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陕西省宝鸡市2015届高考数学一模试卷(理科)


陕西省宝鸡市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一.选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,每小题只有一个答案符合要求. ) 1.设集合 M={x|lnx>0},N={x|﹣3≤x≤3},则 M∩N=( ) A. (1,3] B. 2.若 z∈C,且(1+i)z=3+4i,则复数 z 的虚部是( A. B. C. i ) D. i

3.对任意实数 a、b、c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; 2 ②“b =ac”是“a,b,c 成等比数列”的充要条件; ③“a<5”是“a<3”的必要条件; ④“a>b”是“a >b ”的充分条件. 其中真命题的个数是( ) A.4 B.3
2 2

C.4 )

D.1

4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于(

A.
3.3

B.
3.3

C.

D.1

5.设 a=log37,b=2 ,c=0.8 ,则( A.b<a<c B.c<a<b

) C.c<b<a D.a<c<b )

6.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值等于(

A.1

B.

C.

D.

7.下列函数中,满足 f(xy)=f(x)+f(y)的单调递增函数是( A.f(x)=log2x B.f(x)=x
2

) D.f(x)= x

C.f(x)=2

x

8.某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加志愿者活动,若这 4 人中必须既有男生又有 女生,则不同的推选法共有( ) A.140 种 B.34 种 C.35 种 D.120 种 9.设 x 是三角形的最小内角,则函数 y=sinx+cosx 的值域是( A. (0, ] B.B C. (1, ] ) D. (1, ]

10.函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 的一个可能的值为( A. ) B. C.0

个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ

D.

11.已知抛物线 y =8x 的焦点与椭圆

2

+y =1 的一个焦点重合,则该椭圆的离心率为(

2

)

A.

B.
2

C.

D.

12.函数 g(x)=log2x,关于方程|g(x)| +m|g(x)|+2m+3=0 在(0,2)内有三个不同的实 数解,则实数 m 的取值范围是( ) A. (﹣∞,4﹣2 )∪(4+2 ,+∞) B. (4﹣2 ,4+2 ) C. (﹣ ,﹣ ) D. (﹣ ,﹣ )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若(ax ﹣ ) 的展开式中常项等于 84,则实数 a=__________(用数字作答) .
3 2 9

14.已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x +ax+b 切于点(1,3) ,则 a,b 的值分别为__________. 15.观察等式: ① ×1 + ×1 + ×1=1 , ② ×2 + ×2 + ×2=1 +2 , ③ ×3 + ×3 + ×3=1 +2 +3 ,… 以上等式都是成立的,照此写下去,第 2015 个成立的等式是__________.
3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2

16.若目标函数 z=kx+2y 在约束条件

下仅在点(1,1)处取得最小值,则实数 k

的取值范围是__________.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知等差数列{an}的公差不为零,a3=5,且 a1,a7,a5 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求 a1+a3+a5+…+a2n﹣1. 18.已知在多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE∥AB,AC=AD=CD=DE=2,F 为 CD 的 中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 CDE; (Ⅱ)求平面 ABC 和平面 CDE 所成的小于 90°的二面角的大小; (Ⅲ)求点 A 到平面 BCD 的距离的取值范围.

19.某校从 6 名学生会干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加市青年联合会志愿者. (Ⅰ)所选 3 人中女生人数为 ξ,求 ξ 的分别列及数学期望; (Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率. 20.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 过点(0,﹣1) , (3+ ,0) , (3﹣ ,0) (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在实数 a,使得圆 C 与直线 x+y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,若存在,求 出 a 的值,若不存在,请说明理由. 21.已知函数 f(x)=ax+lnx(a∈R) (1)求 f(x)的单调区间; 2 (2)设 g(x)=x ﹣2x+2,若对任意 x1∈(0,+∞) ,均存在 x2∈,使得 f(x1)<g(x2) ,求 实数 a 的取值范围.

