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高考数学(理)一轮复习课件:第二篇 函数、导数及应用 2-4



第 二 篇

函数、导数及应用
(必修1 选修2-2 第一章)

第四节

二次函数与幂函数

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考纲要求 1.了解幂函数的概念. 1 2.结合函数y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y= x的图象,了
2 3
1 2

解它们

的变化情况. 3.理解二次函数的概念及图象特征,掌握二次函数的对称 性和单调性,会求二次函数在给定区间上的最值.

考情分析 从近三年的高考试题来看,二次函数图象的应用与单调区间及给定区间上 的最值问题是高考的热点,题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现,如 1 2013年重庆卷3、安徽卷4、辽宁卷11.幂函数只需掌握幂指数为1,2,3, ,-1 2 时的情形,一般不会单独命题.从题型上看,本节大题、小题均有可能出现, 以考查应用为主考查数形结合思想,属中等难度的题目. 预测与备考:2015年高考对本节内容的考查仍会以二次函数与幂函数为载 体考查数学相关知识,如求值、函数零点问题,题型仍延续选择题、填空题的 形式,分值约为5分.备考时要认真掌握二次函数、幂函数的图象与性质,掌 握二次函数在给定区间上的最值问题及幂值比较大小的方法,提高综合解决问 题的能力.

基 础

知 识 回 顾
感悟教材 · 学与思
(对应学生用书P23)

1.幂函数的定义
α 形如 y=x

(α∈R)的函数称为幂函数,其中 x

为自变

量, α 为常数.

2.幂函数的图象

问题探究1:在上图第一象限中如何确定y=x3,y=x2,y= x,y=x ,y=x-1的图象?
1 2

提示:

3.幂函数的性质

问题探究2:幂函数与指数函数有何不同?y=(x+1)3,y= x3-1,y= x是幂函数吗? 提示:幂函数与指数函数的本质区别就在于自变量的位置 不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指 数位置.在所给的三个函数中只有y= x是幂函数.

4.二次函数的解析式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0); (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

5.二次函数的图象和性质 a>0 a<0

图象

定义域

x∈R

考 点

互 动 探 究
核心突破 · 导与练
(对应学生用书P23)

考点1

幂函数的图象和性质

幂函数y=xα的性质和图象,由于α的取值不同而比较复杂, 一般可从三方面考查: (1)α的正负:α>0时图象经过(0,0)点和(1,1)点,在第一象限 的部分“上升”;α<0时图象不过(0,0)点,经过(1,1)点,在第一 象限的部分“下降”; (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1时曲线下凹,0<α<1时曲 线上凸,α<0时曲线下凹;

(3)函数的奇偶性:一般先将函数式化为正指数幂或根式形 式,再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性. 无论α取何值,幂函数的图象必经过第一象限,且一定不经 过第四象限.

(1)幂函数y=x ( ) A.-1<m<3 C .1

m2-2m-3

(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为

B.0 D.2

?1 (2)已知幂函数f(x)的图象经过点 ? ? 8, ?

2? ? ,P(x1,y1),Q(x2, 4? ?

y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论: ①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2); f?x1? f?x2? f?x1? f?x2? ③ x > x ;④ x < x . 1 2 1 2 其中正确结论的序号是( )

A.①② B.①③ C.②④ D.②③

【解析】 (1)从图象上看,由于图象不过原点,且在第一 象限下降,故m2-2m-3<0,即-1<m<3;又从图象看,函数是 偶函数,故m2-2m-3为负偶数,将m=0,1,2分别代入,可知当 m=1时,m2-2m-3=-4,满足要求. (2)依题意,设f(x)=x 1 =2,于是f(x)=x .
1 2

α

? 1? ,则有?8?α= ? ?

? 1? ?1? 2 α ? ? =? ? ,所以α ,即 4 ? 8? ?8?
1 2

由于函数f(x)=x

1 2

在定义域[0,+∞)内单调递增,所以当

x1<x2时,必有f(x1)<f(x2),从而有x1f(x1)<x2f(x2),故②正确;又因 f?x1? f?x2? 为 x , x 分别表示直线OP、OQ的斜率,结合函数图象,容 1 2 f?x1? f?x2? 易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率,故 x > x ,所以 1 2 ③正确.故选D.

