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③ 直线、圆的位置关系课后限时作业



课后限时作业(四十四)
(60 分钟,150 分) (详解为教师用书独有) A组 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分) 1. 过点(2,3)的直线 l 与圆 C:x2+y2+4x+3=0 交于 A、B 两点,当弦长|AB|取最大值时,直 线 l 的方程为 ( ) A.3x-4y+6=0 B.3x-4y-6=0 C.4x-3y+8=0 D.4x+

3y-8=0 解析:由题意知当弦长|AB|取最大值时,直线 l 过圆 C 的圆心(-2,0),又 l 过点(2,3),所以直 线 l 的方程为 3x-4y+6=0. 答案:A 2. 两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解 析 : 圆 C1 的 圆 心 (- 1 , - 1), 半 径 r1 = 2 ,圆 C2 的 圆 心 (2,1), 半径 r2 = 2 , 因 此 ?-1-2?2+?-1-1?2= 13<r1+r2,所以两圆相交,有且仅有 2 条公切线. 答案:B 3.(2008?山东)已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别 为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 ( ) A.10 6 B.20 6 C.30 6 D.40 6 解析:令 P(3,5),由题意知最长弦为圆的直径 AC,最短弦 BD 以 P(3,5)为中点. 由圆的方程 x2+y2-6x-8y=0,可知圆心 O(3,4),半径 r=5, 所以|AC|=10.又|OP|= ?3-3?2+?4-5?2=1, 在 Rt△POD 中,PD= OD2-OP2= 25-1=2 6, 所以|BD|=4 6, 1 1 所以 S 四边形 ABCD= |AC|· |BD|= ?10?4 6=20 6. 2 2 答案:B 4.(2011 届?吉林普通中学模拟)已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A,B 两点,且 | O A + O B |=| O A - O B |(其中 O 为坐标原点) ,则实数 a 是 A.2 C.2 或-2
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ?

2

2

(

)

B.-2 D.以上答案都不对
??? ??? ? ? ??? ? ??? ?

解析:因为| O A + O B |=| O A - O B |,所以 O A ⊥ O B ,所以 A、B 两点分别在 x、y 轴上,所以 a=±2. 答案:C 5.(2011 届?沈阳调研)若 a、b、c 是直角三角形的三边(c 为斜边),则圆 x2+y2=4 被直线 ax+by+c=0 所截得的弦长等于 ( ) A.1 B.2 C. 3 D.2 3 |c| 解析:圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离 2 2=1.又因为半径为 2,所以直线被圆截得 a +b 的弦长=2 22-12=2 3. 答案:D

6.一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴反射到圆 C: (x-2) +(y-3) =1 上的最短路程是 ( A.4 B.5 C.3 2 -1 D.2 6

2

2

)

解析:圆 C 的圆心 C 的坐标为(2,3) ,半径 r=1.点 A(-1,1)关于 x 轴的对称点 A ? 的坐标 为 ( -1 , -1 ) . 因 A ? 在 反 射 光 线 上 , 所 以 最 短 距 离 为 | A ? C | ? r . 即
? 2 ? ? ? 1?? ? ?3 ? ? ? 1?? ? ? ? ?
2 2

-1=4.

答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 7.(2009?湖北)过原点 O 作圆 x +y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的长为 . 解析:圆 x +y -6x-8y+20=0 可化为(x-3) +(y-4) =5.圆心(3,4)到原点的距离为 5.
故 cos ? ? 5 5 , 所以 cos ? PO 1 Q ? 2 cos
2 2 2 2
2 2

2

? ?1 ? ?

3 5

, 所以 | PQ | ? ( 5 )
2

2

? ( 5)

2

? 2 ? ( 5) ?
2

3 c

? 16 .

所以 | PQ | ? 4 .

答案:4 8.(2011 届?天津质检)已知两圆 x2+y2=10 和(x-1)2+(y-3)2=20 相交于 A、B 两点,则 直线 AB 的方程是 . 解析:两圆方程联立,相减可得. 答案:x+3y=0 9.若直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相切,则实数 ab 的取值范围是
2 2

.

10.(2009?四川)若⊙O:x +y =5 与⊙O1:(x-m) +y =20(m∈R)相交于 A、B 两点,且两圆 在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 .

2

2

2

2

解析:如图所示,在 Rt△OO1A 中,OA= 5 ,O1A=2 5 , 所以 OO1=5,

所以 AC=

5?2 5

5

=2,

所以 AB=4. 答案:4 三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 12 分,共 24 分) 11.(2011 届?龙岩调研)已知圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切? (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 2时,求直线 l 的方程. 解:(1)由题意知圆 C 的圆心为(0,4),半径为 2. |4+2a| 3 当直线 l 与圆 C 相切时, 2 =2,解得 a=- . 4 a +1 (2)当直线 l 与圆 C 相交,且 AB=2 2时, |4+2a| 圆心(0,4)到直线 l 的距离 d= 2 = 4-? 2?2, a +1 解得 a=-1 或 a=-7. 此时直线 l 的方程为 x-y+2=0 或 7x-y+14=0. 12.已知圆 C 经过 P(4,-2) ,Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,半径小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程; (2)若直线 l∥PQ,且 l 与圆 C 交于点 A、B,∠AOB=90°,求直线 l 的方程.