四、请考在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-1: 几何证明选讲 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,圆 O 为△ ABC 的外接圆,且 AB=AC,过点 A 的直线交圆 O 于点 D,交 BC 的延长线 于点 F,DE 是 BD 的延长线,连接 CD. (Ⅰ)求证:∠EDF=∠CDF; 2 (Ⅱ)求证:AB =AF?AD.

四、请考在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-4: 坐标系与参数方程 23. (选做题) 在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ρsin

(θ+

)=

,圆 C 的参数方程为

, (θ 为参数,r>0)

(Ⅰ)求圆心 C 的极坐标; (Ⅱ)当 r 为何值时,圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3.

四、请考在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-5: 不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5| (Ⅰ)证明:﹣3≤f(x)≤3; 2 (Ⅱ)求不等式 f(x)≥x ﹣8x+15 的解集.

陕西省宝鸡市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一.选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,每小题只有一个答案符合要求. ) 1.设集合 M={x|lnx>0},N={x|﹣3≤x≤3},则 M∩N=( ) A. (1,3] B. 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:解对数不等式可化简 M,取交集可得. 解答: 解:∵M={x|lnx>0}={x|x>1} 又∵N={x|﹣3≤x≤3}, ∴M∩N={x|1<x≤3}=(1,3] 故选:A 点评:本题考查集合的交集,属基础题. 2.若 z∈C,且(1+i)z=3+4i,则复数 z 的虚部是( A. B. C. i ) D. i

考点:复数代数形式的乘除运算.

专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出. 解答: 解:∵(1+i)z=3+4i, ∴ = = ,

其虚部为 . 故选:B. 点评:本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题. 3.对任意实数 a、b、c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“b =ac”是“a,b,c 成等比数列”的充要条件; ③“a<5”是“a<3”的必要条件; 2 2 ④“a>b”是“a >b ”的充分条件. 其中真命题的个数是( ) A.4 B.3 C.4
2

D.1

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可. 解答: 解:①若 c=0 时,a=1,b=2. ,满足 ac=bc,但 a=b 不成立,则“a=b”是“ac=bc”的充 要条件错误; 2 ②若 a=b=v=c=0,满足 b =ac,但 a,b,c 成等比数列错误,故②错误; ③“a<5”是“a<3”的必要条件,正确; ④若 a=2,b=﹣2 满足 a>b,但“a >b ”不成立,故④错误. 故正确命题是③, 故选:D 点评:本题主要考查命题的真假判断,根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键. 4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( )
2 2

A.

B.

C.

D.1

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离.

分析: 由已知中的三视图可得, 该几何体为以俯视图为底面的三棱锥, 分别求出底面面积和高, 代入棱锥体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图可得,该几何体为以俯视图为底面的三棱锥, 底面面积 S= ×2×2=2, 高 h=2, 故棱锥的体积 V= Sh= , 故选:A 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的形状. 5.设 a=log37,b=2 ,c=0.8 ,则( A.b<a<c B.c<a<b
3.3 3.3

) C.c<b<a

D.a<c<b

考点:对数值大小的比较. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵1<a=log37<2,b=2 >2,c=0.8 <1. ∴c<a<b. 故选:B. 点评:本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 6.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值等于( )
3.3 3.3

A.1

B.

C.

D.

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 k=2016 时,满足条件 k>2015, 退出循环,输出 S 的值为 . 解答: 解:执行程序框图,有

S=1,k=1 不满足条件 k>2015,不满足条件 s<1,S= ,k=2 不满足条件 k>2015,满足条件 s<1,S= ,k=3 不满足条件 k>2015,满足条件 s<1,S= ,k=4 不满足条件 k>2015,满足条件 s<1,S=1,k=5 不满足条件 k>2015,不满足条件 s<1,S= ,k=6 … 观察规律可知,S 的取值以 4 为周期,由于 2014=503*4+2,故有: k=2014,不满足条件 k>2015,满足条件 s<1,S= ,k=2015 不满足条件 k>2015,不满足条件 s<1,S= ,k=2016 满足条件 k>2015,退出循环,输出 S 的值为 , 故选:C. 点评:本题主要考查了程序框图和算法,其中判断 S 的取值规律是解题的关键,属于基本知 识的考查. 7.下列函数中,满足 f(xy)=f(x)+f(y)的单调递增函数是( A.f(x)=log2x B.f(x)=x
2

