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黑龙江省哈尔滨市第三中学2016届高三下学期三模数学(理)试题 扫描版含答案



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2016 年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试理科数学答案
1-12 BCBDA 13 508 CBBCA 14 B

A

19

15

1 3

16

2 2 ?2

17. 解: (I) 4a1 ? 6d ? 2 ? a1 ? 4d ? , a1 ? a1 ? d ? ? a1 ? 3d 则 an ? 2n ;-----------------------------------------------3 分

bn ? 2n ;------------------------------------------------------6 分
(II) cn ?

anbn ? n 2n , 2

则 Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ... ? n2n

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ... ? n2n?1
两式相减得 ?Tn ? 1? 21 ? 1? 22 ? 1? 23 ? ... ? 2n ? n2n?1 ----------9 分 整理得 Tn ? (n ? 2)2n?1 ? 2 .-----------------------------------------12 分 18. (I)中位数是 13; ???????????????????????4 分

(II)依题意,从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从 B(3,0.3) ,所以 X 可能取值为 1,3 ,
3 0 且 P( X ? 3) ? C3 0.33 ? C3 0.73 ? 0.37 , ???????6 分 1 2 P( X ? 1) ? C3 0.31 ? 0.7 2 ? C3 0.32 ? 0.71 ? 0.63 ???8 分

所以 X 的分布列为

X

1

3
0.37
???????????10 分

P

0.63

数学期望 EX ? 1 ? 0.63 ? 3 ? 0.37 ? 1.74 19. 解: (I)取 DE 中的 Q ,连接 QF 、 QA 因为 BF ? 平面 CAE ,所以 F 为中点,

???????????12 分

NF / / AM , NF ? AM ,
四边形 AMFN 为平行四边形,

-9-

Z

AQ / / 平面 QAE .

???4 分

D

C

(II)因为 BF ? 平面 CAE 所以 F 为中点, BF ? AE , 因为 BC ? 平面 BAE 所以 AE ? 平面 BCE 所以 AE ? BE ???7 分 E X 以 B 为坐标原点, BE 为 x 轴, BC 为 z 轴,建立空间直角坐标系 Y A M B Q F

BF ? ?1,0,1?

???9 分

平面 DCE 的法向量为 n ? ?1, 2,1?

cos n, BF ?

3 3 3 3
x2 2 ? y2 ? 1 4
2 2

所以线面角正弦值为

???12 分

20. 解: (Ⅰ)设 M ?x, y ?, A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? , (1)-(2)得:

(1)

x1 2 ? y1 ? 1 (2) 4
????.3 分

3 y 1 ? ? ,即 x ? 2 3 y ? 0 2 x 4

又由中点在椭圆内部得 ? 3 ? x ? 3 , 所以 M 点的轨迹方程为 x ? 2 3 y ? 0 , ? 3 ? x ? 3 (Ⅱ)由 PF1 ? PF2 ? ? ????.5 分

? 3? 5 ?, ,得 P 点坐标为 ?1, ? ? 2 4 ? ?

????.6 分

设直线 l 的方程为 y ?

3 x ? m ,代入椭圆方程中整理得: 2

x 2 ? 3mx ? m 2 ? 1 ? 0 ,由 ? ? 0 得 ? 2 ? m ? 2
则 x1 ? x2 ? ? 3m, x1 x2 ? m 2 ? 1 ????.7 分

AB ?

m 7 4 ? m2 , d ? 4 7 4
- 10 -

????.9 分

所以 S ?PAB ?

S ?PAB

1 ????.10 分 m 4 ? m2 2 1 m2 ? 4 ? m2 1 ? 1 ,当 m ? ? 2 时, S max ? 1 ? m 4 ? m2 ? 2 2 2
????.12 分

21. 解 (1)当 a ? 2 时,设 m( x ) ? g( x ) ? h( x )

m?( x ) ? 2 ?

1 2 1 x ? 2 x ?1

??????????????????2 分

? 1?

x( 1 ? x )( x ? 2 ) ?0 2( x ? 1 )

故 m( x ) 在 ( 0 ,1 ) 上单调递增 ??????????????????.4 分 (2)设 p( x ) ? f ( x ) ? g( x ) ? sin x ? x ? ax
3

1 6

p?( x ) ? cos x ?

