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福建省福州市2013-2014学年第一学期高三期末质量检测文科数学试题(扫描版)(含答案)


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福州市 2013—2014 学年第一学期高三期末质量检测 数学(文科)试卷 参考答案与评分标准
第Ⅰ卷 (选择题
案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. D 12. A 2.D 3. B 4.A 5. D 6. D 7. D 8. B 9. C. 10.C 11. C

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置上. 13.

? 16

14.9

15. 4 2

16..②④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) g ( x) ? b ? 1 ? sin 2 2 x
?? 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

由 g ( x) ? 0 得 sin 2 x ? 0 ? 2 x ? k? ?k ? Z ? 即 x ? 故方程 g ( x) =0 的解集为 x x ?
?? ??

?

k? ?k ? Z ? 2

k? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ?k ? Z ? · 2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

?
?

2 2 (Ⅱ) f ( x) ? a ? b ? 1 ? ( 2 cos x, 3 ) ? (1, sin 2 x ) ? 1 ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 1 · · · · · · 7分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) · 6 2? ∴函数 f ( x) 的最小周期 T ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ?? 2 由?

?

2

? 2k? ? 2 x ?

?

6

?

?

2

? 2k? ?k ? Z ? 得 ?

?

3

? k? ? x ?

?

6

? k? ?k ? Z ?

故函数 f ( x) 的单调增区间为 ??

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ?k ? Z ?. ( 开区间也可以) 6 ? 3 ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)? a1 ?

1 n ?1 , an?1 ? an ? an ? 0 3 3n a a 1 1 a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? n ?1 = ? n ,又? 1 = n ?1 3 n 1 3
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

1 1 ?a ? ? ? n ? 为首项为 ,公比为 的等比数列 3 3 ?n?

第5页

a 1 ?1? ? n = ?? ? n 3 ?3?
(Ⅱ) Sn ?

n ?1

, ? an =

n 3n

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

1 2 3 n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? 2 ? 3 ? ? ? n ??① 1 3 3 3 3 1 1 2 n ?1 n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ? Sn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ??② · 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 n ①-② 得: Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 3 3 3 3 3
1? 1? ?1 ? n ? n 3 3 ? ? ? ? n ?1 1 3 1? 3
3? 1? n ? Sn ? ?1 ? n ? ? 4 ? 3 ? 2 ? 3n

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

? Sn ?

3n ?1 ? 3 ? 2n 4 ? 3n

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

19. (本小题满分 12 分) .

解:(Ⅰ)设“从该批电器中任选 1 件,其为”B”型”为事件 A1 , 则 P( A1 ) ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · 1分

50 ? 5 9 ? 50 10

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

所以从该批电器中任选 1 件,求其为”B”型的概率为

9 . 10

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

(Ⅱ)设“从重量在[80,85)的 5 件电器中,任选 2 件电器,求其中恰有 1 件为”A”型”为事件 A2 ,记 这 5 件电器分别为 a,b,c,d,e,其中”A”型为 a,b.从中任选 2 件,所有可能的情况为 ab,ac,ad,

ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共 10 种.
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 其中恰有 1 件为”A”型的情况有 ac,ad,ae,bc,bd,be,共 6 种. · · · · · · · · · · 10 分 所以 P( A2 ) ?

6 3 ? . 10 5
12 分

3 所以从重量在[80,85)的 5 件电器中,任选 2 件电器,其中恰有 1 件为”A”型的概率为 . 5 20. (本小题满分 12 分) 解:依题意得 g(x) ? x ? 3 ,设利润函数为 f(x) ,则 f(x) ? r (x) ? g(x) , 所以 f(x) ? ?

??0.5 x 2 ? 6 x ? 13.5 ? 10.5 ? x

(0 ? x ? 7) (x ? 7)

,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

(I)要使工厂有盈利,则有 f(x)>0,因为
第6页

f(x)>0? ?

? x?7 或? , ??0.5 x ? 6 x ? 13.5 ? 0 ?10.5 ? x ? 0 ?
2

0?x?7

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

?0 ? x ? 7 0?x?7 ? ? x?7 或 ? 或? ?? 2 ? ?3 ? x ? 9 ? x ? 12 x ? 27 ? 0 ?10.5 ? x ? 0
? 3 ? x ? 7 或 7 ? x ? 10.5 , 即 3 ? x ? 10.5 .