) x

C.f(x)=2

x

D.f(x)=

考点:抽象函数及其应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据指数函数对数函数幂函数的图象和性质,判断函数的单调性,再利用对数和指数的 运算性质即可得到答案 解答: 解:根据对数函数的图象和性质,可知 A 为单调递增函数,D 为单调递减函数, 根据指数函数的图象和性质,可知 C 为单调递增函数, 2 根据幂函数的图象和性质,可知 B:f(x)=x (﹣∞,0)为单调减函数,在(0,+∞)为单 调递减函数, x y xy 因为 2 +2 ≠2 ,故不满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,f(x)+f(y)=log2x+log2y=f(x)=log2xy=f (xy) , 故选:A 点评:本题考查了指数函数对数函数幂函数的图象和性质,属于基础题. 8.某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加志愿者活动,若这 4 人中必须既有男生又有 女生,则不同的推选法共有( ) A.140 种 B.34 种 C.35 种 D.120 种 考点:计数原理的应用.

专题:应用题;排列组合. 分析:根据题意,选用排除法,分 3 步,①计算从 7 人中,任取 4 人参加志愿者活动选法, ②计算选出的全部为男生或女生的情况数目,③由事件间的关系,计算可得答案. 解答: 解:分 3 步来计算, 4 ①从 7 人中,任取 4 人参加志愿者活动,分析可得,这是组合问题,共 C7 =35 种情况; ②选出的 4 人都为男生时,有 1 种情况,因女生只有 3 人,故不会都是女生, ③根据排除法,可得符合题意的选法共 35﹣1=34 种; 故选:B 点评:本题考查计数原理的运用,注意对于本类题型,可以使用排除法,即当从正面来解所包 含的情况比较多时,则采取从反面来解,用所有的结果减去不合题意的结果. 9.设 x 是三角形的最小内角,则函数 y=sinx+cosx 的值域是( A. (0, ] B.B C. (1, ] ) ]

D. (1,

考点:两角和与差的正弦函数. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:由 x 为三角形中的最小内角,可得 0<x≤ 所求的 x 的范围可求 y 的范围. 解答: 解:因为 x 为三角形中的最小内角, 所以 0<x≤ y=sinx+cosx= ∴ sin(x+ )≤1 sin(x+ ) 而 y=sinx+cosx= sin(x+ ) ,结合已知

1<y≤ 故选:C 点评: 本题主要考查了辅助角公式的应用, 正弦函数的部分图象的性质, 属于基本知识的考查.

10.函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 的一个可能的值为( A. ) B. C.0

个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ

D.

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: 利用函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换可得函数 y=sin (2x+φ) 的图象沿 x 轴向左平移 个单位后的解析式,利用其为偶函数即可求得答案.

解答: 解:令 y=f(x)=sin(2x+φ) , 则 f(x+ ∵f(x+ ∴ )=sin=sin(2x+ )为偶函数, , +φ) ,

+φ=kπ+

∴φ=kπ+

,k∈Z, . .

∴当 k=0 时,φ=

故 φ 的一个可能的值为

故选 B. 点评:本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查三角函数的奇偶性,属于中档题.

11.已知抛物线 y =8x 的焦点与椭圆

2

+y =1 的一个焦点重合,则该椭圆的离心率为(

2

)

A.

B.

C.

D.