【答案】 (1)C

(2)D

(1)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)x 数,则m=________.

-5m-3

在(0,+∞)上是增函

(2)(2013· 淄博模拟)若a<0,则下列不等式成立的是(
?1? A.2a>?2?a>(0.2)a ? ? ?1? C.?2?a>(0.2)a>2a ? ?

)

B.(0.2)

a

? 1? >?2?a>2a ? ?
a

D.2a>(0.2)

?1? >?2?a ? ?

解析:(1)∵函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数, ∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 当m=2时,-5m-3=-13,函数y=x 减函数; 当m=-1时,-5m-3=2,函数y=x2在(0,+∞)上是增 函数. ∴m=-1.
-13

在(0,+∞)上是

(2)若a<0,则幂函数y=xa在(0,+∞)上是减函数,所以 (0.2)
a

?1? >?2?a>0. ? ?
a

所以(0.2)

?1? >?2?a>2a. ? ?

答案:(1)-1 (2)B

考点2

二次函数的解析式

求二次函数的解析式常用待定系数法.合理选择解析式的 形式,并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式,把问 题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法.

已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1. (1)求f(x)解析式; (2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称,求g(x)解析式.

【解】 (1)由于f(x)有两个零点0和-2, 所以可设f(x)=ax(x+2)(a≠0), 这时f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a, 由于f(x)有最小值-1,
? ?a>0, 所以必有? ? ?-a=-1,

解得a=1.

因此f(x)的解析式是f(x)=x(x+2)=x2+2x.

(2)设点P(x,y)是函数g(x)图象上任一点,它关于原点对称 的点P′(-x,-y)必在f(x)图象上, 所以-y=(-x)2+2(-x), 即-y=x2-2x,y=-x2+2x, 故g(x)=-x2+2x.

本题已知f(x)的两个零点,故可设二次函数的两根式,又 已知f(x)的最小值为-1,也可设顶点式.

设二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)=0的两个实根 的平方和为10,f(x)的图象过点(0,3),求f(x).

解:∵f(2+x)=f(2-x). ∴f(x)的图象关于直线x=2对称. 于是,设f(x)=a(x-2)2+k(a≠0), 则由f(0)=3,可得k=3-4a, ∴f(x)=a(x-2)2+3-4a=ax2-4ax+3. ∵ax2-4ax+3=0的两实根的平方和为10, 6 2 2 2 ∴10=x1+x2=(x1+x2) -2x1x2=16- ,∴a=1. a ∴f(x)=x2-4x+3.

考点3

二次函数的图象和性质

二次函数求最值问题,一般先用配方法化为y=a(x-m)2+n 的形式,得顶点(m,n)和对称轴方程x=m,结合二次函数的图 象求解,常见有三种类型: (1)顶点固定,区间也固定; (2)顶点含参数(即顶点为动点),区间固定,这时要讨论顶点 横坐标何时在区间之内,何时在区间之外;

(3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数. 讨论的目的是确定对称轴和区间的关系,明确函数的单调 情况,从而确定函数的最值.

(1)(2013· 安徽卷)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间 (0,+∞)内单调递增”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(2)(2013· 辽宁卷)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=- x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)= min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表 示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为 B,则A-B=( A.16 C.a2-2a-16 ) B.-16 D.a2+2a-16

【解析】 (1)f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)内单调递增等价于 1 f(x)=0在区间(0,+∞)内无实根,即a=0或 a <0,也就是a≤0, 故“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)内单调递增”的 充要条件,故选C.

(2)函数f(x)的图象是开口向上的抛物线,g(x)的图象是开口 向下的抛物线,两个函数图象相交,则A必是两个函数图象交点 中较低的点的纵坐标,B是两个函数图象交点中较高的点的纵坐 标.令x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,解得x=a+2 或x=a-2.当x=a+2时,因为函数f(x)的对称轴为x=a+2,故 可判断A=f(a+2)=-4a-4,B=f(a-2)=-4a+12,所以A- B=-16.
【答案】 (1)C (2)B

在本例(1)中把函数f(x)在x轴下方的图象对折到x轴上方, 在x轴上方的图象不变就可以得到函数|f(x)|的图象.(2)中巧妙地 利用二次函数的图象进行了转化.

