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(成才之路)2014-2015学年高二数学人教a版选修2-1课件2.3.2双曲线的简单几何性质



成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
圆锥曲线与方程

第二章 2.3 双曲线 双曲线的简单几何性质

第2课时

1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

自主预习学案

? 1.类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方 程,讨论它的几何性质. ? 2.能运用双曲线的性质解决一些简单的问 题.

? 重点:双曲线的几何性质. ? 难点:双曲线性质的应用,渐近线的理解.

? 双曲线的几何性质
温故知新 回顾复习椭圆的定义、标准方程和几何性质,回顾复习双 曲线的定义与标准方程. 思维导航 1.类比椭圆几何性质及其研究方法,结合图象,你能得到 x2 y2 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的哪些几何性质?

? 新知导学 ? 1.在双曲线方程中,以-x、-y代替x、y方 轴对称 程不变,因此双曲线是以 x轴、y轴为对称轴 中心对称 双曲线 的________ 图形;也是以原点为对称中心的 的中心 ___________图形,这个对称中心叫做 __________ _________.

顶点 , 2.双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的_____
x2 y2 (±a,0) ,这两个顶点之 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的顶点是________

2a 同时在另一 实轴 ,它的长等于_____. 间的线段叫做双曲线的_______
条对称轴上作点 B1(0,-b),B2(0,b),线段 B1B2 叫做双曲线

2b , 虚轴 , 实半轴长 的______ 它的长等于______ a、 b 分别是双曲线的__________ 虚半轴长 . 和__________
x2 y2 3. 设 P(x, y)是双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)上一点, 则 x≥a 或 x≤-a,y∈R.

? 思维导航 ? 2.椭圆中,椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁 平程度,在双曲线中,双曲线的“张口”大 小是图象的一个重要特征,怎样描述双曲线 的“张口”大小呢? ? 新知导学 离心率 (1,+∞) ? 4.双曲线的半焦距c与实半轴长a的比值e叫 大 做双曲线的__________,其取值范围是 __________ .e越大,双曲线的张口越 _______.

思维导航 x2 y2 3.在双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右支上位于第一象限的 b 部分上任取一点 P(x,y),计算 P 到直线 y=ax 的距离 d,利用 P 在双曲线上及 x≥a, y>0 消去 y 可得 d 关于 x 的函数 d=f(x), 研究函数 f(x)的单调性,你发现了什么?

新知导学 x2 y2 5 .双曲线 a2 - b2 = 1(a>0 , b>0) 位于第一象限部分上一点 b|x- x2-a2| b a2+b2 P(x,y)到直线 y=ax 的距离 d=____________ (用 x 表示),d 随

减小 . x 的增大而________
b 这表明,随着 x 的增大,点 P 到直线 y=ax 的距离越来越 x2 y2 b 小 ,称直线 y= x 为双曲线 2- 2=1 的一条__________ 渐近线 , ______ a a b 2 2 b x y y=-ax 也是双曲线 2 - 2 = 1 的一条 由对称性知,直线 __________ a b

渐近线 . __________

? 过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点 对角线 分别作对称轴的平行线,它们围成一个矩形, 其两条__________所在直线即为双曲线的渐 近线. 逐渐 ? “渐近”两字的含义:当双曲线的各支向外 延伸时,与这两条直线________接近,接近 的程度是无限的. ? 对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线的特有性 质,渐近线是刻画双曲线的一个重要概念, b x2 y 2 y=± x a 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为__________. 画双曲线时应先画出它的渐近线.

? 6.对比是数学研究的重要方法,双曲线的几 何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似 之处,要注意它们的区别与联系,不能混淆, 列表如下: x2 y2 x2 y2
方程 a2+b2=1(a>b>0) a2-b2=1(a>0,b>0)

图形

范围

|x|≤a,|y|≤b

|x|≥a,y∈R ______________

方程 对称性 顶点 轴长

x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) 对称轴:x 轴、y 轴 对称中心:原点

x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0) 对称轴:x 轴、y 轴 对称中心:原点 (-a,0)、(a,0) 实轴长 2a 虚轴长 2b c e>1 e=a,(_______)

(-a,0)、(a,0) (0,-b)、(0,b) 长轴长 2a,短轴长 2b c 离心率 e=a,(0<e<1) 渐近线 无

b y=± 有两条,其方程为________ ax

? 7.双曲线上两个重要的三角形 对称中心 ? (1)实轴端点、虚轴端点及 __________构成 一个直角三角形,边长满足c2=a2+b2,称 为双曲线的特征三角形. ? (2) 焦点F、过F作渐近线的垂线, b c,|FD|= 垂足为D,则|OF|= ____,|OD|=a,△OFD亦是 直角三角形,满足|OF|2= |FD|2+|OD|2,也称为双曲线 相等 的特征三角形. 2 垂直 ? (3)实轴长与虚轴长_______的双曲线叫做等 轴双曲线,其离心率为________,其两条渐 近线互相________.

