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数列求和的基本方法和技巧[1]



数列求和的基本方法与技巧
一、利用常用求和公式求和: 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 1、等差数列求和公式: S n ? 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n a ? a q 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) n ? 1 (q

? 1) ? 1? q ? 1? q
n 1 3、 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1 n 1 5、 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1 n 1 4、 S n ? ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 k ?1

[例 1] 已知 log3 x ?

?1 ,求 x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3 ?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

解:由 log3 x ?

由等比数列求和公式得

Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n
n

(利用常用公式)

1 1 (1 ? n ) x (1 ? x ) 2 =1- 1 = =2 1 2n 1? x 1? 2
[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ? 解:由等差数列求和公式得 S n ? ∴ f ( n) ?
Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

1 1 n(n ? 1) , S n ? (n ? 1)( n ? 2) 2 2

(利用常用公式)

n Sn = 2 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 n ? 64



1 n ? 34 ? 64 n


( n?

1 8 n

?

) 2 ? 50

1 50

∴ 当

n?

1 8 ,即 n=8 时, f (n) max ? 50 8

1

1

二、错位相减法求和: 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求各项 是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列{an·bn}的前 n 项和,其中 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列。 例 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3 22n?1 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn 。 解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,

an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ? 3(22n?1 ? 22n?3 ? ? 2) ? 2

? (a2 ? a1 )] ? a1

? 22( n ?1) ?1 。 而 a1 ? 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 。

(Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ?
从而

? n ? 22n?1



3 5 7 22 ? Sn ? 1 ? 2 ? ?2 2 ? ? 3? 2 ? n?

n?2

2 1②

①-②得

(1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ?

1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9

? 22n?1 ? n ? 22n?1



[例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① 解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x n ?1 }的通项之积 设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ………………………. ② (设制错位) ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?
1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x

(错位相减)



(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) Sn ? (1 ? x) 2

2

2

2 4 6 2n [例 4] 求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和。 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② (设制错位) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 (错位相减) 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 S n ? 4 ? n ?1 ∴ 2

三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) , 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) 。
0 1 2 n [例 5] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n 0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn ………………………….. ① ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn

把①式右边倒转过来得
n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn m n ?m 又由 Cn 可得 ? Cn 0 1 n?1 n …………..…….. ② S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

(反序)

①+②得 ∴

0 1 n?1 n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

(反序相加)

S n ? (n ? 1) ? 2 n

[例 6] 求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值 解:设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? …………. ① 将①式右边反序得
2 ? 2 ? 2 ? S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? s i n 3 ?s i n 2 ?s i n 1 …………..②

(反序)

又因为 sin x ? cos(90? ? x),sin 2 x ? cos2 x ? 1 ①+②得

(反序相加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89
∴ S=44.5
3 3

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几 个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。形如:
??a n ?是等差数列; ① ?an ? bn ?,其中 ? ??bn ?是等比数列;
? f ?n ?, n ? 2k ? 1, ② an ? ? ? ? g ?n ?, n ? 2k , k ? N

例 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 3n ? 1, 求数列 ?an ? 的前 n 项和. 解: S n ? a1 ? a2 ? ?an ? 21 ? 2 ? 22 ? 5 ? ? 2n ? 3n ? 1

?

? ?

?

?

?

2 1 ? 2n n?2 ? ?3n ? 1?? ? = 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ?2 ? 5 ? ??3n ? 1??. = 1? 2 2

?

1

2

n

?

?

?

= 2 n ?1 ?

