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高中数学基本公式、概念(文)



录:

第 一 章 集合与简易逻辑┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 第 二 章 函数┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 第 三 章 数列┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 第 四 章 三角函数┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 第 五 章 向量┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13 第

六 章 不等式┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄16 第 七 章 直线与圆┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄18 第 八 章 圆锥曲线┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄20 第 九 章 立体几何┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄23 第 十 章 排列组合┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄27 第十一章 概率┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄28 第十二章 统计┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄29 第十三章 导数┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄29

高中数学基本公式、概念(文理)
第一章 集合与简易逻辑 1.熟记重要结论:(1) A ? B ? A ? A ? B
(2) CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) 2.集合与排列、组合的联系

A? B ? A ? A ? B

CU ( A ? B) ? CU A ? CU B

求 集 合 的 子 集 个 数 问 题 , 常 与 组 合 数 有 关 : 如 A= ?a1 , a 2 , ?, a n ? 的 子 集 的 个 数 为 :
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n 真子集的个数有 2 n ? 1 个 ,非空真子集有 2 n ? 2 个.

3.关于二次函数 ①解析式有三种形式:一般式:f(x)= a x2+bx+c( a ? 0); 顶点式:f(x)= a (x+m)2+n (a ? 0) ,顶点( ? m, n); 两根式:f(x)= a (x ? x1)(x ? x2) ( a ? 0); ②图象:抛物线 a>0 开口向上;a<0 开口向下;顶点坐标是( ?

b 4ac ? b 2 b , );对称轴:x= ? 2a 4a 2a

③ ? ? b 2 ? 4ac >0 时,图象与 x 轴有两个交点,交点的横坐标是方程的两根,且 x1 ? x2 =

? a

?a ? 0 4. ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 恒成立的充要条件是: ? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 ?a ? 0 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 恒成立的充要条件是: ? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0
5.真值表:表示命题真假的表叫真值表。 (1)非 p 形式复合 p 真 假 非p 假 真 (2)p 且 q 形式复合 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 P且q 真 假 假 假 (3)p 或 q 的形式复合 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 P或q 真 真 真 假

记忆:非 p 与 p 相反 p 且 q:有假则假 p 或 q:有真则真 6。互为逆否命题同真同假 p ? q : p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件 p ? q : p 是 q 的充要条件

第二章

函数

1、映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的任何一个元素。在 集合 B 中都有唯一一个元素与它对应,这样的对应关系叫做从集合 A 到集合 B 的映射,记 作 f : A? B . 2、 若已知 f ?g ( x)?的定义域为 x ? (a, b) , 求 f ( x) 的定义域, 其方法是: 利用 a ? x ? b , 求得 g ( x) 的范围,则 g ( x) 范围即是 f ( x) 的定义域;若已知 f ( x) 的定义域为 x ? (a, b) ,求 f ?g ( x)?的 定义域,其方法是:由 a ? g ( x) ? b 求得 x 的范围,即为 f ?g ( x)?的定义域。
2

3、 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的区间根问题一般从三个方面考虑: (1)判别式(2)区间端点的函数值的正负(3)对称轴与区间端点的关系,总结如下表:
根的 分布 y 图 象 o x1 x2 k
b 2a

x1 ? x2 ? k

k ? x1 ? x2

x1 ? k ? x2

x1, x2 ? (k1, k2 )

x1, x2 有且只有一个在 (k1, k2 ) 内

f(k) x

f(k)

y

y o k x x1f(k) x2
x?? b 2a

f(k1) f(k2) k1 x1
x??

y k1 o x2
b 2a

y k2 o x

x1 x2 k o x
x?? b 2a

k2

x??

f (k1) ? f (k2 ) ? 0 或

??0
充要 条件
f (k ) ? 0

??0
f (k ) ? 0 f (k ) ? 0

??0
f (k1) ? 0 f (k2 ) ? 0
k1 ? ? b ? k2 2a

f (k1) ? 0

?

b ?k 2a

?

b ?k 2a

k1 ? ?

b k ?k ? 1 2 或 2a 2

f (k2 ) ? 0

k1 ? k2 b ?? ? k2 2 2a

4、求函数解析式的常用方法: (1)换元法:已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,令 t=g(x);(2)待定系数法:已知函数的一 般形式时; (3)消元法:解函数方程法; (4)赋值法: (5)分段函数的解析式分段求。 5、函数的值域一定要用集合或区间来表示。求值域的常用方法有: (1)直接法:如 y ?

1 2 ; (2)配方法:如 F ( x) ? af ( x) ? bf ( x) ? c x

(3 )换元法: y ? ax ? b ? cx ? d ,令 t ? 换元法(4)反函数法:如 y ? (5)判别式法: y ?

cx ? d ,类似 y ? x ? a 2 ? x 2 等可用三角

cx ? d (a ? 0) (或用分离常数法) ax ? b

a1 x 2 ?b1 x ? c1 (a1 , a2 不同时为零)注意满足两点:① x∈R ②分子 a2 x 2 ? b2 x ? c2

分母没有公 因式。如果分子和分母中有公因式,则约去因式,回到(4)法. 例: y ?

1 6 ( x ? 5)(x ? 1) x ? 5 ? 1? ( x ? ?1), 因为当 x ? ?1时, y ? ? x?4 5 ( x ? 4)(x ? 1) x ? 4
6 。(6)不等式法: a ? b ? 2 ab(a, b ? R ? ) 。 5

∴ y ? 1, 且y ?

