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19.导数的应用(2)


第十一节 导数的应用(2) 9 月 13 号 第三周 星期一 一课时 高三<3>、<4>班

一.复习目标: 1.了解可导函数的单调性与其导数的关系; 2.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异 号) ,会求一些实际问题的最大值和最小值. 重难点:利用导数解决一些求实际问题的最值问题 一、利用导数研究函数的单调性 若函数 f ? x ? 在某个区间内可导,则当 f ? ? x ? ? 0 时, f ? x ? 在此区间上为单调 增函数;而当 f ? ? x ? ? 0 时, f ? x ? 在此区间上为单调减函数。利用上述性质,可 以研究函数的单调性。 注意点: (1)同一函数的两个单调区间不能并起来 (2)求函数的单调区间,求导的方法不是唯一的方法,也不一定是最好的 方法,但它是一种一般性的方法。 二、利用导数求函数的最值 求闭区间 ? a, b ? 上的可导函数的最大(小)值的方法是:首先求出此函数在 开区间 ? a, b ? 内的驻点,然后计算函数在驻点与端点处的值,并将它们进行比较, 其中最大的一个即为最大值, 最小的一个即为最小值,这里无须对各驻点讨论其 是否为极大(小)值点。 一、范例分析 例 2.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c在x ? ?2 处取得极值,并且它 的图象与直线 y ? ?3x ? 3 在点(1,0)处相切,求 a、b、c 的值. 例 3.已知 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c 有极大值 f (? ) 和极小值 f ( ? ) . (1)求 f (? ) + f ( ? ) 的值; (2)设曲线 y ? f (x) 的极值点为 A、B,求证:线段 AB 的中点在 y ? f (x) 上. 例 4.设函数 f ( x) ? kx3 ? 3(k ? 1) x 2 ? k 2 ? 1 的驻点是 0 和 4. (1)求常数 k 的值; (2)确定函数 f (x) 的单调区间;

(3)求 f (x) 的极值。

例 5.求证: e x ? x ? 1 。 例 6.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 6ax 2 ? b, 问是否存在实数 a、b 使 f(x)在[-1,2]上 取得最大值 3,最小值-29,若存在,求出 a、b 的值.并指出函数的单调区 间 . 若不存在,请说明理由 . 例 7.(2003 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷、辽宁卷理 19)) 设 a ? 0 ,求函数 f ( x) ? x ? ln( x ? a)( x ? (0,??) 的单调区间.

例 8.从边长为 2a 的正方形铁片的四个角各截去一个边为 x 的正方形,再将四 边向上折起, 做成一个无盖的长方形铁盒,要求长方体的高度与底面边的比值不 超过常数 t(t>0) 。试问当 x 取何值时,容量 V 有最大值。

二、专题训练 1.下列函数中,在 x=0 处的导数不等于零的是( A. y ? x(1 ? x) C.y=ln(1-x2)



B. y ? x ? e ? x D. y ? x 2 ? e x )

2.关于函数 y ? ( x 2 ? 4) 3 ? 1 ,下列说法正确的是( (A)当 x ? -2 时, y 有极大值 1 (C)当 x ? 2 时, y 有极大值 1 (B) (D)

当 x ? 0 时, y 有极小值-63 函数的最大值为 1 )

3.设 y=8x2-lnx,则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为( A.单调递增,单调递减 B、单调递增,单调递增 C、单调递减,单调递增 D、单调递减,单调递减 4.函数 f ( x) ? ( x ? 2) 2 ( x ? 1) 3 的极大值点是 ( )

B.x=1 C.x=-1 2x 5.函数 y ? 在 1? x2 A. (-∞,+∞)内是增函数 B. (-∞,+∞)内是减函数 C. (-1,1)内是增函数,在其余区间内是减函数 D. (-1,1)内是减函数,在其余区间内是增函数

A.x=2

D.x=-2 ( )

6.已知 f ( x) ? ( x ? 1) n 且 f′(x)展成关于 x 的多项式,其中 x 2 的系数为 60,则 n=( ) A.7 C.5 D.4 1 3 7.已知函数 f ( x) ? x ? (4m ? 1) x 2 ? (15m 2 ? 2m ? 7) x ? 2 在(-∞,+∞)上是 3 增函数,则 m 的取值范围是 ( ) A.m<-4 或 m>-2 B.-4<m<-2 C.2<m<4 D.m<2 或 m>4 8.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则 a 的取值范围是 ( ) A. ? 1 ? a ? 2 B. ? 3 ? a ? 6 C. a ? ?3或a ? 6 D. a ? ?1或a ? 2 ( C. [?4,4) D. (-3,3) ) ) B.6

9.函数 f ( x) ? sin 3 x ? 3 cos x 的值域为 A.[-4,4] B.[-3,3]

10.若函数 f ( x) ? 4 x 3 ? bx 2 ? ax ? 5 当 x ? A.a=-18,b=-3 C.a=18,b=-3 11.已知函数 f ( x) ? B.a=-18,b=3 D.a=18,b=3

3 、x=-1 时有极值,则( 2

1 3 x ? (4m ? 1) x 2 ? (15m 2 ? 2m ? 7) x ? 2 在(-∞,+∞)上是 3 增函数,则 m 的取值范围是 ( ) A.m<-4 或 m>-2 B.-4<m<-2 C.2<m<4 D.m<2 或 m>4 1 12.函数 y=x+2cosx 在区间[0, ]上的最大值是 2

13.设函数 y ? a( x 3 ? x) 的递减区间为 (? 14. 已知函数 f(x)=x2(x-1),若

3 3 , ) ,则 a 的取值范围是 3 3

=x0,求 x0 的值.

15.设 x=-2 与 x=4 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点。 (1)求常数 a、b 的值;

(2)判断函数在 x=-2,x=4 处的值是函数的极大值还是极小值,并说明理由。 16. (本大题满分 12 分) 做一个圆柱形锅炉,容积为 V,两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元,侧面的材料每单位面积价格为 b 元,问锅炉的直每径与高的比为多少时,造 价最低? 课堂小节: 在理解可导函数的单调性与导数间的关系的基础上, 能够解决一些次数不超过三 次的简单函数的单调区间,极值和最值问题

课型 复习课 编 主备教师: 杨华高 教研组教师修改建议:

号 设计思考

上课教师:

杨华高

课后反思

利用导数求函数单调区间,极值和最值问题,理解后,多练!! !


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