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甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程教案 新人教A版选修1-1


◆ 甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 2.2.1 椭圆及其标准方程 教案 新人教 A 版选修 1-1

◆ 理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程的推导 过程及化简无理方程的常用的方法;了解求椭圆的动点的 伴随点的轨迹方程的一般方法. . ◆ 过程与方法目标 (1)预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时, 观察平面截圆锥的截口曲线 (截面与圆锥侧面的 交 线)是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时,截口曲 线是椭圆,再观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你 能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和 抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.当学生把上述两个问题回答清 楚后, 要引导学生一起探究 P41 页上的问题 (同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条 (约 10cm 长, 两端各结一个套) ,教师准备无弹性细绳子一条(约 60cm,一端结个套,另一端是活动的) ,图钉 两个) .当套上 铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是椭圆.启发性提问:在这一过程中,你 能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗2.1.1 椭圆及其标准方程. (2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭 圆(ellipse) .其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设为

M 时,椭圆即为点集 P ? ?M | MF1 ? MF2 ? 2a? .
(ii)椭圆标准方程的推导过程 提问: 已知图形, 建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、 充分利用图形的对称性; 第二、 注意图形的特殊性和一般性关系. 无理方程的化简 过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理. 设参量 b 的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、 a , b, c 的关系有明显的几何意义.

y 2 x2 类比:写出焦点在 y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? . a b
(iii)例题讲解与引申 例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0 ? , ? 2, 0 ? ,并且经过点 ? 程. 分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a , b, c .引导学生用其他方法来解.

?5 3? , ? ? ,求它的标准方 ?2 2?

1

另解:设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ?5 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,因点 ? , ? ? 在椭圆上, 2 a b ?2 2?

9 ? 25 ? 2 ? 2 ?1 ? ?a ? 10 则 ? 4a . ?? 4b ?b ? 6 ?a 2 ? b 2 ? 4 ? ?
例 2 如图,在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 分析:点 P 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上运动,由点 P 移动引起点 M 的运动,则称点 M 是点 P 的伴 随点,因点 M 为线段 PD 的中点,则点 M 的坐标可由点 P 来表示,从而能求点 M 的轨迹方程. 引申:设定点 A ? 6, 2? , P 是椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 上动点,求线段 AP 中点 M 的轨迹方程. 25 9

解法剖析:①(代入法求伴随轨迹)设 M ? x, y ? , P ? x1 , y1 ? ;②(点与伴随点的关系)∵ M 为线段 AP 的中点,∴ ?

? x1 ? 2 x ? 6 x2 y 2 ; ③ (代入已知轨迹求出伴随轨迹) ,∵ 1 ? 1 ? 1 , ∴点 M 25 9 ? y1 ? 2 y ? 2
?

的轨迹方程为

? x ? 3?
25

2

? y ? 1?
9

2

?

1 ;④伴随轨迹表示的范围. 4

例 3 如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0 ? .直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们 的斜率之积为 ?

4 ,求 点 M 的轨迹方程. 9

分析:若设点 M ? x, y ? ,则直线 AM , BM 的斜率就可以用含 x, y 的式 子表示,由于直线 AM , BM 的斜率之积是 ? 的关系式,即得到点 M 的轨迹方程. 解 法 剖 析 : 设 点 M ? ,x

4 ,因此,可以求出 x, y 之间 9
y ? x ? ?5? , x?5

? y,

则 k AM ?

y ? x ? 5? ; x?5 y y 4 ? ? ? ,化简即可得点 M 的轨迹方程. 代入点 M 的集合有 x?5 x?5 9 k BM ?

引申:如图,设△ ABC 的两个顶点 A ? ?a,0 ? , B ? a,0? ,顶点 C 在移动,且 k AC ? kBC ? k , 且 k ? 0 ,试求动点 C 的轨迹方程. 引申目的有两点: ①让学生明白题目涉及问题的一般情形; ②当 k 值在变化时,
2

线段 AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴. ◆ 情感、态度与价值观目标 通过作图展示与操作,必须让学生认同:圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线,是因它们 都是平面与圆锥曲面相截而得其名;必须让学生认同与体会:椭圆的定义及特殊情形当常数等于两 定点间距离时,轨迹是线段;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立直角坐标系的两个原则, 及引入参量 b ?

a2 ? c2 的意义,培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美;让学生认同与

领悟:例 1 使用定义解题是首选的,但也可以用其他方法来解,培养学生从定义的角度思考问题 的 好习惯;例 2 是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹,培养学生的辩证思维方法,会用分析、联 系的观点解决问题;通过例 3 培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质. ◆能力目标 (1) 想象与归纳能力:能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线 的实际例子, 能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义, 能正确且直观地绘作图形, 反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊性问题引申到一般 性来研究,培养学生的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已 有的知识能力. (4) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力. (5) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.

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