(7)单调性法(8)数形结合法(9)利用函数的有界性(10)导数法
3

6、增函数定义: x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x ) 为增函数, 减函数定义: x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x ) 为减函数, (其中 x1 , x2 为函数 f ( x ) 的定义域中任意的数) 7、判断函数奇偶性的步骤: (1)首先看定义域是否关于原点对称 (2)再看 f(-x)与-f(x)的关系 (3)若表达式较繁,则对函数式进行化简后再判断 (4)分段函数,应分段讨论,要注意 x 的范围取相应的函数表达式。 8、奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇 9、解题中要注意以下性质的应用。 (1) 、f(x)为偶函数 ? f ( x) ? f ( x ) (2) 、若奇函数 f(x)的定义域包含 0,则 f (0) ? 0 10、复合函数单调性: 对定义在 R 上的函数 f(x),g(x),有 f(x)、g(x) 在 R 上同增或同减时 f ?g ( x)? 为 R 上的增 函数;若 f(x), g(x) 在 R 上一增一减时, f ?g ( x)?为 R 上的减函数。即简述为“同增异减” 11、若 f(x)是奇函数,则 f(x)在单调区间 ? ?b, ?a? 与 ? a, b? 上的增减性相同 (0 ? a ? b) , 若 f(x)是偶函数,则在单调区间 ? ?b, ?a? 与 ? a, b? 上的增减性相反。 12、减+减=减 增+增=增 增-减=增 减-增=减

13、 y ? f ( x) 存在反函数的条件:定义域到值域的一一对应。 定义域上的单调函数必有反函数。 14 、反函数的性质: ( 1 ) y ? f ( x) 与 y ? f
?1

( x) 图象关于直线 y = x 对称; y ? f ( x) 与

?1 (2)y ? f ( x) 与 y ? f ( x) 具有相同的单调性; (3) 若 ( a, b) 在 x ? f ?1 ( y) 的图象相同;

y ? f ( x) 的图象上,则 (b, a ) 在 y ? f ?1 ( x) 的图象上,即有 f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a ;
(4)奇函数的反函数也是奇函数。 15、对称变换 ① 如 y ? f (? x) ,其函数图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称. ②如 y ? ? f ( x) ,其函数图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于 x 轴对称. ③如 y ? ? f (? x) ,其函数图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于原点对称.
4

④如 y ? f

?1

( x) ,其函数图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称.。

⑤ y ? f ( x) 关于 x ? a 对称的函数为 y ? f (2a ? x) 16、 (1)翻折变换 ①形如 y ?| f ( x) | ,将函数 y ? f ( x) 的图象在 x 轴下方沿 x 轴翻到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 在 x 轴以上部分,为函数 y ?| f ( x) | 的图象。 ②形如 y ? f (| x | ) ,将函数 y ? f ( x) , x ? 0 的部分作出,再利用偶函数的图象关于 y 轴的对称性,作出 x ? 0 的图象。 (2)伸缩变换 ①形如: y ? af ( x)( a ? 0) ,将函数的图象纵坐标(横坐标不变)伸长 (a ? 1) 或压缩 (0 ? a ? 1) 到原来 a 倍得到。 ②形如: y ? f (ax)( a ? 0) ,将函数 y ? f ( x) 的图象横坐标(纵坐标不变)伸长 (a ? 1) 或压缩 (0 ? a ? 1) 到原来

1 倍得到。 a

17、一些常用的结论要记住: (1) 若函数的定义域为 R, 且对 x ? R 都有 f (a ? x) ? f (a ? x), (a ? R) , 则函数 y ? f ( x) 的 图象关于直线 x ? a 对称 (2)若对 x ? R ,都有 f ( x ? a) ? f ( x ? a),(a ? R) ,则 y ? f ( x) 是以周期为 2 a 的函数。 (3) f ( x) ? ? f ( x ? a) ?
T ? 2a

(4) p : A ? {x | p( x)成立} , q:B={x|q(x)成立},那么: 若 A ? B , p 是 q 的充分条件;若 A ? B , 则 p 是 q 的充分非必要条件。 18、对数定义及性质: ab ? N ? loga N ? b(a ? 0, 且a ? 1) (1) a
loga N

? N (2) loga N ?

logb N n 1 n (3) loga b ? (4) log a m b ? log a b m logb a logb a

第三章

数列

1、已知数列前 n 项和 S n ,求通项 an 分三步: (1)当 n=1 时, a1 = S1 ,(2)当 n≥2 时,

an = S n ? S n?1 (3)验证二者是否统一,若不统一,则写成分段函数的形式。
2、等差数列的概念: 若数列 ?an ? 从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则数列 ?an ? 叫做等 差数列。
5

等差中项:数 b 是数 a,c 等差中项 ? 2b=a+c 3、等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d 4、等差数列前项和: sn ? 5、等差数列判定方法: ①通项公式法:, an ? kn ? b (k、b 是常数,n∈N ) ? ?an ? 是等差数列;
+

推广: an ? am ? (n ? m)d ? d ?

an ? am n?m

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

②前 n 项和公式法: S n ? An2 ? Bn (A、B 是常数,n∈N ? ?an ? 是等差数列)
+

变式: S n ?

d 2 d n ? (a1 ? )n , Sn 是关于 n 的二次函数 2 2
四数成等差数列,可设 a ? 3t , a ? t , a ? t , a ? 3t

注:三数成等差数列,可设 a ? t , a, a ? t

6、等差数列的证明有两种方法:①利用定义证明 an ? an?1 ? 常数 (n ? 2) ; ②利用中项性质证明:即证 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2) 7、等差数列性质( 1)若 m、n、p、q ? N ? 且 m+n=p+q,则 am ? an ? ap ? aq (2) sn , s2n ? sn , s3n ? s2n ,? 成等差数列,且公差为 n d (d 是原数列公差)
2

(3)等差数列的项数为 2 n ,则 S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 n ? 1 ? S偶 n ? 1


(4)等差数列的项数为奇数 2n ? 1 ,则 a中间项 ? an ? S奇 ? S偶

S奇 n ? S偶 n ? 1

8、在等差数列中,求 Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正 (负)值或零,而它后面的各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项和为最大(小), 即(1)当 a1 ? 0, d ? 0 时,解不等式组 ?

? an ? 0, 可得 s n 达最大时的 n 值; ? an ?1 ? 0,

(2)当 a1 ? 0, d ? 0 时,解不等式组 ?