考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由题意,抛物线 y =8x 的焦点为(2,0) ,从而求离心率. 2 解答: 解:抛物线 y =8x 的焦点为(2,0) ; 故 c=2,b=1,a= ; 故 e= = ; ;
2

故该椭圆的离心率为

故选 D. 点评:本题考查了抛物线的定义及椭圆的定义,属于基础题. 12.函数 g(x)=log2x,关于方程|g(x)| +m|g(x)|+2m+3=0 在(0,2)内有三个不同的实 数解,则实数 m 的取值范围是( ) A. (﹣∞,4﹣2 )∪(4+2 ,+∞) B. (4﹣2 ,4+2 ) C. (﹣ ,﹣ ) D. (﹣ ,﹣ )
2

考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:计算题;函数的性质及应用. 2 2 分析: 由题意|g (x) | +m|g (x) |+2m+3=0 在 (0, 2) 内有三个不同实数解可化为 t +mt+2m+3=0 有两个根,分别在(0,1) ,

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:因为(1,3)是直线与曲线的交点,所以把(1,3)代入直线方程即可求出斜率 k 的值, 然后利用求导法则求出曲线方程的导函数,把切点的横坐标 x=1 代入导函数中得到切线的斜 率,让斜率等于 k 列出关于 a 的方程,求出方程的解得到 a 的值,然后把切点坐标和 a 的值代 入曲线方程,即可求出 b 的值. 解答: 解:把(1,3)代入直线 y=kx+1 中,得到 k=2, 2 求导得:y′=3x +a,所以 y′|x=1=3+a=2,解得 a=﹣1, 把(1,3)及 a=﹣1 代入曲线方程得:1﹣1+b=3, 则 b 的值为 3. 故答案为:﹣1 和 3. 点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,是一道基础题. 15.观察等式: ① ×1 + ×1 + ×1=1 , ② ×2 + ×2 + ×2=1 +2 , ③ ×3 + ×3 + ×3=1 +2 +3 ,… 以上等式都是成立的,照此写下去,第 2015 个成立的等式是 ×2015 + ×2015 + ×2015=1 +2 +3 +4 +…+2015 .
3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2

考点:归纳推理. 专题:推理和证明. 分析:根据已知中的式子,分析等式两边各项的底数变化情况与式子编号之间的关系,归纳出 规律后,可得答案. 解答: 解:由已知中的等式: 观察等式: ① ×1 + ×1 + ×1=1 , ② ×2 + ×2 + ×2=1 +2 , ③ ×3 + ×3 + ×3=1 +2 +3 , … 归纳可得: 第 n 个成立的等式是: ×n + ×n + ×n=1 +2 +3 +4 +…+n , 当 n=2015 时,第 2015 个成立的等式是: ×2015 + ×2015 + ×2015=1 +2 +3 +4 +…+2015
3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2

故答案为: ×2015 + ×2015 + ×2015=1 +2 +3 +4 +…+2015

3

2

2

2

2

2

2

点评:归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同 性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) .

16.若目标函数 z=kx+2y 在约束条件

下仅在点(1,1)处取得最小值,则实数 k

的取值范围是(﹣4,2) . 考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即可求 出 k 的取值范围. 解答: 解:作出不等式对应的平面区域, 由 z=kx+2y 得 y=﹣ x+ , 要使目标函数 z=kx+2y 仅在点 B(1,1)处取得最小值, 则阴影部分区域在直线 z=kx+2y 的右上方, ∴目标函数的斜率﹣ 大于 x+y=2 的斜率且小于直线 2x﹣y=1 的斜率 即﹣1<﹣ <2, 解得﹣4<k<2, 即实数 k 的取值范围为(﹣4,2) , 故答案为: (﹣4,2) .