即 y=x-1. 设 C(n,n-1), 则 r =|CQ| =(n+1) +(n-4) , 由题意,有 r =(2 3 ) +|n| , 所以 n +12=2n -6n+17, 所以 n=1 或 5,r =13 或 37(舍去), 所以圆 C 为(x-1) +y =13. (2)设直线 l 的方程为 x+y+m=0, 由 x+y+m=0, (x-1) +y =13 得 2x +(2m-2)x+m -12=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

则 x1+x2=1-m,x1x2=

m

2

? 12 2

.

因为∠AOB=90°,所以 x1x2+y1y2=0, 所以 x1x2+(x1+m)(x2+m)=0, 所以 m +m-12=0, 所以 m=3 或-4(均满足Δ >0) , 所以 l 的方程为 x+y+3=0 或 x+y-4=0. B组 一、选择题(本大题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分) 1. 要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷 水龙头的喷洒范围都是半径为 6 米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是( )
2

A.3 B.4 C.5 D.6 解析:正方形对角线长为 16 2米,故需覆盖对角线两顶点,需 2 个圆,共需 4 个圆.故选 B. 答案:B 2.若圆(x-3) +(y+5) =r 上有且只有两个点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1,则半径 r 的取值范围 是 ( ) A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] 解析:因为圆心(3,-5)到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 5,由|5-r|<1 得 4<r<6. 答案:A 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分) 2 3. 已知直线 x-my+3=0 和圆 x2 +y2 -6x+5=0,当直线被圆截得的弦长为 10时,m 5 = . 18 10?2 解析:由垂径定理得:? =4-d2?d2= . 5 ? 5 ? 6 ?2 18 ? 所以由? 3. ? = ,得 m=± ? 1+m2? 5 2 所以即 m=± 时,截得的弦长为 10. 3 5 答案:±3 4.如果圆(x-a) +(y-a) =4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的取值范围是
2 2 2 2 2

.

解析:圆的半径为 2,欲使圆上总存在两个点到原点的距离为 1,则圆心到原点的距离在区间

(1,3)内,所以 1<2|a|<3,解得

.

答案: 三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 14 分,共 28 分) 5.(2011 届?江苏苏北四市模拟)已知直线 l:y=kx+1 与圆 C: ? S ( k ) ? ?
2

3 k
2

?1

相交于 A,B

两点. (1)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程; (2)若 O 为坐标原点,S(k)表示△OAB 的面积,f(k)=[S(k)]2+3k2+1,求 f(k)的最大值. 解: (1)直线 l 与 y 轴的交点为 N(0,1),圆心 C(2,3) ,设 M(x,y) , 因为 MN 与 MC 所在直线垂直, 所以 (x≠0 且 x≠2).

当 x=0 时不符合题意,当 x=2 时,y=3 符合题意, 所以 AB 中点的轨迹方程为:x +y -2x-4y+3=0,
2 2

.

6. 如图,在平面直角坐标系中,N 为圆 A:(x+1)2+y2=16 上的一动点,点 B(1,0),点 M 是 → → BN 中点,点 P 在线段 AN 上,且MP· =0. BN

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)试判断以 PB 为直径的圆与圆 x2+y2=4 的位置关系,并说明理由. → → (1)解:由点 M 是 BN 中点,又MP· =0,可知 PM 垂直平分 BN,所以|PN|=|PB|. BN 又|PA|+|PN|=|AN|,所以|PA|+|PB|=4. 由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. x2 y2 设椭圆方程为 2+ 2=1,由 2a=4,2c=2,可得 a2=4,b2=3. a b x2 y2 可知动点 P 的轨迹方程为 + =1. 4 3 x0+1 y0? (2)解:设点 P(x0,y0),PB 的中点为 Q,则 Q? ? 2 , 2 ?, 3 |PB|= ?x0-1?2+y2= x2-2x0+1+3- x2 0 0 4 0 1 2 1 = x -2x0+4=2- x0. 4 0 2 x0+1 y0? 1 即以 PB 为直径的圆的圆心为 Q? ? 2 , 2 ?,半径为 r1=1-4x0, 又圆 x2+y2=4 的圆心为 O(0,0),半径 r2=2, x0+1?2 ?y0?2 |OQ|= ? ? 2 ? +? 2 ? 3 2 1 2 1 1 1 = x + x + + ?3- x ? 4 0 2 0 4 4? 4 0 ? 1 2 1 1 = x + x +1=1+ x0, 16 0 2 0 4 故|OQ|=r2-r1,即两圆内切.



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