? an ? 0, 可得 s n 达最小值时的 n 值. ? an ?1 ? 0,

注:若已知 S n 的表达式,可用配方法。
6

9、等比数列的定义:数列 ?an ? 从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称 作等比数列。常数叫公比。 等比中项:数 b 是数 a,c 等比中项 ? b ? ? ac (ac>0) 。 10、等比数列通项公式: an ? a1q n?1 推广形式: an ? amqn?m

?na1 (q ? 1) ? 11、等比数列前 n 项和 sn ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 0或q ? 1) ?
说明:在运用公式进行计算时,要考虑 q 是否等于 1。 12、等比数列性质: 设等比数列 ?an ? ,其前项 n 和为 s n ,则 ①若 m+n=p+q,其中 m,n,p,q ? N ? ,则 am ? an ? a p ? aq ② sm , s2m ? sm , s3m ? s2m ,?, 成等比数列,公比为 q n (q 为原数列公比, q ? ?1 时,m 不能为 偶数) ③等比数列项数为偶数:

S偶 S奇

?q



Sm 1 ? q m ? Sn 1 ? q n
a a , , at , at 3 3 t t

注:三数成等比数列,可设

a , a, at t

四数成等差数列,可设

13、 证明等比数列的方法: ①用定义: 只需证 14、等比数列判定方法:

an ?1 2 ②用中项性质: 只需证 an ? 常数。 ?1 ? an ? an ? 2 an

①通项公式法: an ? cq (c, q均是不为0的常数, n ? N ) ? {an } 是等比数列
n *

②前 n 项和公式法: Sn ?

a1 n a a q ? 1 ? Aq n ? A( A ? 1 是常数且q ? 0, q ? 1) q ?1 q ?1 q ?1

15、分类的思想。 (1)当 a1 ? 0, q ? 1 或者 a1 ? 0,0 ? q ? 1 时,等比数列 ?an ? 为递增数列; (2)当 a1 ? 0, q ? 1 或者 a1 ? 0,0 ? q ? 1 时,等比数列 ?an ? 为递减数列; (3)当 q ? 0 等比数列 ?an ? 为摆动数列;(4)当 q=1 时,等比数列 ?an ? 为常数列。
7

16、由递推关系求数列 ?an ? 通项公式的方法:①迭加法:形如 an?1 ? an ? f (n) 的问题可用此 法求解 ②累积法:形如 an?1 ? an f (n) 的问题可用此法求解 ③待定系数法构造新数列:形如 Aan?1 ? Ban ? C ,其中 A ? B ,A,B,C 为不为零常数的问 题可用此法求解。 17、数列求和的常用方法: (1)公式法:直接化为等差或等比数列求和; (2)裂项相消法:①

1 1 1 1 1 1 1 ;② ? ? ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 ? [ ? ] 等等。 n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)



1 n ? n ?1

? n ? 1 ? n ;④

其规律是: an 的分子是常数,分母为等差数列相邻 k 项之积。 (3)并项法:规律是相邻两项之和出现规律性变化; (4)错位相减法:已知等差数列 ?an ? ,等比数列 ?bn ? ,则数列 ?an bn ?的前 n 项和可用此法求解; (5)倒序相加法:

第四章 三角函数
1、与 ? 终边相同的角的集合 ? | ? ? k ? 3600 ? ? , k ? Z (注意单位统一) 2、坐标轴上角: (1)终边在 x 轴正半轴上角: ?? | ? ? 2k? , k ? Z ? ;

?

?

? ? ? (2)在 y 轴正半轴上角: ?? | ? ? 2k? ? , k ? Z ? (3)终边在 x 轴上角: ?? | ? ? k? , k ? Z ? 2 ? ?

k? ? ? ? ? ? (4)终边在 y 轴上角:?? | ? ? k? ? , k ? Z ? (5)终边在坐标轴上角:? ? | ? ? ,k ?Z? 2 2 ? ? ? ?
? ? ? 3、象限角: 第一象限角: ?? | 2k? ? ? ? 2k? ? , k ? Z ? 2 ? ?
4、当 ? 第一、二象限角, 当 ? 第三、四象限角;

?
2

是一、三象限角; 是二、四象限角。
8

?
2

(当 ? 第一、二、三、四象限角时,角 5、弧度与角度的换算关系式

?
2

的终边分别落在标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ

的区域内。 )

180 1 (4) S 扇形= lr ( 0 ? S 扇<?r 2 ) 2 6、三角函数线 单位圆 r ? 1

(1) 10 ?

?

弧度

(2)1弧度 ? 57.300 ? 57 018?

(3) l ? ? ? r

在下图中,规定了方向的MP,OM,AT分别叫做角 ? 的正弦线,余弦线和正切线. i. 注意方向,分清始点和终点. ii. 正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同 sin ? ? MP c o s ? ? OM 横坐标一致,向右为正,向左为负。 iii. 三角函数线的起点应为坐标轴上的点或坐标。 tan ? ? AT

小结:在第一、三象限 tan ? ? sin ? ;在第二、四象限 tan ? ? sin ? 7、任意角的三角函数: 点的距离是 r (r ? 设 ? 是一个任意角,? 的终边上任意一点 P 的坐标是 ( x, y ) ,它与原

x 2 ? y 2 ? 0) ,那么 sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? , r r x

cot ? ?

x r r ,sec ? ? , csc ? ? 。 y x y

sin ? ? 0 csc? ? 0 tan? ? 0 cot? ? 0

全正

8、三角函数值的符号规律(其余三角函数值为负) 9、同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2 ? +cos2 ? =1 (2)商数关系: tan ? ? 10、诱导公式

co? s ?0 sec ? ?0

sin ? cos ?

, cot ? ?

cos ? (3)倒数关系: tan ? ? cot ? sin ?

?1

(1) 2k? ? ? (k ? Z ) 、 ? ? 、 ? ? ? 、 2? ? ? 的三角函数等于 ? 的同名函数值,前面加

( 2)

?

上一个把 ? 看成锐角时原函数值的符号,口诀为:函数名不变,符号看象限。

2

? ?,

3? ? ? 的三角函数值等于 ? 的余函数值,前面加上一个把 ? 看成锐角时原函 2
9

数值的符号。口诀为:函数名改变,符号看象限。 如 tan( ? ??) ,

? ??

看 成 是 第 三 象 限 角 , tan( ? ??) 是 正 值 , 函 数 名 不 变 , 则

tan( ? ? ? ) = tan ? 。又如 cos(
函数名改变,则 cos(

3? ? ? ) = ? sin ? 。 2

3? 3? 3? ??), ? ? 看成是第三象限角, cos( ? ? ) 是负值, 2 2 2

? ??

2k? ? ? 2k? ? ?

?
2

??

?
2

??

? ??

??
11、两角和与差的三角函数公式

3? ?? 2

3? ?? 2

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

变形 tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? ) ?1 ? tan ? tan ? ?

tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? ) tan ? tan ? ? tan(? ? ? )
12、角的转化: ? ? (? ? ? ) ? ?

2? ? ? ? (? ? ? ) ? ?

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? )

( ? x) ? ( ? x) ? ( ? x) ? ( ? x) ? 6 3 2 4 4 2 sin 2? ? 2sin ? cos ? 13、二倍角公式: cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 1? c o s 2? 2 降次公式: cos 2 ? ? sin ??
? ? 2? ? (? ? ? ) ? ?
2 2
14、三角函数的不等式关系

?