牛刀小试 x2 y2 1. (2014· 广饶一中期末)双曲线16- 9 =1 的离心率为( 5 A.3 3 C.5 5 B.4 4 D.5 )

? [答案] B
[解析] ∵a2=16,b2=9,∴c2=a2+b2=25, c 5 ∴a=4,c=5,∴e=a=4.

x2 y2 2.设双曲线a2- 9 =1(a>0)的渐近线方程为 3x± 2y=0,则 a 的值为( A.4 C.2 ) B.3 D.1

? [答案] C
[解析] ∵双曲线的焦点在 x 轴上, 3 ∴渐近线方程为 y=± ax, 3 又已知渐近线方程为 3x± 2y=0,即 y=± 2x,∴a=2.

3.(2013· 广东理,7)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点 3 为 F(3,0),离心率等于2,则 C 的方程是( x2 y2 A. 4 - =1 5 x2 y2 C. 2 - 5 =1 x2 y2 B. 4 - 5 =1 x2 y2 D. 2 - =1 5 )

? [答案] B
3 [解析] e=2,c=3,∴a=2,∴b2=c2-a2=5, x2 y2 即双曲线的标准方程为 4 - 5 =1.

x2 y2 4.(2014· 韶关市曲江一中月考)已知双曲线a2- 5 =1 的右 焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( 3 14 A. 14 3 C.2 3 2 B. 4 4 D.3 )

? [答案] C
[解析] 由条件知,a2+5=9,∴a2=4, c 3 ∴e=a=2.

y2 x2 5 . 若 双 曲 线 16 - m = 1 的 离 心 率 e = 2 , 则 m = ________________.

[答案] 48
[解析] ∵a2=16,b2=m,∴a=4,b= m,c2=16+m, 16+m c ∴e=a= 4 =2,解得 m=48.

x2 y2 6.过双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x2 +y2=a2 的两条切线,切点分别为 A、B,若∠AOB=120° (O 是 坐标原点),则双曲线 C 的离心率为________.

? [答案] 2
[解析] 考查双曲线与圆的方程、双 曲线的几何性质. 如图,由题设条件知 |OA| = a , |OF| =c,∠AOF=60° , c ∴e=a=2.

典例探究学案

? 已知双曲线的方程,研究其几 何性质
求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、焦点坐 标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.

? [分析] 将双曲线方程化成标准方程,求出a、 b、c的值,然后依据各几何量的定义作答.

2 2 x y [解析] 将 9y2-4x2=-36 变形为 9 - 4 =1,

x2 y2 即32-22=1,∴a=3,b=2,c= 13, 因此顶点为 A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为 F1(- 13,0),F2( 13,0), 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4, 13 c 离心率 e=a= 3 , 2 b 渐近线方程 y=± ax=± 3x.

? 作草图如图:

? [方法规律总结] 1.已知双曲线方程讨论其 几何性质,应先将方程化为标准形式,找出 对应的a,b,利用c2=a2+b2求出c,再按 定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、 离心率、渐近线方程. ? 画双曲线图形,要先画双曲线的两条渐近线 (即以2a、2b为两邻边的矩形对角线)和两个 顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画 出双曲线的草图.

x 2 y2 求双曲线 3 - 4 =1 的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐 标.

[解析] 由题意知 a2=3,b2=4, 所以 c2=a2+b2=3+4=7,解得 a= 3,b=2,c= 7. 因此,双曲线的实轴长 2a=2 3,虚轴长 2b=4. 顶点坐标为(- 3,0),( 3,0), 焦点坐标为(- 7,0),( 7,0).

? 由双曲线的性质求双曲线的方 程
(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上,实轴长与虚轴 长之比为 ,且经过点 P( 6,2),求双曲线方程; 5 (2)已知双曲线的焦点在 x 轴上, 离心率为3, 且经过点 M(- 3,2 3),求双曲线方程; (3)若双曲线的渐近线方程为 2x± 3y=0, 且两顶点间的距离 是 6,求双曲线方程.

[解析]

y2 x2 (1)设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0).由题意

4 6 a 2 知b=3.又∵双曲线过点 P( 6,2),∴a2-b2=1, ?a 2 ?b=3, 依题意可得? ? 42- 62=1, ?a b 4 ? 2 ?a = , 3 解得? 2 ? ?b =3.