3 2 1 n ? n ? 2. 2 2

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a 将其每一项拆开再重新组合得 1 1 1 S n ? (1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a [例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和。

[例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

(分组) (分组求和)

解:设 ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k ∴
S n ? ? k (k ? 1)(2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1 n n

将其每一项拆开再重新组合得 Sn= 2? k 3 ? 3? k 2 ? ? k = 2(13 ? 23 ? ? ? ? ? n3 ) ? 3(12 ? 22 ? ? ? ? ? n2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n)
k ?1 k ?1 k ?1 n n n

(分组)



n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? ? 2 2 2

(分组求和)

n(n ? 1) 2 (n ? 2) = 2

4

4

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项) 分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的。 把数列的通项分成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从
? c ? 而求 ? (其中 ?an ? 是各项不为 0 的等差数列,c 为常数) 的数列, ? 得其和.适用于类似 ? an an ?1 ? 以 及 部分无理数列和含阶乘的数列等.用裂项法求和, 需要掌握一些常见的裂项方

法。通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (3) a n ?
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)
(4) an ?

1 1?1 1 ? ? ? ? ?; n?n ? k ? k ? n n ? k ?

1 1 ? (5) an ? n?k ? n k

?

(2n) 2 1 1 1 n ? k ? n . (6) an ? ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

?

(7) an ? (8) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

例 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=
1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有
? a1 ? 2d ? 7 n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 ,所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ ? 2 ? 2a1 ? 10d ? 26

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=
1 1 1 1 所以 Tn = ? (1- + ? + 4 2 2 3

1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

1 1 1 1 n + ) = ? (1)= , n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

5

5

[例 9] 求数列

1 1? 2

, 1

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和。

解:设 a n ?

n ? n ?1 1 ?

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1

(裂项)

则 Sn ?

1 2? 3

1? 2

? ??? ?

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 [例 10] 在数列{an}中, an ? 和. 解:
1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2 ∴ 数列{bn}的前 n 项和 1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 1 8n ) = = 8(1 ? n ?1 n ?1 1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

∵ an ?

(裂项)

(裂项求和)

[例 11] 求证: 解:设 S ? ∵ ∴S ?

1 1 1 cos1? ? ? ? ? ? ? ? cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?
1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? cos n? cos(n ? 1)?
?

(裂项)

1 1 1 ? ? ??? ? (裂项求和) ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ? 1 {(tan 1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan 1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} = ? sin 1

1 1 cos1? ? ? ? (tan 89 ? tan 0 ) = ? cot 1 = 2 ? = sin 1? sin 1? sin 1



原等式成立

6

6

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的 和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值. 解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179° ∵ cosn? ? ? cos(180? ? n? )

(找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+· · · +(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和) = 0 [例 13] 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002. 解:设 S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002 由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an 可得

a4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2, a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2,
……

a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 ∴ S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002

(找特殊性质项) (合并求和)

= (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6k ?1 ? a6k ?2 ? ? ? ? ? a6k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002
= a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002 = a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 =5 [例 14] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值. 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq 和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N
7

(找特殊性质项)


7

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10 七、利用数列的通项求和

(合并求和)

先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. [例 15] 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

解:由于 111 ?? ?1 ? ?? ?
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1
n个1

(找通项及特征)

∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 ? ?
1 1 1 1 = (101 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9

(分组求和)

1 1 = (101 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ? 1? ?1 ?? ??? ? 1) ? ? ? 9 9 ?? n个1
1 10(10n ? 1) n ? = ? 9 10 ? 1 9



1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) 81
? 8 , 求? (n ? 1)(an ? an?1 ) 的值. (n ? 1)(n ? 3) n ?1

[例 16] 已知数列{an}: an ?

解:∵ (n ? 1)(a n ? a n ?1 ) ? 8(n ? 1)[

1 1 ? ] (n ? 1)(n ? 3) (n ? 2)(n ? 4)

(找通项及特征)

= 8 ?[

1 1 ? ] (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4)

(设制分组) (裂项)

=4?( ∴

1 1 1 1 ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4

? (n ? 1)(a
n ?1

?

n

? an?1 ) ? 4? (
n ?1

?

? 1 1 1 1 ? ) ? 8? ( ? ) n?2 n?4 n?4 n ?1 n ? 3

(分组、裂项求和)

1 1 1 =4?( ? ) ? 8? 3 4 4 13 = 3
8 8



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