?

?

?

?

?

sin ? ? cos ?
余 正 余

正切大 余切大 余 正

sin x ? cos x ? 0

sin ? ? cos ?

sin x ? cos x ? 0

15、学会利用方程思想解三角题,对于 sin ? ? cos ?,sin ? cos ?,sin ? ?cos ? 这三个式子,已
10

知其中一个式子的值,其余二式的值可以求出。 16、三角函数性质 函数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

奇偶性 ↗ ?2k? ? 单调区间
? ?


?
2 ,2k? ?


??
2? ?
k?Z

奇 ↗ ? k? ?

? 3? ? ? ↘ ?2k? ? ,2k? ? ? 2 2 ? ?
x ? k? ?
( k? , 0 )

↘ ?2k? ,2k? ? ? ? ↗ ?2k? ? ? ,2k? ?
k?Z x ? k?

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

k?Z

对称轴 对称中心

?
2

(k? ?

?
2

,0)

(

k? , 0) 2

17、图象变换法则: (1)相位

(2)周期

(3)振幅变换

? 3? 18、 画图象 y=Asin ( ?x ? ? ) 是把 ?x ? ? 看成一个整体, 使之取五个特殊值: 0, , ?, , 2 2 2?;分别得到 x、y 的值。一般地: ?x ? ? 0 2? ? ? 3?
2 2

x y

X1 0

X2 A

X3 0

X4 -A

X5 0

根据五个点的求法ω X1+ ? =0,ω X2+ ? =

? 3? ,ω X3+ ? =?,ω X4+ ? = 2 2 ω X5+ ? =2? 知其中两个特殊点,可求ω 、 ?

一般方法:由图象可知周期T,A;由T求ω ( T ? 的图象上升的零点的横坐标 X0;令ω x0+ ? =0

2?

?

)确定φ 时,若能求出离原点最近

19、三角函数的周期:①、 y ? A sin(?x ? ? ) 、 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期 T ? 2? ? ②、 y ? A | sin(? x ? ? ) | 、 y ? A | cos(? x ? ? ) |

11

y ? A | tan(? x ? ? ) | y ? A tan(?x ? ? ) 的周期 T ? ?

?

如果函数名多于一个,则先化简三角函数关系式,使之变为一个函数名 20 、 齐 次 式 : 形 如 a sin ? ? b cos ?和a sin 2 ? ? b sin ? cos ? ? c cos 2 ? 的 式 子 分 别 称 为 关 于

sin ?、 cos ? 的一次齐次式和二次齐次式。将这一类题变换为含 tan ? 的函数式,可简化解
题过程。在求值,证明恒等式,求最值方面有应用。 21、三角函数的奇偶性: (1)函数 y ? A sin(?x ? ? ) 为奇函数的充要条件 ? ? k?、k ? Z 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 为偶函数的充要条件 ? ? k? ? (2)函数 y ? A cos(?x ? ? ) 为奇函数的充要条件 ? ? k? ?

?
2

、k ? Z
、k ? Z

?

2 函数 y ? A cos(?x ? ? ) 为偶函数的充要条件 ? ? k?、k ? Z

(3)函数 y ? A tan(?x ? ? ) 为奇函数的充要条件 ? ?

k? 、k ? Z 2

22 、 对称轴与函数图象的交点必为函数取得最大值与最小值的点;对称轴 x ? x0 则必有

A sin(?x0 ? ? ) ? ? A .“零点”必为对称中心。 ( “零点”即为函数图像与 x 轴的交点)
23、复合函数的单调性: (1)函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0、 ? ? 0) 的单调的确定基本思想是把 ?x ? ? 看作一个整体比 如 : 2k? ?

?
2

? ?x ? ? ? 2k? ?

?
2

解 出

x , 所 得 区 间 为 增 区 间 ;

2k? ?

?
2

? ?x ? ? ? 2k? ?

3? 解出 x,所得区间为减区间。 2

(2)函数 y ? A sin(?? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 可用诱导公式将函数变为

y ? ? A sin(? x ? ? ) 则 y ? A sin(? x ? ? ) 的增区间为原函数的减区间;
减区间为原函数的增区间。 24、最值: (1) y ? a sin x ? b cos x 型可化为 y ?

a 2 ? b 2 sin( x ? ? )其中 tan ? ?

b a

降次、整理 (2) y ? a sin2 ? ? b sin ? cos ? ? c cos2 ?型 ???? ? y ? Asin 2x ? B cos 2x

(3) y ? a sin x ? b cos x ? c ?? ? 转化为二次函数最值(配方法)
2

12

(4) sin x ? cos x、sinxcosx同时出现(换原型)

a sin x ? c 型的函数的最值(利用三角函数的有界性) b cos x ? d 第五章 向量 ? ? ? ? 1、定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ?a
(5) y ? 2、平面向量基本定理: 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一 向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2 e2 。 3、向量加法 (1)平行四边形法则:以 A 为起点的两个向量为邻边作平行 四边形 ABCD,则以 A 为起点的对角线 AC 就是 a 与 b 的和。 (2)三角形法则: 4、向量减法三角形法则:在平面内任取一点,作 OA ? a 、 OB ? b 则 BA ? OA ? OB ? a ? b 5、如果设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a // b ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 6、设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 7、 a ? ( x, y) 则 a

? ?

?

?

?

?

? ? ? ? a ? b ? a ? b ? x1x2 ? y1y2 ? 0

?

?2

? ? ? ? a ? a ? x2 ? y2 , a ? x2 ? y2 。

? ? ? ? a ? b ? a ? b ? cos? , (0 ? ? ? ? )
8、 a ? b 的几何意义: a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上投影 b cos ? 的乘积

? ?

?

?

?

?

?

? ? a ( x, y) 9、非零向量 a ? ( x, y) 的单位向量为 ? ? 或 ? a x2 ? y 2
10、若 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) 11、若 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? 普通语言

??? ?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
向量语言
13

图形语言

A、B、C三点共线
B C O A

??? ? ??? ? ???? OC ? ?OA ? (1? ?)OB,
或BC ? ? BA(? ? R)

点C是线段 AB 的中 点
O

B C A

1 (OA ? OB) ? OC 2

点 C 是 ?AOB 的角 平分线上

B

OC ? ? (
C A

OA

| OA | ? ?[0,?? )

?