点评:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.根据条 件目标函数仅在点(1,1)处取得最小值,确定直线的位置是解决本题的关键. 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知等差数列{an}的公差不为零,a3=5,且 a1,a7,a5 成等比数列.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求 a1+a3+a5+…+a2n﹣1. 考点:等差数列与等比数列的综合;等差数列的通项公式;等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)通过等差数列以及等比数列的关系,求出首项与公差,然后求数列{an}的通项公 式; (Ⅱ)利用等差数列的求和公式直接求解 a1+a3+a5+…+a2n﹣1. 2 解答: 解: (Ⅰ)设{an}的首项为 a1,公差为 d,由题意,a7 =a1a5, 2 即(a1+6d) =a1(a1+4d) ,又 a3=a1+2d=5(d≠0) , 得 a1=9,d=﹣2 故 an=﹣2n+11. (Ⅱ)令 Sn=a1+a3+a5+…+a2n﹣1,由(1)知 a2n﹣1=﹣4n+13, 故{a2n﹣1}是首项为 9,公差为﹣4 的等差数列. ∴Sn= = =﹣2n +11n.
2

点评:本题考查等差数列与等比数列的应用,数列的通项公式的求法以及数列求和,考查计算 能力. 18.已知在多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE∥AB,AC=AD=CD=DE=2,F 为 CD 的 中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 CDE; (Ⅱ)求平面 ABC 和平面 CDE 所成的小于 90°的二面角的大小; (Ⅲ)求点 A 到平面 BCD 的距离的取值范围.

考点:用空间向量求平面间的夹角;点、线、面间的距离计算. 专题:计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)根据题意可得:DE⊥平面 ACD,所以 DE⊥AF,又 AF⊥CD,再结合线面垂直的 判定定理可得答案.

(Ⅱ)建立空间坐标系,分别求出两个平面的法向量,利用向量的有关运算求出两个向量的 夹角,进而转化为二面角的平面角. (Ⅲ) 设 AB=x, 则 x>0, 根据题中的条件可得: 平面 ABF⊥平面 BCD. 连 BF, 过 A 作 AH⊥BF, 垂足为 H,则 AH⊥平面 BCD,再利用解三角形的有关知识可得:∴AH= ,即可得到

答案. 解答: 解: (Ⅰ)证明:∵AB⊥平面 ACD,AB∥DE, ∴DE⊥平面 ACD, ∵AF?平面 ACD, ∴DE⊥AF. 又∵AC=AD=CD,F 为 CD 中点, ∴AF⊥CD. ∵DE?平面 CDE,CD?平面 CDE,CD∩DE=D, ∴AF⊥平面 CDE. (Ⅱ)如图,以 F 为原点,过 F 平行于 DE 的直线为 x 轴,FC,FA 所在直线为 y 轴,z 轴建 立空间直角坐标系,如图所示,

∵AC=2,∴A(0,0, ) ,设 AB=x, 所以 B(x,0, ) ,C(0,1,0) 所以 =(x,0,0) , =(0,1,﹣ ) ,

设平面 ABC 的一个法向量为 =(a,b,c) , 则由 ? =0, ? =0,得 a=0,b= c,不妨取 c=1,

则 =(0,

,1) . ) .

∵AF⊥平面 CDE,∴平面 CDE 的一个法向量为(0,0,

∴cos< , ∴< ,

>=

= ,

>=60°.

∴平面 ABC 与平面 CDE 所成的小于 90°的二面角的大小为 60°. (Ⅲ)设 AB=x,则 x>0.∵AB⊥平面 ACD,∴AB⊥CD. 又∵AF⊥CD,AB?平面 ABF,AF?平面 ABF,AB∩AF=A, ∴CD⊥平面 ABF.

∵CD?平面 BCD,∴平面 ABF⊥平面 BCD. 连 BF,过 A 作 AH⊥BF,垂足为 H,则 AH⊥平面 BCD. 线段 AH 的长即为点 A 到平面 BCD 的距离. 在 Rt△ AFB 中,AB=x,AF= ∴BF= ∴AH= , = ∈(0, ) . CD= ,

点评: 此题实质上是一个底面为直角梯形且有一个侧面与底面垂直的四棱棱, 通过图形位置的 变化,考查学生在新的几何载体中,寻找发现线面之间的平行与垂直关系.第(Ⅱ)问把平行 问题与作二面角的棱有机结合起来,通过二面角与点到平面距离的计算,考查学生计算能力, 规范表示能力. 19.某校从 6 名学生会干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加市青年联合会志愿者. (Ⅰ)所选 3 人中女生人数为 ξ,求 ξ 的分别列及数学期望; (Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率. 考点:离散型随机变量的期望与方差;条件概率与独立事件. 专题:概率与统计.

