水轮圆心 O 距离水面 2m,如果 当水轮上的点 P 从离开水面的时刻(P0)起开始计算时间。

-3-

(Ⅰ)求点 P 到水面的距离 y (m) 与时间 t ( s ) 满足的函数关系; (Ⅱ)求点 P 第一次到达最高点需要的时间。

21.(本题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? a ? 3, a ? R 。
2

(Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴无交点,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 在 [?1,1] 上存在零点,求 a 的取值范围; (Ⅲ)设函数 g ( x) ? bx ? 5 ? 2b, b ? R 。当 a ? 0 时,若对任意的 x1 ? [1,4] ,总存在 x 2 ? [1,4] ,使得

f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ,求 b 的取值范围。

-4-

北京市东城区 2014-2015 学年上学期高一年级期末考试数学试卷答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。 1. B 2. D 3. D 4. A 5. B 6. C 7. C 8. D 9. C 10. B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。 11. {x | x ? 1或 x ? ?1} 12.

1 3

13.

27 8

14. ?

1 3

15. [6k? ? 2? ,6k? ? 5? ](k ? z )

16. -1

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 46 分。 17.(本题满分 10 分) 解:A= {x | x ? 5 x ? 6 ? 0} ? {2,3} ,
2

2分 5分

因为 A ? B ? A ,所以 B ? A 。

当 m ? 0 时,因为 B ? ? ,所以 B ? A 。故 m ? 0 。 7 分 当 m ? 0 时,由 B ? { } ? A ,得 m ?

1 m

1 1 或m ? 。 9 分 2 3
10 分

所以,实数 m 的值组成的集合是 {0, , } 。 18.(本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?

1 1 3 2

3 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 1

? 3 sin 2 x ? cos 2 x
? 2 sin( 2 x ?

?
6

)。

4分 6分

所以 f ( x) 的最小正周期为 ? 。 (Ⅱ)因为 ?

?
6

?x? ?

?
4

,所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? 。 3

于是,当 2 x ? 当 2x ?

?
6

?
2

时, f ( x) 取得最大值 2;

?
6

??

?
6

,即 x ? ?

?
6

时, f ( x) 取得最小值-1。

10 分

19.(本题满分 9 分) 解: (Ⅰ)因为函数 f ( x) 的定义域是 R,且 f (? x) ? e 所以 f ( x) 是偶函数。 (Ⅱ) f ( x) 在 (0,??) 上是单调递增函数。 设 0 ? x1 ? x 2 ,则 3分
?x

? e x ? f ( x) ,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e x1 ? e ? x1 ? (e x2 ? e ? x2 )
-5-

? (e x1 ? e x2 )(1 ? e ? x1 ? x2 ) 。
由 0 ? x1 ? x 2 ,得 e
x1

? e x2 ,所以 e x1 ? e x2 ? 0 。
? x1 ? x2

又由 0 ? x1 ? x 2 得 ? x1 ? x 2 ? 0 ,所以 e

? 1 ,所以 1 ? e ? x1 ? x2 ? 0 。

所以, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 。 所以, f ( x) 在 (0,??) 上是单调递增函数。 20.(本题满分 9 分) 解: (Ⅰ)以 O 为原点建立如图所示的直角坐标系。由于水轮绕着圆心 O 做匀速圆周运动,可设点 P 到水面的 距离 y (m) 与时间 t ( s ) 满足函数关系 9分

y ? A sin(?t ? ? ) ? 2, (?

?
2

? ? ? 0) 。

3分

因为水轮每分钟旋转 4 圈, 所以 T ?

60 2? 2? 。 ? 15 ,所以 ? ? ? 4 T 15

因为水轮半径为 4m,所以 A=4。 所以 y ? 4 sin(

2? ? t ? ? ) ? 2 , (? ? ? ? 0) 。 15 2

当 t ? 0 时, y ? 0 。所以 ? ? ? 所以 y ? 4 sin(

?
6



2? ? t ? )?2。 15 6

6分

(Ⅱ)由于最高点距离水面的距离为 6,所以 6 ? 4 sin( 所以

2? ? 2? ? ? ) ? 2 。所以 sin( ? ) =1。 15t 6 15t 6

2? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) 。所以 t ? 5 ? 15k (k ? Z ) 。 15t 6 2
9分

所以当 k ? 0 时,即 t ? 5( s ) 时,点 P 第一次达到最高点。 21.(本题满分 8 分)

解: (Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴无交点,则方程 f ( x) ? 0 的判别式 ? ? 0 , 即 16 ? 4(a ? 3) ? 0 ,解得 a ? 1 。 2分 -6-

(Ⅱ) f ( x) ? x 2 ? 4 x ? a ? 3 的对称轴是 x ? 2 ,所以 y ? f ( x) 在 [?1,1] 上是减函数, y ? f ( x) 在 [?1,1] 上 存在零点,则必有:

? f (1) ? 0, ?a ? 0, 即? 。 ? ? f (?1) ? 0, ?a ? 8 ? 0
解得, ? 8 ? a ? 0 ,故实数 a 的取值范围为 ? 8 ? a ? 0 ; 5分 (Ⅲ)若对任意的 x1 ? [1,4] ,总存在 x 2 ? [1,4] ,使 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ,只需函数 y ? f ( x) 在 [1,4] 上的值域为函 数 y ? g ( x) 在 [1,4] 上值域的子集。 当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ? 3 的对称轴是 x ? 2 ,所以 y ? f ( x) 在 [1,4] 上的值域为 [?1,3] 。
2

下面求 g ( x) ? bx ? 5 ? 2b, x ? [1,4] 的值域。 ①当 b ? 0 时, g ( x) ? 5 ,不合题意,舍去。 ②当 b ? 0 时, g ( x) ? bx ? 5 ? 2b 的值域为 [5 ? b,5 ? 2b] ,只需要 ? ③当 b ? 0 时, g ( x) ? bx ? 5 ? 2b 的值域为 [5 ? 2b,5 ? b] ,只需要 ? 综上:实数 b 的取值范围是 b ? 6 或 b ? ?3 。 8分

?5 ? b ? ?1 解得 ? 6 。 ?5 ? 2b ? 3

?5 ? 2b ? ?1 解得 b ? ?3 。 ?5 ? b ? 3

-7-



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