OB | OB |

)

O

直线 AB 的斜率为

n m
A

a
B

直线的方向向量为

a ? (m, n)(m ? 0)

12、 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 则 a 与 b 的夹角为锐角 ? ?

?a ? b ? 0 ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0

??? ? ???? ? P P 1 ? ? ???? 13、 P 分有向线段 PP 1 2 所成的比: PP2 P 点的位置与 ? 的关系 P1 P
?1 ? ? ? 0 ? ? 0

P2

? ?0 ? 不存在 ? ? ?1 内分为正外分为负 14、定比分点坐标公式 : P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y)
x? x1 ? ?x2 y ? ?y 2 ? ? ?1 ) ,y ? 1 (? 为 P 分P , 1P 2 的定比,且 1? ? 1? ? x1 ? x 2 y ? y2 ,y ? 1 2 2
x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3
14

P 为中点时, x ?

15、 三角形的重心坐标公式 : △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 )、C(x3 ,y3 ), 则△ABC 的重心的坐标是 G (

16、平移公式:设 P( x, y) 为图形 F 上任一点,它按向量 a ? (h, k ) 平移后的图形 F ? 上的对应 点 P' ( x' , y ' ) ,则有 ?

?

? x? ? x ? h ? 在 P( x, y) , P' ( x' , y ' ) ,及 a ? (h, k ) 中,已知其中二个, ? y? ? y ? k

可求另外一个,但要注意顺序性。 17、正弦定理:

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C

变式: (2) a : b : c ? sin A : sin B : sin C

(1) a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C (3) sin A ?
2

a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R
2 2

余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A , cos B ?

a2 ? c2 ? b2 2ac
A? B C ? cos 2 2

18、在 ?ABC 中, sin( A ? B) ? sin C, cos(A ? B) ? ? cosC, sin 19、三角形面积定理: (1) S ?

1 a ? ha ( ha 表示 a 边上的高) 2 1 1 1 abc (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B ? 2 2 2 4R 1 (3) S ? r ( a ? b ? c ) ( r 为内切圆半径) 2 20、在 ?ABC 中 A ? B ? a ? b ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? sin A ? sin B
21、在 ?ABC 中,设 a 为最大边: a ? b ? c ?A= 90 ? ?ABC 为直角三角形
2 2 2 0

a 2 ? b 2 ? c 2 ? c o sA ? 0 ? A ? 900 ? ?ABC 为钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? c o sA ? 0 ? A ? 900 ? ?ABC 为锐角三角形
22、 (1)在 ?ABC 中,A、B、C 成等差数列 ? B ? 60
0

(2) ?ABC 是正三角形 ? A、B、C 成等差数列,且 a、b、c 成等比数列

第六章 不等式
1、均值不等式定理及其重要变形

15

? ?a 2 ? b 2 ? 2ab ? ? ( a, b ? R ) ? ? a ? b ? 2 ab ? ? (a ? 0, b ? 0) ?

? a2 ? b2 ab ? ? ? 2 ? 2 a ? b a ? b2 ?( )2 ? ? 2 ? 2 a?b 2 ab ? ( ) 2

不等式链:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2

(一正二定三相等)以上不等式当且仅当 a ? b 时取等号 2、 a ? b ? a ? b ? a ? b 3、 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc
a ? b, ab ? 0 ? 1 1 ? a b

a, b, m ? R ?且a ? b, 则

a?m a ? ; b?m b

4、比较两个式子的大小 (1)比差法:作差—变形—判断(与 0 比较) (2)比商法:作商—变形—判断(与 1 比较) 5、数轴标根法: (1)分解因式后各因式中的 x 的系数为正 (2)奇次重根—穿而过,偶次重根过而不穿 (3)数轴上最右边区间为“+” ,规律为“+” “ ? ”交替 例: f ( x) ? ( x ? x1 )3 ( x ? x2 )2

x1

x2

6 、解含字母参数的一元二次不等式 ( x ? a)(x ? b) ? 0 或 ( x ? a)(x ? b) ? 0 时,要注意讨论

a与b 的大小。如果平方项系数含有参数,则一般要对该参数与 0 的大小讨论,并要讨论系数
为零的情况,另外还要对△的符号,根的大小进行讨论。 7、含绝对值不等式的解法:关键去掉绝对值,常用方法是定义法和平方法 (1) | x |? a(a ? 0) ? x ? a, 或x ? ?a ; | x |? a(a ? 0) ? ?a ? x ? a . (2) | f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

| f ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x)
(3) | f ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)
2 2

(4) m ?| ax ? b |? n ? m ? ax ? b ? n, 或 ? n ? ax ? b ? ?m (5) ( x ? a) 2 ? b(b ? 0) ?| x ? a |? b ; ( x ? a)2 ? b(b ? 0) ?| x ? a |? b
16

(6) | a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b | (7)形如 | x ? a | ? | x ? b |? m 或 | x ? a | ? | x ? b |? m(m ? 0) 可利用零点分段法求解或利用 实数绝对值的几何意义求解较简便。 8、简单分式不等式的解法: (1)

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x)

(2)

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0且g ( x) ? 0 g ( x)

(3)

f ( x) ? a(a 为常数):移项后通分,可转化为(1) g ( x)
?a f ( x ) ? a g ( x ) ? a ?1 ?a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ; (2) ? ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ? a ?1

9、指数不等式(1) ? 10、对数不等式 (1) ?

?a ? 1 ?0 ? a ? 1 ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) (2) ?? ?? ? ?loga f ( x) ? loga g ( x) ? g ( x) ? 0 ?loga f ( x) ? loga g ( x) ? f ( x) ? 0

第七章 直线与圆
1、①、直线的倾斜角的概念:当直线和 x 轴相交时,把 x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线 重合时所转的最小正角。 ②、倾斜角的范围: 0 ? ? ? 180 ,
0 0

K

③、 当直线倾斜角为 90 时, 直线的斜率不存在。

0

? ④、斜率与倾斜角关系图: k ? tan ? ⑤、 “截距” :可正、可负,也可以是零。 ⑥、x 轴截距是直线与 x 轴的交点的横坐标; y 轴截距是直线与 y 轴交点的纵坐标。 ⑦、直线的方向向量:直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量。
⑧、直线方程的几种形式: (1)斜截式: y ? kx ? b (不含垂直 x 轴的直线) (2)点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (不含直线 x ? x1 ) (3)两点式:

0

? 2

?

y ? y1 x ? x1 ? (不含直线 x ? x1 和 y ? y1 ) y 2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ? 1 (不含垂直坐标轴的直线和过原点的直线) a b
17

(4)截距式:

A

C B D

(5)一般式: Ax ? By ? C ? 0 2、角平分线性质定理:已知:AD 平分角 ?BAC 则

| AB | | BD | ? | AC | | DC |

3、直线的斜率公式

k?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

, ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) 是直线上的任意两点且 x1 ≠ x2

4、倾斜角与斜率的关系

k ? 0 时, ? ? arctan k ;

k?0

时, ? ? ? ? arctan k

5、两条直线的位置关系:相交、平行、重合 L1: A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 平行 垂直 重合 相交

( A1 ? B1 ? C1 ? 0) ( A2 ? B2 ? C2 ? 0)

L1: y=k1 x + b1 L2: y=k2 x + b2

A1 B C ? 1 ? 1 A2 B2 C2

k1 ? k 2 且 b1 ? b2 k1 ? k2 ? ?1 k1 ? k 2 且 b1 ? b2 k1 ? k 2

A1A2+B1B2=0
A B C 1 ? 1 ? 1 A2 B2 C2 A1 B ? 1 A2 B2

如果有一些系数为 0,则可直接判断,也可以变为不含分母的式子从而变为充要条件.

l1 ∥ l 2 ? ?

? A1 B2 ? A2 B1 ? B1C2 ? C1 B2或A1C2 ? A2C1

l1 ⊥ l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0
? Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

6、点与直线的位置关系:

P( x 0 , y 0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离公式 d

7、两条平行直线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离 d ? 注意:运用这个公式的条件是 x、y 的系数必须相等。

C2 ? C1 A2 ? B 2

.8、直线系: (1)与 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线方程: Ax ? By ? C1 ? 0 ( C1 ? C ) (2)与 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线方程: Bx ? Ay ? C2 ? 0

18

( 3 ) 过

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的 交 点 的 直 线 方 程

( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ? ? R且不包括直线 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

9、点 A 关于直线 l 的对称点为 B 则 ?

?k AB ? kl ? ?1 ? AB的中点在直线l上

10、直线 l1 到 l 2 的角:直线 l1 按逆时针方向旋转到与 l 2 重合时所转的角,叫做 l1 到 l 2 的角. 11、到角与夹角公式: 设 l1 到 l 2 的角为 ? ,则 tan ? 设 l1 与 l 2 的夹角为 ? ,则 tan ?
? k 2 ? k1 1 ? k1 k 2
k 2 ? k1 1 ? k1 k 2

(1 ? k1k 2 ≠0)(有方向性) (1 ? k1k 2 ≠0)

?

12、线性规划问题一般步骤: (求线性目标函数 Z ? ax ? by 的最大值或最小值) (1)由线性约束条件,画出可行域; (2)令 Z=0,根据平行方法找出最优解对应点; (3)求出对应点的坐标,再代入目标函数求出最值。 13、 .线性规划:若围成可行域的直线 l1,l2,?,ln 的斜率分别为 k1<k2<?<kn,而且目标函数的直线的 斜率为 k,则当 ki<k<ki+1 时,直线 li 与 li+1 的交点一般是最优解. 14、若 P(x0,y0)是圆 x2+y2=r2 上的一点,则过点 P 的切线方程为 x0x+y0y=r2 15、圆定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.,定点是圆心,定长是半径. 16、圆的方程 (1) 标准方程: 设圆心为 C(a,b)半径为 r,则圆的标准方程为(x–a)2+(y–b)2=r2 (2) 一般方程: 形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的二元二次方程,当 D2+E2-4F>0 时,叫做圆的一般方程, 化为标准式为(x+

D 2 E D2 ? E 2 ? 4F ) +(y+ )2= , 2 2 4

圆心为( ?

D E D2 ? E 2 ? 4F , ? ),半径为 2 2 2

(3) 圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为 ? 17、直线与圆的位置关系

? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数) ? y ? b ? r sin ?

19

?? ? 0 ? 相交 ? 判定方法: (1)代数法:判别式 ? ? b ? 4ac ? ? ? 0 ? 相切 ?? ? 0 ? 相离 ?
2

?d<R ? 相交 ? (2)几何法:圆心到直线的距离 d ?d=R ? 相切 ?d>R ? 相离 ?
18、二元二次方程: Ax2 ? By2 ? Cxy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是:
2 2 (1)A=B ? 0 (2)C=0(3) D ? E ? 4 AF ? 0

19、当直线和圆相切时,求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径,求切线长一般用切线、 半径及圆外与圆心连线构成直角三角形; 与圆相交时,弦长= 2 r 2 ? d 2 (d 为圆心到直线的距离)

第八章

圆锥曲线

1、椭圆的定义:平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于定长(定长大于两定点间距离)的点的轨 迹叫做椭圆.这两个定点 F1,F2 叫做焦点,定点间的距离叫焦距.

x2 y 2 2、椭圆的标准方程(1) 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 焦点:F1(-c,0), F2(c,0), a b
(2)

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 焦点:F1(0,-c), F2(0,c),其中 c ? a2 ? b2 . 2 a b

3、椭圆的参数方程 ?

? x ? a cos ? ,( ? 为参数) ? y ? b sin ?

4、焦半径定义:圆锥曲线上任一点到焦点的连线的长度。 5、椭圆的焦半径公式:设 F1 、 F2 为椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上一点,则 | PF 1 |? a ? ex0 ) | PF 1 |? a ? ex0 (e 为椭圆的离心率, x0 为 P 的横坐标;记:左“+”右“—” 6、焦点到椭圆上的点的最短距离为 a ? c ,最大距离为 a ? c 证明: | PF 1 |? a ? ex0 ( ?a ? x0 ? a ) (2)当 x0 ? ?a 时, | PF1 |? a ? (1)当 x0 ? a 时, | PF1 |? a ?

c ?a ? a ?c a

c ? (?a) ? a ? c a
20

7、双曲线的定义:平面内到两定点 F1,F2 的距离的差的绝对值为定值(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫 双曲线,其中两定点为焦点,两焦点之间的距离为焦距. 8、双曲线几何性质 方程

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a 2 b2
焦点在 x 轴上

y 2 x2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a 2 b2
焦点在 y 轴上

图形

离心率 准线方程

e?

c ?1 a

e?

c ?1 a

a2 x?? c
y??
2 2 2

a2 y?? c
y?? a x b

渐近线方程

b x a

9、等轴双曲线: x ? y ? ?a (a ? 0) .渐近线方程为: x ? ? y; 离心率: e ?

