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2016-2017学年高中数学 第一章 空间几何体 1.1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征课件



第一章
空间几何体

1.1 空间几何体的结构

1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

第1课时

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

要点整合夯基础 典例讲练破题型

课堂达标练经典 课时作业

[目标] 1.记住棱柱、 棱锥

、 棱台的定义及结构特征; 2. 理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系; 3.能用棱柱、棱锥、

棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题. [重点] 棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征. [难点] 棱柱、棱锥、棱台之间关系的理解.

空间几何体

[填一填] 1.空间几何体的定义 空间中的物体都占据着空间的一部分,如果只考虑 这些物体的
形状和大小

,而不考虑其他因素,那么

由这些物体抽象出来的 空间图形 就叫做空间几何体.

2.空间几何体的分类 (1)多面体:由若干个 平面多边形 围成的几何体叫做 多面体.围成多面体的各个 多边形 叫做多面体的面;相邻 两个面的公共边 叫做多面体的棱;棱与棱的 公共点 叫做多 面体的顶点. (2)旋转体:由一个平面图形绕它所在平面内的一条

定直线 旋转所形成的 封闭几何体叫做旋转体,这条 定直线 叫做旋转体的轴.

[答一答] 1.多面体与旋转体的主要区别是什么? 提示:多面体是由多个多边形围成的几何体,旋转体 是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体. 2.多面体最少有几个面,几个顶点,几条棱? 提示:多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱.

棱柱的结构特征
[填一填]

有两个面互相 平行 ,其余各面都是 四边形 ,并且 每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面所围 成的多面体叫做棱柱.棱柱中,两个互相平行的面叫做 棱柱的 底面 ,简称 底 ;其余各面叫做棱柱的 侧面 ; 相邻侧面的公共边叫做棱柱的 侧棱 ;侧面与底面的公 共顶点叫做棱柱的 顶点.

[答一答] 3.棱柱的各侧棱是什么关系?各侧面是什么样的多边 形?两个底面的关系是怎样的? 提示:根据棱柱的定义,棱柱的各侧棱互相平行,侧 面是平行四边形,两个底面是全等的多边形.

4.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几 何体一定是棱柱吗? 提示:不一定,因为“其余各面都是平行四边形”并 不等价于“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”,如 右图所示.

棱锥的结构特征

[填一填] 有一个面是 多边形 ,其余各面都是有一个公共顶点 的 三角形 ,由这些面围成的多面体叫做棱锥.这个多 边形面叫做棱锥的 底面 或 底 ;有公共顶点的各个三角 形面叫做棱锥的 侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的
顶点 ;相邻侧面的公共边叫做棱锥的 侧棱.

[答一答] 5.棱锥的侧面是什么样的多边形?有什么特征? 提示:根据棱锥的定义,棱锥的侧面一定是三角形,且各 个三角形有公共顶点.

6.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体一 定是棱锥吗? 提示:不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于 “其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如下图所示.

棱台的结构特征

[填一填] 用一个
平行于棱锥底面

的平面去截棱锥,截面

和底面间的部分叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫 做棱台的 下底面 和 上底面.

[答一答] 7.棱台的各侧棱是什么关系?各侧面是什么样的多边 形?两个底面是什么关系? 提示:棱台的各侧棱延长后交于一点,各侧面是梯 形,两个底面是相似的多边形.

棱柱的结构特征

[例1]

下列关于棱柱的说法:

(1)所有的面都是平行四边形; (2)每一个面都不会是三角形; (3)两底面平行,并且各侧棱也平行; (4)被平面截成的两部分可以都是棱柱. 其中正确的序号是________.

[解析]

(1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;(2)

错误,棱柱的底面可以是三角形;(3)正确,由棱柱的定义 易知;(4)正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱 柱,所以说法正确的序号是(3)(4).
[答案] (3)(4)

棱柱的结构特征:?1?两个面互相平行;?2?其余各面是四 边形;?3?相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时,首先看 是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足其他特征.

[变式训练1]

如图所示为长方体ABCD-A′B′C′D′,当用平面 BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形成的多面体还是 棱柱吗?如果不是,请说明理由;如果是,指出底面及侧棱.