1 2 x ? a ,因为 p??( x ) ? x ? sin x ? 0 , 2

所以 p?( x ) 递增.所以有: 当 a ? 1 时, p?( x ) ? 0 ,所以 p( x ) 单调递增,所以 p( x ) ? p( 0 ) ? 0 ,成立; ??????????????????.6 分

1 ? cos 1 时, p?( x ) ? 0 ,所以 p( x ) 单调递减,欲证不等式不成立; 2 1 1 2 当 1 ? a ? ? cos 1 时,设 cos x ? x ? a ? 0 零点为 x0 ,则当 x ? ( 0,x0 ) 时 p( x ) 递减 2 2
当a ?

x ?( x0 ,1 ) p( x ) 递增,从而当 x ? ( 0,x0 ) , p( x ) ? 0 ,与前提矛盾
??????????????????.8 分 综上,此时 a ? 1 . 再设 q( x ) ? g( x ) ? h( x ) ? ax ?

1 3 x ? ln( x ? 1 ) 6

1 2 1 x3 ? x 2 ? 2 ? q(x)?a? x ? ?a? 2 x ?1 2( x ? 1 )
设 m( x ) ?

x3 ? x 2 ? 2 x3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ,易求 m?( x ) ? , 2( x ? 1 ) ( x ? 1 )2
3 2 2

再令 n( x ) ? x ? 2x ? x ? 2 ,易知 n?( x ) ? 3x ? 4x ? 1 ? 0

- 11 -

且 n( 0 ) ? 0,n( 1 ) ? 0 ,从而由零点存在定理知。必存在唯一零点 s ? ( 0,1 ) ,使 n( s ) ? 0 当 x ? ( 0,s ) m?( x ) ? 0 , m( x ) 递减 x ? ( s,1 ) m?( x ) ? 0 , m( x ) 递增,且 m( 1 ) ? m( 0 ) ? 1 设 m( x )min ? m 当 a ? 1 时, q?( x ) ? 0 恒成立, q( x ) 递增,所以 q( x ) ? q( 0 ) ? 0 ,原不等式成立; ?????????????????.10 分 当 a ? m 时, q?( x ) ? 0 恒成立, q( x ) 递减,所以 q( x ) ? 0 恒成立,矛盾; 当 m ? a ? 1 ,设 a ?

x3 ? x 2 ? 2 ? 0 两根为 x1、x2 ,则 ( 0 , x 1 ) q( x )递减, ( x1 ,x2 ) q( x )递增, 2( x ? 1 )

( x2 ,1 ) q( x )递减,故此时 q( x ) ? 0 仍不能恒成立.
综上所述, a ? 1 . 所以 f ( x ) ? g( x ) ? h( x ) 恒成立的 a 的取值集合为 { 1 } . 23.解: (1) C1 的普通方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 , C2 的普通方程为 y ? 4 x
2

?????12 分 5分

? x ? 2? ? ? (2)将直线 C1 的标准参数方程 ? ? y ? 1? ? ?
PM ? PN ? m1m2 ? 35 4

1 m 5 代入 y 2 ? 4x 得, 4 m 2 ? 8 5 m ? 7 ? 0 ,所以 2 5 5 m 5

1 ? ? 3 x ? 1, x ? 2 ? 1 1? ? ? 24.解: (1) f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? ?? x ? 3,?2 ? x ? ,所以 y ? f ( x) 在 ? - ?, ? 单调递减, 2 2? ? ? ? 3 x ? 1 , x ? ? 2 ? ? ?
在? , ? ? ? 上单调递增,所以 f ( x) min ? f ? ? ?

?1 ?2

? ?

?1? ?2?

5 5 ,所以 a ? . 2 2

5分

(2)只需证 2(m ? n) ?

a ? 33 a , 2 ?m ? n? a ? 33 a ?m ? n?2
10 分

即证 (m ? n) ? (m ? n) ?

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