7 ? x ? 10.5

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于 300 台小于 1050 台的范围内. · · · · · · 8分 (II)当 3 ? x ? 7 时, f(x) ? ?0.5( x ? 6) ? 4.5
2

故当 x=6 时,f(x)有最大值 4.5.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

而当 x>7 时, f(x) ? 10.5 ? 7 ? 3.5 . 所以当工厂生产 600 台产品时,盈利最大. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 21. (本小题满分 12 分) 解: (1)? f(x) =x ? 2 x ? ax
3 2
2

' ?f ( x) =3x 2 ? 4 x ? a 2

· · · · · · · · · · · · · · · · 2分

对于 x ? R 恒有 f '( x) ? 2 x ? 2 x ? 4 ,即 x ? 2 x ? 4 ? a ? 0 对于 x ? R 恒成立 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

?? ? 4 ? 4(4 ? a) ? 0
? amax ? 3

?a?3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(2)?当a=3时F(x) =f ( x) ? k ? x 有三个零点

? k ? x3 ? 2 x2 ? 4 x 有三个不同的实根

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

令g ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? 4 x ,则 g '( x)=3x 2 ? 4x ? 4
令 g '( x) ? 0 解得 x1 ? ?2, x2 ?

2 3

x, g '( x), g ( x) 情况如下表:

x
g '( x)

(??, ?2)
+ 单调递增

?2
0 极大值 8

2 ( ?2, ) 3
- 单调递减

2 3
0 极小极

2 ( , ??) 3
+ 单调递增

g ( x)

?

40 27

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 由上表知,当 x ? ?2 时 g ( x) 取得极大值 g (?2) ? 8 ,当 x ?

2 2 40 时 g ( x) 取得极小值 g ( ) ? ? 3 3 27

第7页

数形结合可知,实数 k 的取值范围为 (?

40 ,8) 27

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

22. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 解: (I)设双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 a b

?a 2 ? b 2 ? 9, ? 由题设得 ? b · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 5 ? . ? 2 ?a
解得 ?

?a 2 ? 4, ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2 ? ?b ? 5.


所以双曲线 C 的方程为

x2 y 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? ? 1; · 4 5

(II)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,点 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) 的坐标满足方程组

① ? y ? kx ? m, x 2 (kx ? m) 2 ? 2 2 将①式代入②式,得 ? ?1, ?x y 4 5 ? 1. ② ? ? 5 ?4 ,
整理得 (5 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 20 ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
2 2 2

此方程有两个不等实根,于是 5 ? 4k 2 ? 0 , 且 ? ? (?8km) ? 4(5 ? 4k )(4m ? 20) ? 0 ,
2 2 2

整理得 m 2 ? 5 ? 4k 2 ? 0 .③

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 ( x0,y0 ) 满足:

x0 ?

x1 ? x2 4km 5m , y0 ? kx0 ? m ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 2

从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 y ?

5m 1? 4km ? · · · 1分 ?? ?x? ? · 2 5 ? 4k k? 5 ? 4k 2 ? ,

此直线与 x 轴, y 轴的交点坐标分别为 ?

9m ? ? 9km ? ? , , 0 ? , ? 0, 2 2 ? ? 5 ? 4k ? ? 5 ? 4k ?

由题设可得

(5 ? 4k 2 ) 2 1 9km 9m 81 2 ,整理得 , k ? 0 , 12 分 m ? ? ? k 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k 2 2

(5 ? 4k 2 ) 2 将上式代入③式得 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 ? 5 ? 4k 2 ? 0 , · k
第8页

整理得 (4k ? 5)(4k ? k ? 5) ? 0 , k ? 0 ,解得 0 ? k ?
2 2

5 5 或k ? , 2 4

所以 k 的取值范围是 ? ?∞, ?

? ?

5? ? 5 ? ? 5? ?5 ? · · · · · 14 分 ? , 0? ?? 0, ? ?? , ? ∞? . · ??? ? ? ? ? 4? ? 2 ? ? 2 ? ?4 ?

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