解:截面BCFE右侧部分是棱柱,因为它满足棱柱的定 义. 它是三棱柱BEB′—CFC′, 其中△BEB′和△CFC′是底面. EF,B′C′,BC是侧棱,截面BCFE左侧部分也是棱 柱. 它是四棱柱ABEA′—DCFD′. 其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面. A′D′,EF,BC,AD为侧棱.

棱锥、棱台的结构特征

[例2]

下列关于棱锥、棱台的说法:

(1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成 的几何体叫棱台; (2)棱台的侧面一定不会是平行四边形; (3)棱锥的侧面只能是三角形;

(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥; (5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥,其中正 确说法的序号是________.

[解析]

(1)错误,若平面不与棱锥底面平

行,用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间 的部分不是棱台;(2)正确,棱台的侧面一定是 梯形,而不是平行四边形;(3)正确,由棱锥的 定义知棱锥的侧面只能是三角形;(4)正确,由四个面围成 的封闭图形只能是三棱锥;(5)错误,如图所示四棱锥被平 面截成的两部分都是棱锥.
[答案] (2)(3)(4)

判断棱锥、棱台形状的两个方法 (1)举反例法: 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结 构特征的某些说法不正确.

(2)直接法: 棱锥 定底面 看侧棱 只有一个面是多边 形,此面即为底面 相交于一点 棱台 两个互相平行的 面,即为底面 延长后相交于一点

[变式训练2]

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1B1与 A1C1的中点,试判断几何体A1EF-ABC是什么几何体,并指 出它的底面与侧面.

解:∵E,F分别是A1B1,A1C1的中点,且A1B1=AB, A1E A1F EF 1 A1C1=AC,B1C1=BC,∴ AB = AC =BC=2. ∴△A1EF∽△ABC,且AA1,BE,CF延长后交于一点. 又平面A1B1C1平行于平面ABC, ∴几何体A1EF-ABC是三棱台. 其中△ABC是下底面,△A1EF是上底面,四边形 ABEA1,四边形BCFE,四边形ACFA1是侧面.

空间几何体的展开图问题

[例3] 么几何体?

如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什

[解]

由几何体的侧面展开图的特点,结合棱柱、棱锥、

棱台的定义,可把侧面展开图还原为原几何体,如图所示:

所以①为五棱柱,②为五棱锥,③为三棱台.

?1?解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能 力和动手能力. ?2?若给出多面体画其展开图时,常常给多面体的顶点标上 字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面. ?3?若是给出表面展开图,则可把上述程序逆推.

[变式训练3] 某城市中心广场主题建筑为一三棱锥,且所 有边长均为10 点. m,如图所示,其中E,F分别为AD,BC的中

(1)画出该几何体的表面展开图,并注明字母; (2)为迎接国庆,城管部门拟对该建筑实施亮化工程,现预 备从底边BC中点F处分别过AC,AB上某点向AD中点E处架设 LED灯管,所用灯管长度最短为多少?

解:(1)该几何体的表面展开图为

(2)由该几何体的展开图知,四边形ACBD为菱形,四边形 ABCD为菱形.若使由F向E所架设灯管长度最短,可由其展开 图中连接线段EF.这两条线段均为10,故所用灯管最短为20 m.

温 馨 提 示

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柱、锥、台结构特征判断中的误区 [开讲啦] (1)解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一

点,直观感觉是棱台,而不注意逻辑推理. (2)解答空间几何体概念的判断题时,要注意紧扣定义, 切忌只凭图形主观臆断.

[典例]

如图所示,几何体的正确说法的序号为____.

(1)这是一个六面体;(2)这是一个四棱台;(3)这是一个四 棱柱;(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到;(5)此几 何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.

[解析]

(1)正确,因为有六个面,属于六面体的范围;(2)

错误,因为侧棱的延长线不能交于一点,所以不正确;(3)正 确,如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱;(4)(5)都正 确,如图所示.

[答案]

(1)(3)(4)(5)

[对应训练]

如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个 小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( A.棱柱 C.棱柱与棱锥的组合体
解析:符合棱柱的定义. 答案:A

)

B.棱台 D.不能确定



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