2.

10、 与

x2 y 2 x2 y 2 ? ? k (k ? R, k ? 0) ,这种设法可简化 ? ? 1 有公共渐近线的双曲线系方程是 a 2 b2 a 2 b2

运算、避免不必要的讨论。 11、焦点三角形(椭圆或双曲线上一点与焦点构成三角形)的面积公式(在椭圆中 S ? b ? tan
2

?
2

,

在双曲线中 S ? b ? cot
2

?
2

, ? 是曲线上的点对两焦点的张角)

2 12、抛物线的方程 y ? 2 px( p ? 0) 。其中 p ? 0 表示焦点 F 到准线 l 的距离 FM ? p 。

记忆: (1)抛物线的焦点的非零坐标就是一次项系数的四分之一。 (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同,一次项系数的符号决定抛物线的 开口方向. 14、焦半径公式: MF ? MN ? x0 ?
2

p 2

15、抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的过焦点的弦长为|AB|,其中 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )
21

则(1)|AB|= x1 ? x2 ? p

(2) y1 ? y2 ? ? p 2

16、通径:椭圆、双曲线、抛物线与过焦点且垂直于对称轴的直线相交于 AB,|AB|称为通径, 椭圆、双曲线通径: AB ?

2b 2 ;抛物线通径: AB ? 2 p 。 a

17、 圆锥曲线的统一定义, 即到定点和定直线的距离之比等于常数 e 的点的轨迹, 当 e ? (0,1) 时, 表示椭圆;当 e ? (1, ??) 时,表示双曲线;当 e ? 1 时,表示抛物线。 18、直线与圆锥曲线 (1) 涉及弦长的问题中,应熟练地利用韦达定理,设而不求计算弦长;涉及垂直关系 往往也是利用韦达定理,设而不求简化运算。 (2) 涉及弦长的中点问题,常用“差分法” 设而不求,将弦所在直线的斜率,弦的中 点坐标联系起来,相互转化。 19、直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系:相交、相切、相离。 判定方法:联立方程组消元得:ax2+bx+c=0 (1) a ? 0 时, ? > 0 ?相交; ? =0 ?相切; ? <0 ? 相离。 (2)a=0 时, l 与 C 只有一个交点。 若 C 为双曲线,当 l // 渐近线,则 l 与双曲线只有一个交点; 若 C 为抛物线,当 l // 抛物线对称轴 ,则 l 与抛物线只有一个交点。 注意:直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能 相交。 20、弦长公式:设弦 AB 端点坐标 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,直线的斜率为 k ,则
2 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 = (1 ? k 2 ) ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ?

= 1?

1 1 y1 ? y2 = (1 ? 2 ) ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 2 ? ( k ? 0) k k ?

第九章立体几何
??? ? 线面 ??? ??? ? 面面 网络:线线 ??? ? ?
判定 性质 判定 性质

1、异面直线判定定理: 过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线。 2、直线与直线平行的判定:
22

(1)定义法 (2) 线面平行性质定理: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 则这条直线就和交线平行。即“线面平行,则线线平行” 。

? ? a // ? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
(3) 平行公理: 平行于同一条直线的两条直线平行。

a // ?

a // b? ? ? a // c b // c ?
(4)如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 a

a ? ?? ? ? a // b b ???

(5)面面平行性质定理:如果两个平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行。

?

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

3、直线与平面平行的判定 (1)定义法 (2)判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行。
a ? ?? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

(3) 两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行另一个平面。

? // ? ? ? ? a // ? a ? ??

4、平面与平面平行的判定; (1)定义法 (2 判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
a, b ? ? ? a ? b ? o? ? ? ? ? // ? a // ? ? ? b // ? ?
23

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 a ??? ? ? ? // ? a ? ?? 5、直线与直线垂直的判定: (1) 如果一条直线与平面垂直,则这条直线就和这个平面内任意一条直线都垂直。

a ? ?? ??a ?b b ???
(2) 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也 和这条斜线垂直。
? ? PO是?的斜线? ? ? a ? PO a? ? ? ? a ? AO ? PA ? ?

(3) 三垂线定理逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也 和这条斜线的射影垂直。
? ? PO是?的斜线? ? a?? ? ? a ? AO ? a ? PO ? ? ? PA ? ?

小结:运用三垂线定理及逆定理的步骤: 确定平面 ?做出垂线 ?找到斜线 ?连成射影 ?查面内线,其关键是确定平面及平面的垂线。 6、直线与平面垂直的判定: (1) 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这 个平面。
m ?? ? ? n ?? ? ? m ? n ? o? ? a ? ? ? a ? m ? ? a ? n ?

(2)如果两条直线平行,其中一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面。 a

a // b ? ?? a ?? b ???

(3)一条直线垂直于两个平行平面的一个平面,它也垂直于另一个平面。
24

a ? ?? ??a ? ? ? // ? ?
(4) 面面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直 于另一个平面。

? ? ? ? ? a ? ? ? ?? a ?? ? ? ? ? b?
a ? b ? ?

(5) 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面。

? ?? ? ? ? ?? ??a ?? ? ? ? ? a? ?
7、平面与平面垂直的判定: (1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,则这两个平面互相垂直。 (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

a ? ?? ? ?? ? ? a ???
8、异面直线所成的角. (1)范围是(0?,90?]; (2)求解的一般方法有:①平移法;②补形法. 9、直线与平面所成的角. (1)范围是[0?,90?]; (2)最小值定理: 平面的斜线和平面所成的角是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中 最小的角. B (3)“三余弦”定理:如图所示,AB 和平面 M 所成的角是α , AC 在平面 M 内,AC 和 AB 在平面 M 内的射影 AB1 所成的角是β , A B1 设∠BAC=θ ,则α ,β ,θ 满足关系 cosθ =cosα ·cosβ . M D C (4)从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,使斜射线和这个角两边的夹角相等,求证斜 线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线。(数学第二册下第 29 页) (5)求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这 个角的平分线所在的直线上。(同上 26 页) 10、二面角.二面角的大小是用它的平面角θ 来度量的.当两个半平面相交时 0?<θ <180?. 11、求空间角的步骤:(1)找出或作出有关的图形;(2)证明它符合定义;(3)计算。 12、二面角的平面角的常见作法 (1)定义法:二面角α - l -β ,O 是 l 上任一点, β B 在面α 、β 内作:OA⊥ l ,OB⊥ l ,则∠AOB 是二面 图1 l O
25