分析: (I)ξ 得可能取值为 0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列、期望. (II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为 C.男生甲被选中的种数为 ,男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为 下,女生乙也被选中的概率. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (I)ξ 得可能取值为 0,1,2, 由题意 P(ξ=0)= = , .由此能求出在男生甲被选中的情况

P(ξ=1)=

= ,

P(ξ=2)=

= ,…

∴ξ 的分布列、期望分别为: ξ 0 1 p Eξ=0× +1× +2× =1.…

2

(II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为 C.… 男生甲被选中的种数为 ,男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为 .

∴P(C)=

=

= .…

在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为 .… 点评:本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识,考查运用概率统计知识 解决简单实际问题的能力,考查数据处理能力. 20.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 过点(0,﹣1) , (3+ ,0) , (3﹣ ,0) (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在实数 a,使得圆 C 与直线 x+y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,若存在,求 出 a 的值,若不存在,请说明理由. 考点:圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 专题:直线与圆. 2 2 分析: (Ⅰ)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,把点(0,﹣1) , (3+ 分别代入,能求出圆 C 的方程.

,0) , (3﹣

,0)

(Ⅱ)联立

,得 2x +(2a﹣14)x+a ﹣8a+7=0,由此利用根的判别式

2

2

和根与系数的关系,结合已知条件推导出不存在实数 a,使得圆 C 与直线 x+y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, 把点(0,﹣1) , (3+ ,0) , (3﹣ ,0)分别代入,得:



解得 D=﹣6,E=8,F=7, ∴圆 C 的方程为 x +y ﹣6x+8y+7=0. (Ⅱ)联立
2 2 2 2



得 2x +(2a﹣14)x+a ﹣8a+7=0, ∵圆 C 与直线 x+y+a=0 交于 A,B 两点, 2 2 ∴△=(2a﹣14) ﹣8(a ﹣8a+7)>0,解得﹣5<a<7, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=7﹣a,x1x2= y1y2=(﹣x1﹣a) (﹣x2﹣a)= ∵OA⊥OB, ∴x1x2+y1y2=2
2

, ,

=0,


2

+(7﹣a)a+a =0,

整理,得 a ﹣a+7=0, △ ′=1﹣28<0,方程无解, ∴不存在实数 a,使得圆 C 与直线 x+y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB. 点评: 本题考查圆的方程的求法, 考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法, 是中档题, 解题时要注意待定系数法的合理运用. 21.已知函数 f(x)=ax+lnx(a∈R) (1)求 f(x)的单调区间; 2 (2)设 g(x)=x ﹣2x+2,若对任意 x1∈(0,+∞) ,均存在 x2∈,使得 f(x1)<g(x2) ,求 实数 a 的取值范围. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题:综合题.

分析: (1)先求 f(x)的导数,再对参数 a 进行讨论,利用导数函数值的正负,从而可求 f(x) 的单调区间; (2)对任意 x1∈(0,+∞) ,均存在 x2∈,使得 f(x1)<g(x2) ,等价于 f(x)max<g(x) max,分别求出相应的最大值,即可求得实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1) …

当 a≥0 时,由于 x∈(0,+∞) ,f′(x)>0,所以函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞) ,… 当 a<0 时,令 f'(x)=0,得 .