3 2 1 2 故所求双曲线方程为4y -3x =1.

x2 y 2 (2)设所求双曲线方程为 a2-b2=1(a>0,b>0).
2 2 2 a + b 5 c b 25 2 ∵e=3,∴e =a2= a2 =1+a2= 9 , 2

b 4 ∴a=3. ?b 4 ?a=3, 由题意得? ? 92-12 2 =1 , ?a b 9 ? ?a2= , 4 解得? 2 ? ?b =4.

x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 9 - 4 =1. 4

2 2 x y (3)设双曲线方程为 4x2-9y2=λ(λ≠0),即 λ - λ =1(λ≠0), 4 9

由题意得 a=3. x2 y2 λ 当 λ>0 时,4=9,λ=36,双曲线方程为 9 - 4 =1; -λ y2 4x2 当 λ<0 时, 9 =9,λ=-81,双曲线方程为 9 - 81 =1. x2 y2 y2 4x2 故所求双曲线方程为 9 - 4 =1 或 9 - 81 =1.

? [方法规律总结] 1.由双曲线的几何性质求 双曲线的标准方程,一般用待定系数法,同 样需要经历“定位→定式→定量”三个步 骤.当双曲线的焦点不明确时,方程可能有 两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免 讨论,也可设双曲线方程为mx2-ny2= 1(mn>0),从而直接求得.

2. 根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程. 渐近线为 x2 y2 n y=mx 的双曲线方程可设为:m2-n2=λ(λ≠0);如果两条渐近 线的方程为 Ax± By=0,那么双曲线的方程可设为 A2x2-B2y2= x2 y 2 x2 m(m≠0);与双曲线a2-b2=1 共渐近线的双曲线方程可设为a2 y2 -b2=λ(λ≠0).

x 2 y2 与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双曲线 的标准方程为________.

x2 y2 [答案] 12- 8 =1

[解析]

x2 y 2 解法一:设双曲线方程为a2-b2=1(a>b,b>0),

由题意,易求 c=2 5. ?3 2?2 4 又双曲线过点(3 2,2),∴ a2 -b2=1. 又∵a2+b2=(2 5)2,∴a2=12,b2=8. x2 y2 故所求双曲线方程为12- 8 =1. x2 y2 解法二:设双曲线方程为 - =1,(-4<k<16), 16-k 4+k x2 y2 将点(3 2, 2)代入得 k=4, 故所求双曲线方程为12- 8 =1.

? 双曲线的离心率
x2 y2 已知 F1、F2 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两 个焦点, PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦. 如果∠PF2Q =90° ,求双曲线的离心率.

[解析] 设 F1(c,0),由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90° , 知|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|=2 2c. 由双曲线的定义得 2 2c-2c=2a. 2 c ∴e=a= =1+ 2. 2 2-2 所以所求双曲线的离心率为 1+ 2.

[方法规律总结] 1.求双曲线的离心率,常常利用已知条 件列出关于 a、 b、 c 的等式, 利用 a2+b2=c2 消去 b 化为关于 a、 c c 的齐次式,再利用 e=a化为 e 的方程求解,若是求 e 的取值 范围,则要结合已知条件建立关于 a、c 的不等式,要特别注意 e 的限制条件.

2.学习双曲线中应注意的几个问题: (1)双曲线是两支曲线,而椭圆是一条封闭的曲线; (2)双曲线只有两个顶点,离心率 e>1; (3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线,其离心率为 2, 实轴长与虚轴长相等,两条渐近线互相垂直; (4)注意双曲线中 a、b、c、e 的等量关系与椭圆中 a、b、c、 e 的不同.

x2 y2 (2014· 山师大附中高二期中)已知双曲线 C: a2-b2=1(a>0, 5 b>0)的离心率为 2 ,则 C 的渐近线方程为( 1 A.y=± 4x 1 C.y=± 2x 1 B.y=± 3x D.y=± x )

? [答案] C

5 c2 5 c [解析] e=a= 2 ,∴a2=4,
2 5 a ∴b2=c2-a2=4a2-a2= 4 ,

1 b 1 ∴a=2,即渐近线方程为 y=± 2x.

? 最值问题
设双曲线中心是坐标原点, 实轴在 y 轴上, 离心 5 率为 2 ,已知点 P(0,5)到这双曲线上的点的最近距离是 2,求 双曲线方程.

[解题思路探究]

第一步,审题.由双曲线中心在原点,

y2 x2 实轴在 y 轴上可设双曲线方程为a2-b2=1,求双曲线方程即求 待定系数 a、b 的值,由离心率可知 a、c 的关系,从而可得 a、 b 的关系, 从而双曲线方程中只含有一个待定系数 b, 设双曲线 上任一点 Q(x,y),由两点间的距离公式可将距离|PQ|表达为 b 的函数,再由|PQ|min=2,可求出 b. 第二步,确定解题步骤. 先求 a、b 的关系,再求|PQ|,然后求|PQ|的最小值,最后 列关于 b 的方程解方程求 b. 第三步,规范解答.

