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高中数学:3[1].4.1



新课标人教版课件系列

《高中数学》
必修5

3.4.1《基本不等式 -均值不等式》

教学目标
推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数这个重要定理;利用均值定理求极 值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 ? 教学重点: ? 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的 几

何平均数这个重要定理;利用均值定理求极值。 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
?

定理: 如果a,b∈R, 那么a2+b2≥2ab
(当且仅当a=b 时取“=”) 证明: a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2
当a ? b时, ( a ? b) 2 ? 0 ? ?? 2 当a ? b时, ( a ? b) ? 0?

a ? b ? 2ab
2 2

1.指出定理适用范围:

a, b ? R

2.强调取“=”的条件: a ? b

均值定理: 如果a,

b∈R+,那么

(当且仅当a=b 时,式中等号成立)
2 2 证明: ( a ) ? ( b ) ?2 a b ∵

a?b ? ab 2

∴a ? b ? 2 ab
a?b ? ab 即: 2
a?b ? ab 当且仅当a=b时 2

a?b 为a,b 的算术平均数, 称 2 称 ab 为a,b 的几何平均数。

注意:1.适用的范围:a, b 为非负数. 2.语言表述:两个非负数的算术平

均数不小于它们的几何平均数。
a?b 3.我们把不等式 ? ab (a≥0,b≥0) 2

称为基本不等式

a?b 把 2 看做两个正数a,b 的等差中项, ab 看做正数a,b的等比中项,

那么上面不等式可以叙述为: 两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。 还有没有其它的证明方法证明上面 的基本不等式呢?

几何直观解释:

a?b 2

ab

令 正 (1)作线段AB=a+b,使AD=a,DB= b , 数 (2)以AB为直径作半圆O; a (3)过D点作CD⊥AB于D,交半圆于点C , 具体作图如下:

(4)连接AC,BC,CA,则

CD ? ab
当a≠b时,OC>CD,即 当a=b时,OC=CD,即
a?b ? ab 2
A

a?b OC ? 2

a?b ? ab 2 C
a+b 2 ab

aO

D

b

B

b a 例1.已知ab>0,求证: ? ≥ 2 ,并 a b 推导出式中等号成立的条件。
b a 证明:因为ab>0,所以 ? 0, ? 0 , a b

根据均值不等式得
b a 当且仅当 ? 时,即a2=b2时式中等号 a b 成立,
b a b a ? ≥2 ? ? 2 a b a b

b a 即 ? ≥2 a b

因为ab>0,即a,b同号,所以式中等号成 立的条件是a=b.

例2.(1)一个矩形的面积为100m2,问 这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周 长最短?最短周长是多少? (2)已知矩形的周长是36m,问这个矩 形的长、宽各为多少时,矩形的面积最大? 最大面积是多少? 分析:在(1)中,矩形的长与宽的乘积是 一个常数,求长与宽的和的2倍的最小值;

在(2)中,矩形的长与宽的和的2倍是一个 常数,求长与宽的乘积的最大值。

解:(1)设矩形的长、宽分别为x(m), y(m),依题意有xy=100(m2),
x? y ≥ xy 因为x>0,y>0,所以, 2

因此,即2(x+y)≥40。

当且仅当x=y时,式中等号成立, 此时x=y=10。 因此,当这个矩形的长与宽都是10m时, 它的周长最短,最短周长是40m.

(2)设矩形的长、宽分别为x(m),y(m),

依题意有2(x+y)=36,即x+y=18,
x? y 因为x>0,y>0,所以, xy ≤ 2

因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方,得xy≤81, 当且仅当x=y时,式中等号成立, 此时x=y=9,

因此,当这个矩形的长与宽都是9m时,
它的面积最大,最大值是81m2。

规律:
两个正数的积为常数时,它们的和有 最小值; 两个正数的和为常数时,它们的积有 最大值。

?2 x 2 ? x ? 3 例3.求函数 f ( x) ? ( x ? 0) x

的最大

值,及此时x的值。
3 解: f ( x) ? 1 ? (2 x ? ) ,因为x>0, x
3 3 所以 2 x ? ≥ 2 2 x ? ? 2 6 x x 3 得 ?(2 x ? )≤ -2 6 x

因此f(x)≤ 1 ? 2 6

当且仅当 号成立。

3 2x ? x

3 ,即 x ? 2
2

时,式中等

由于x>0,所以

6 x? 2

,式中等号成立,
6 ,此时 x ? 2

因此 f ( x)max ? 1 ? 2 6



下面几道题的解答可能有错,如果错了, 那么错在哪里? 1 1.已知函数 f ( x) ? x ? ,求函数的 x 最小值和此时x的取值.

运用均值不等式的过程中,忽略了“正数” 这个条件.

3 ( x ? 2) , 2.已知函数 f ( x) ? x ? x?2 求函数的最小值.

用均值不等式求最值,必须满足“定值”这 个条件.

4 ? 3 求函数y ? sin ? ? 其中? ? (0, ] sin ? 2 的最小值。 4 4 解:y ? sin ? ? ? 2 sin ? ? sin ? sin ? ? 4,?函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.

练习题: 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值, 并说明此时x,y的值. 当x=6,y=4时,最小值为48 2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值. 最小值为8
2 3.已知x<0,求函数 f ( x) ? x ? 的最大值. x

1 1 4 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u ? ? x y

?2 2

的最小值.

3? 2 2



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