当 x 变化时,f'(x)与 f(x)变化情况如下表:

所以函数 f(x)的单调增区间为(0,

) ,函数 f(x)的单调减区间为



(2)由已知,转化为 f(x)max<g(x)max… 2 2 因为 g(x)=x ﹣2x+2=(x﹣1) +1,x∈, 所以 g(x)max=2… 由(Ⅱ)知,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为 R,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f(e )=ae +3>2,故不符合题意. ) 当 a<0 时,f(x)在 故 f(x)的极大值即为最大值, 所以 2>﹣1﹣ln(﹣a) ,解得 .… 上单调递增,在
3 3

… 上单调递减, ,…

点评:本题重点考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的 数学思想,解题的关键是利用导数确定函数的单调性 四、请考在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-1: 几何证明选讲 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,圆 O 为△ ABC 的外接圆,且 AB=AC,过点 A 的直线交圆 O 于点 D,交 BC 的延长线 于点 F,DE 是 BD 的延长线,连接 CD. (Ⅰ)求证:∠EDF=∠CDF; 2 (Ⅱ)求证:AB =AF?AD.

考点:与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定. 专题:计算题. 分析: (1)由∠EDF=∠ADB,∠ADB=∠ACB,∠CDF=∠ABC,AB=AC,能够证明 ∠EDF=∠CDF. (2)由∠ADC+∠ABC=180°,∠ACF+∠ACB=180°,知∠ADC=∠ACF,故△ ADC≌△ACF, 2 由此能够证明 AB =AD?AF. 解答: 解: (1)∵∠EDF=∠ADB, ∠ADB=∠ACB, ∠CDF=∠ABC,AB=AC, ∴∠EDF=∠CDF; (2)∵∠ADC+∠ABC=180°, ∠ACF+∠ACB=180°, ∴∠ADC=∠ACF, ∴△ADC∽△ACF, ∴
2



AC =AD?AF, 2 ∴AB =AD?AF.

点评:本题考查与圆有关的比例线段的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意 合理地进行等价转化. 四、请考在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-4: 坐标系与参数方程 23. (选做题)

在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ρsin

(θ+

)=

,圆 C 的参数方程为

, (θ 为参数,r>0)

(Ⅰ)求圆心 C 的极坐标; (Ⅱ)当 r 为何值时,圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3. 考点:简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系. 专题:计算题. 分析: (1)利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线 l 的普通方程;利 用同角三角函数的基本关系, 消去 θ 可得曲线 C 的普通方程,得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可. (2)由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式,及正弦函数的有界性求得点 P 到直线 l 的 距离的最大值,最后列出关于 r 的方程即可求出 r 值. 解答: 解: (1)由 ρsin(θ+ )= ,得 ρ(cosθ+sinθ)=1,∴直线 l:x+y﹣1=0.



得 C:圆心(﹣

,﹣

) .

∴圆心 C 的极坐标(1,

) .

(2)在圆 C:

的圆心到直线 l 的距离为:

∵圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3, ∴ r=2﹣ ∴当 r=2﹣ 时,圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3. .

点评:本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程、参数方程与普 通方程的互化,点到直线距离公式、三角变换等内容. 四、请考在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-5: 不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5| (Ⅰ)证明:﹣3≤f(x)≤3;

(Ⅱ)求不等式 f(x)≥x ﹣8x+15 的解集. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题;压轴题;分类讨论.

2

分析: (Ⅰ)分 x≤2、2<x<5、x≥5,化简 f(x)=

,然后即可证明﹣3≤f

(x)≤3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 x≤2 时,当 2<x<5 时,当 x≥5 时,分别求出 f(x)≥x ﹣8x+15 的解 集.

解答: 解: (Ⅰ)f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|=

当 2<x<5 时,﹣3<2x﹣7<3, 所以,﹣3≤f(x)≤3 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 2 当 x≤2 时,f(x)≥x ﹣8x+15 的解集为空集; 2 当 2<x<5 时,f(x)≥x ﹣8x+15 的解集为{x|5﹣ ≤x<5} 2 当 x≥5 时,f(x)≥x ﹣8x+15 的解集为{x|5≤x≤6} 2 综上:不等式 f(x)≥x ﹣8x+15 的解集:{x|5﹣ ≤x≤6} 点评:本题是中档题,考查绝对值不等式的求法,考查分类讨论思想的应用,考查计算能力, 常考题型.


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