[解析]

y2 x2 设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),因为离心

5 y2 2 c 率 e=a= 2 ,所以 a=2b,所以所求双曲线方程为 4 -x =b2. 设 Q(x,y)为双曲线上一点,依题意 |PQ|= x +?y-5? =
2 2

5 2 2 ? y - 4 ? + 5 - b , 4

其中 y≥2b,若 2b≤4,当 y=4 时,|PQ|最小=2. 从而,5-b2=4,即 b2=1, y2 2 双曲线方程为 4 -x =1.

5 若 2b>4,当 y=2b 时,|PQ|最小=2,从而4(2b-4)2+5-b2 7 3 =4,所以 b=2或 b=2(与 b>2 矛盾). y2 4x2 所以双曲线方程为49- 49 =1. y2 2 y2 4x2 故所求双曲线方程为 4 -x =1 或49- 49 =1.

x2 y2 点 A、B 分别是椭圆36+20=1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点. 点 P 在椭圆上, 且位于 x 轴的上方, PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的点,M 到直线 AP 的距离等于 |MB|,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.

[解析] 为(x,y),

(1)由已知可得点 A(-6,0)、F(4,0),设点 P 的坐标

→ → 则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y), x2 y2 ? ? + =1, 由已知得?36 20 2 ? ??x+6??x-4?+y =0. 3 消去 y 得,2x +9x-18=0,∴x=2或 x=-6.
2

3 5 3 由于 y>0,只能 x=2,于是 y= 2 . ∴点 P
?3 5 3? ? 的坐标是? , ?2 ?. 2 ? ?

(2)直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0, 设点 M 的坐标为(m,0), |m+6| |m+6| 则 M 到直线 AP 的距离是 2 ,于是 2 =|m-6|,又- 6≤m≤6,解得 m=2. 设椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离为 d, 4? 9?2 ∴d =(x-2) +y =9?x-2? +15, ? ?
2 2 2

9 ∵-6≤x≤6,∴当 x=2时,d 取最小值 15.

准确把握题意 已知⊙C1 :(x +3)2 +y2 =1,⊙C2 :(x -3)2+y2 =9, ⊙P 与⊙C1、 ⊙C2 都相外切, 求⊙P 的圆心 P 的轨迹方程.
[错解] 由题设条件知,||PC2|-|PC1||=2,∴P 点在以 C1、 C2 为焦点的双曲线上,∴c=3,又 2a=2,∴a=1,∴b2=c2
2 y -a2=8,∴所求轨迹方程为 x2- 8 =1.

? ? ? ? ?

[辨析] ∵⊙P与⊙C1,⊙C2都相外切, ∴|PC1|=R+1,|PC2|=R+3, ∴|PC2|-|PC1|=2,|PC1|-|PC2|≠2, 故所求轨迹应为双曲线的一支, 即靠近点C1的一支(左支).

[正解] ∵⊙P 与⊙C1 与⊙C2 都相外切, ∴|PC2|-|PC1|=2<|C1C2|, ∴P 点在以 C1、C2 为焦点的双曲线靠近 C1 的那一支上, ∵2a=2,∴a=1, 又 c=3,∴b2=c2-a2=8,
2 y ∴所求轨迹方程为 x2- 8 =1(x≤-1).

x 2 y2 设双曲线a2-b2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0)、 3 (0,b)两点,且原点到直线 l 的距离为 4 c,则双曲线的离心率 为________.

? [答案] 2
[分析] 由截距式得直线 l 的方程,再由双曲线中 a、b、c c 的关系及原点到直线 l 的距离建立等式,从而解出a的值.

[解析] ab=0.

由 l 过两点(a,0),(0,b),得 l 的方程为 bx+ay-

3 3 ab 由原点到 l 的距离为 4 c 得, 2 2 = 4 c. a +b 将 b= c2-a2代入平方后整理得, a2 2 a2 16( c2) -16· c2 +3=0.

a2 a2 3 1 解关于c2的一元二次方程得 c2=4或4. 2 3 c ∵e=a,∴e= 3 或 e=2. a2+b2 c 因 0<a<b,故 e=a= a = b2 1+a2> 2,

2 3 所以应舍去 e= 3 ,故所求离心率 e=2.

2 3 [点评] 此题易得出错误答案:e=2 或 e= 3 . 其原因是未注意到题设条件 0<a<b,从而离心率 e> 2.而 2 3 3 < 2,故应舍去.

巩固提高学案
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