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3.1.1数系的扩充和复数的概念上课用


计数的需要

自然数(正整数与零) 整数 有理数

解方程x+3=1

解方程3 x=5
解方程x2=2

R

Q

Z

N

实数

可以发现数系的每一次扩充,解决了在原有数集中某种运算不 能实施的矛盾,且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留

2=-1 解方程x
发现此方程在实数范围类无解,说明现有的数集不能满足 我们的需求,那么我们必须把数集进一步扩充

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问题解决:
为了解决负数开平方问题,数学家大胆引入一个
新数 i ,把 i 叫做虚数单位,并且规定: (1) i 2??1 ; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.

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知新

复数的概念

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 通常用字
母z表示. 全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示. 复数的代数形式

z ? a ? bi
实 部 虚 部

( a ? R, b ? R )
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阅读:复数系是怎样建立的?
1545年意大利有名的数学 “怪杰” 卡丹 第一次开 始 讨论负数开平方的问题,当时复数被他称作“诡辩 量”. 几乎过了100年,笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一 个 名字——虚数.但是又过了140年,欧拉还是说这种数

只是存在于“幻想之中”,并用i(imaginary,即虚幻 的 缩写)来表示它的单位.后来德国数学家高斯给出了复
数的定义,并把复数与直角坐标平面内的点一一对应起 来.1837年,爱尔兰数学家哈密顿用有序实数对(a,b) 定义了复数及其运算,并说明复数的加、乘运算满足 实数的运算律.这样历经300年的努力,数系从实数系向

复数系的扩充才得以大功告成.
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讨 论

复数z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)能否表示实数? 实数 (b ? 0)
复数z=a+bi
(a ∈ R、b ∈ R)

虚数 (b ? 0) 纯虚数(a=0且b≠0)) (

判 断 1、若a=0,则z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数.(假)
2、若z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数,则a=0. (真) 故a=0是z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数的

必要不充分

条件.
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复数集与实数集、虚数集、纯虚数集

之间有什么关系?

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复数的分类

?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0,b ? 0) 1、复数z=a+bi ? ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ?

2. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集C

纯虚数集

实数集R
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想一想

如果两个复数相等,那么它们应满

足什么条件呢?

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复数相等

知新

▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那

么我们就说这两个复数相等.即

a ? bi ? c ? di
(a, b, c, d ? R)
思考

?a ? c ?? ?b ? d

?a ? 0 若a ? bi ? 0(a、b ? R) ?? ?b ? 0
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说一说

1.若2-3i=a-3i,求实数a的值; 2.若8+5i=8+bi,求实数b的值; 3.若4+bi=a-2i,求实数a,b的值。

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例 1:
完成下列表格(分类一栏填实数、虚数或

纯虚数)

2-3i
实部 虚部

0
0

2
-3

1 4 ? ? i 2 3 1 ? 2

6i
0
6
纯虚 数

i

2

-1

0

4 3

0
实数

分类

虚数 实数

虚数

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例 2:
实数m取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

解:(1)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时,复数z 是实数. (2)当 m ? 1 ? 0 ,即m

? 1 时,复数z 是虚数.

(3)当 m ? 1 ? 0 ,且 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 10 10? 0 m ? 1 m ? 时,复 ? ? 数 z 是纯虚数.
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练习1:当m为何实数时,复数

是 (1)实数

(2)虚数

(3)纯虚数

m ? 1或m ? ?1
m ? 1且m ? ?1
m ? ?2
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例 3:
已知 ( x ? y) ? 其中 x,

? x ? 2 y ? i ? (2x ? 5) ? (3x ? y)i
求 x与 y .



y ? R,

解:根据复数相等的定义,得方程组
?x ? y ? 2x ? 5 ? ? x ? 2 y ? 3x ? y



?x ? 3 ? ? y ? ?2

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当堂练习

1.a=0是复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数的 ( ) A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 非必要非充分条件 2.以3i-2的虚部为实部,以3i2+3i的实部为虚部 的复数是 ( ) A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i 3.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的 值为 。 4.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的 值为 。

课堂小结

虚数的引入 复 数 z = a + bi (a,b∈R)

复数的分类
当b=0时z为实数; 当b?0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).

复数的相等
a+bi=c+di (a, b,c,d?R)
a=c b=d

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m ? ?2 2

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