(2013· 盐城模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函 数. (3)求当a=1时,f(|x|)的单调区间.

解:(1)当a=-2时, ∈[-4,6].

f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于x

所以f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, 故f(x)的最小值是f(2)=-1,又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x) 的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要 使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤ -6或a≥4. 故a的取值范围为(-∞,-6]∪[4,+∞).

(3)当a=1时, f(x)=x2+2x+3, 则f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为x∈[-6,6],
2 ? ?x +2x+3,x∈?0,6], 且f(x)=? 2 ? ?x -2x+3,x∈[-6,0],

故f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0].

归纳提升
1.幂函数 (1)作幂函数的图象,要考虑幂函数的定义域、值域、奇偶 性、单调性等,只要作出其在第一象限内的图象,再根据它的奇 偶性,就可作出其在整个定义域内的完整图象.

(2)幂函数仅限于五个常见函数.在(0,1)上,幂指数越大, 函数图象越靠近x轴(简称“指大图低”);在(1,+∞)上,幂指 数越大,函数图象越远离x轴. (3)应用幂函数知识解题时,要重视数形结合分类讨论等的 数学思想和方法.由题设条件及函数性质作出示意图,再由图 象得出进一步的结论,可使问题变得更加简单.

2.二次函数 (1)二次函数的解析式有三种形式:一般式、顶点式和两根 式,根据已知条件灵活选用. (2)两种思想:数形结合是讨论二次函数问题的基本方 法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻 找思路.

含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨 论.比如对于函数y=ax2+bx+c要认为它是二次函数,就必须 认定a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0 两种情况.再如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关 系,又例如涉及二次不等式需讨论根的大小等.

(3)五种方法:关于二次函数y=f(x)对称轴的判断方法 ①对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2), x1+x2 那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为x= 2 . ②对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a -x)成立,那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=a(a为常数).

③对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x+2a)= f(-x),那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=a(a为常数). 注意:②③中,f(a+x)=f(a-x)与f(x+2a)=f(-x)是等价 的. ④利用配方法求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴方程 b 为x=-2a;

⑤利用方程根法求对称轴方程.若二次函数y=f(x)对应方 程f(x)=0的两根为x1、x2,那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为x x1+x2 = 2 . (4)二次函数在给定区间上的最值 二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值,且只能在区 间的端点或顶点处取得.对于“轴变区间定”和“轴定区间 变”两种情形,要借助二次函数的图象特征,抓住顶点的横坐 标是否属于该区间,结合函数的单调性进行分类讨论求解.

(对应学生用书P25)

数学思想——分类讨论思想在求二次函数最值中的应用 二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根据对称轴与区间 的相对位置关系确定最值,当函数解析式中含有参数时,要根据 参数的最值情况进行分类讨论.

(2013· 青岛模拟)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小 值.

【解】 (1)当a=0时, f(x)=-2x在[0,1]上递减, ∴f(x)min=f(1)=-2. (2)当a>0时, 1 称轴为x= . a 1 ①当 a ≤1,即a≥1时, f(x)=ax2-2x的图象对称轴在[0,1] 内, f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向上,且对

? ?1 ? 1? ∴f(x)在?0,a?上递减,在?a,1?上递增. ? ? ? ? ?1? 1 2 1 ? ? ∴f(x)min=f a = - =- . a ? ? a a

1 ②当 >1,即0<a<1时, f(x)=ax2-2x的图象对称轴在[0,1] a 的右侧, ∴f(x)在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2.

(3)当a<0时,

f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对

1 称轴x=a<0,在y轴的左侧, ∴f(x)=ax2-2x在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2. a-2,a<1, ? ? 综上所述f(x)min=? 1 -a,a≥1. ? ?

二次函数f(x)=ax2+bx+c(不妨设a>0)在区间[m,n]上的最 大或最小值如下: b (1)当- ∈[m,n],即对称轴在所给区间内时, f(x)的最 2a
? b ? 4ac-b2 小值在对称轴处取得,其值是f ?-2a? = , 4 a ? ?

f(x)的最大值

在离对称轴较远的端点处取得,它是f(m),f(n)中的较大者.

b (2)当- ?[m,n],即给定的区间在对称轴的一侧时,f(x) 2a b 在[m,n]上是单调函数.若- <m,f(x)在[m,n]上是增函数, 2a b f(x)的最小值是f(m),最大值是f(n);若n<- 2a ,f(x)在[m,n]上 是减函数,f(x)的最小值是f(n),最大值是f(m).

【试一试】 1.已知f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1],若f(x)的最小值为 h(t),写出h(t)的表达式.

3 解:如图所示,函数图象的对称轴为x=- , 2 3 ①当t+1≤- , 2 5 即t≤-2时, h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5, 即h(t)=t
2

? 5? +5t-1?t≤-2?. ? ?

3 5 3 ②当t≤- <t+1,即- <t≤- 时, 2 2 2
? 3? 29 ? ? h(t)=f -2 =- 4 . ? ?

3 ③当t>-2时,h(t)=f(t)=t2+3t-5. 5 ? ?t2+5t-1,t≤- , 2 ? ? 29 5 3 综上可得,h(t)=?- 4 ,-2<t≤-2, ? ?2 3 t +3t-5,t>-2. ? ?

a 1 2.已知函数y=-x +ax- + 在区间[0,1]上的最大值是 4 2
2

2,求实数a的值.

? a?2 1 2 a ? ? 解:y=- x-2 +4(a -a+2),对称轴为x=2. ? ?

a 1 2 (1)当0≤ ≤1,即0≤a≤2时,ymax= (a -a+2), 2 4 1 2 由 (a -a+2)=2, 4 得a=3或a=-2,与0≤a≤2矛盾,不合要求;

a (2)当 <0,即a<0时,y在[0,1]上单调递减,有ymax=f(0)=2 2 a 1 ?- + =2?a=-6. 4 2 a (3)当 2 >1,即a>2时,y在[0,1]上单调递增,有ymax=f(1)=2 a 1 10 ?-1+a-4+2=2?a= 3 . 10 综上,得a=-6或a= 3 .

(对应学生用书P26)

1.若f(x)既是幂函数又是二次函数,则f(x)可以是( A.f(x)=x2-1 C.f(x)=-x2 B.f(x)=5x2 D.f(x)=x2

)

解析:形如f(x)=xα的函数是幂函数,其中α是常数. 答案:D

? 1 ? ? ? ? 2.设α∈ -1,1,2,3?,则使函数y=xα的定义域为R且为 ? ? ? ?

奇函数的所有α值为(

)

A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3

解析:在函数y=x ,y=x,y=x

-1

1 2

,y=x3中,只有函数y

=x和y=x3的定义域是R,且是奇函数,故α=1,3.

答案:A

3.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(

)

b 解析:若a>0,b<0,c<0,则对称轴x=- >0, 2a 图象与y轴的交点(c,0)在负半轴上,故选D.

答案:D

4.(2013· 江西南昌调研)若存在实数x∈[2,4],使x2-2x+5 -m<0成立,则m的取值范围为( A.(13,+∞) C.(4,+∞) B.(5,+∞) D.(-∞,13) )

解析:m>x2-2x+5,设f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,x∈ [2,4] 当x=2时f(x)min=5,?x∈[2,4]使x2-2x+5-m<0成立,即 m>f(x)min,∴m>5.故选B.

答案:B

? 5.已知点M ? ? ?

3 ? ? , 3 ? 在幂函数f(x)的图象上,则f(x)的表达式 3 ?

为________.
3? ?α 解析:设幂函数的解析式为y=x ,则3= ,得α=-2. 3? ?
α

? ? ? ?

故y=x-2.

答案:y=x-2

6.如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直 线x=1对称,则函数f(x)的最小值为________.

? a+2 ?- =1, 2 解析:由题意知? ? ?a+b=2,

? ?a=-4, 得? ? ?b=6.

则f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5.

答案:5

请做:课时作业(七)



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