角α - l -β 的平面角.且有 l ⊥平面 AOB。(图 1 所示 ) α A (2)垂面法:自二面角一点分别向这个二面角的两个面引垂线,则它们所成的角与这个二面角 的平面角互补。(数学第二册下第 39 页)(图 2 所示) (3)三垂线定理或逆定理法: (4)对称法: 二面角的两个平面是由两个有公共底的等腰三角形组成的, 或有公共底的等腰梯形; 或者一个是等腰三角形,另一个是等腰梯形且有公共底。在作二面角的平面角时,通常是取底 边的中点,连结顶点,利用等腰三角形(或梯形)的对称性可以得出垂直。 (5)全等三角形(全等图形)法:在正棱锥或特殊的斜三棱柱中,研究相邻两侧面所组成 的二面角的大小时,经常在一个侧面上过一个顶点作侧棱的垂线,连结相关顶点则可以利用 全等三角形的方法证明所连结的线也垂直该棱。 (6)利用射影面积求二面角:在缺棱的前提下,研究一个平面图形γ 在另一个平面内的射影 的平面图形γ ?,设γ 的面积为 S,γ ?的面积为 S 影 ,所成的二面角大小为θ ,则 cos? ? 注意:一定要指出线面垂直,然后设角写公式。 13、特殊的四棱柱分类: 四棱柱

S影 S



底面是平 侧棱垂直 底面是 平行六面体 直平行六面体 长 于底面 矩形 行四边形

方体

底面为 侧棱与底面 正四棱柱 正方体 正方形 边长相等

14、棱锥的平行于底面的截面的性质: 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面 相似,并且它们面积的比等于截得的棱锥的高的平方的比。 15、三棱锥 P—ABC 顶点 P 在底面 ABC 内的射影 O 的位置: (1)三条侧棱相等(外心) (2)侧棱和底面所成的角相等(外心) (3)侧面与底面所成的 角相等(内心) (4)三条侧棱两两垂直(垂心) (5)相对棱互相垂直(垂心) 16、两点的球面距离的定义:在球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在 这两点间的一段劣弧的长度叫做这两点的球面距离。 计算球面上 A、B 两点间的球面距离的一般步骤: (1)计算线段 AB 的长 (2)计算 A、B 对球心 O 的张角 ?AOB (3)计算大圆弧 LAB ?

? ? R (其中 ? 为 ?AOB 的弧度数,R 为球的半径)
6 6 a, a 4 12

17、正四面体棱长为 a,则其外接球和内切球半径分别为

第十章 排列组合
m 1、排列数公式: An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) 即 An ?
m

n! (n ? m)!

26

m 2、组合数公式 Cn ?

m An n! n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1) m ,即 Cn ? ? m m !(n ? m)! Am m!

m 3、 组合数性质: Cn ? Cnn?

m

m m m ?1 Cn ?1 ? Cn ? Cn

4、排列与组合的共同点:就是都要“从 n 个不同元素中,任取 m 个元素” 不同点:排列是“按照一定的顺序排成一列”——有序 组合是“不论怎么样的顺序并成一组”——无序 5、在解排列组合综合题时,常见的解题策略有以下几种: (1)特殊元素优先安排的策略。 (2)合理分类与准确分步的策略。 (3)排列、组合混合问题先选后排的策略。 (4)正难则反、等价转化的策略。 (5)相邻问题捆绑处理的策略。 (6)不相邻问题插空处理的策略。 (7)定序问题除法处理的策略。 (8)分排问题直排处理的策略。 (9) “小集团”排列问题中先整体后局部的策略。 6、二项式定理
0 n 1 n-1 r n-r r n n (a+b)n= C n a + Cn a b+?+ C n a b +?+ C n b (n∈N)

r 右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式,其中的系数 C n (r=0,1,?,n)叫做二项式系数,式 r n-r r r n-r r 中的第 r+1 项 C n a b 叫做二项展开式的通项,记作 Tr+1= C n a b

注意:①(a+b)n 的展开式共有 n+1 项;②(a+b)n 的展开式中各项均为 a 与 b 的 n 次齐次式, 其中 a 的指数由 n 逐项减少到 0,b 的指数由 0 逐项增加到 n;③要注意区分二项式系数与每一 项系数的不同意义。 7、二项展开式的性质 在二项展开式中,与首末两端“等距离的两项的二项式系数相等” ,即
0 n 1 n ?1 k n?k ① Cn = Cn , Cn = Cn ,?, C n = Cn

② 如果 n 是偶数,则中间一项(第 (第

n +1 项)的二项式系数最大;如果 n 为奇数,则中间两项 2

n ?1 n ?1 项与 +1 项)的二项式系数相等并且最大。 2 2

0 1 n ③ 所有二项式系数的和等于 2n 即 C n + Cn +?+ C n =2n。

④ 奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等。即:
0 2 1 3 + Cn +?= C n + Cn +?=2n-1 Cn

8、二项式定理的应用: (1)利用通项公式求指定项 (2)二项式定理的逆用 (3)赋值法:例如求二项式所有项的系数和,通常令字母变量的值为 1 (4)整除问题 (5)近似值计算
27

r n ?r r r ?1 n?r ?1 r ?1 r n ?r r r ?1 n?r ?1 r ?1 (6)求最大项:设第 r ? 1 项最大 Cn a b ? Cn a b , Cn a b ? Cn a b

第十一章

概率
m 总是接近于某个常数,在它附近摆动, n

1、在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率

这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A) ,0≤P(A)≤1。 2、在一定的条件下必然要发生的事件称为必然事件 P(A)=1 3、在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件,P(A)=0 4、在一条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件 0<P(A)<1 5、 等可能性事件的概率: 如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的

m n 6、互斥事件的概念:不可能同时发生的两个事件

结果有 m 种,那么事件 A 的概率 p ( A) ?

互斥事件的概率: p( A ? B) ? p( A) ? p( B) 7、对立事件的概念:其中必有一个发生的互斥事件 对立事件的概率: p( A) ? p( A) ? 1 8、对立事件与互斥事件的区别:互斥事件不一定是对立,对立事件一定互斥
9、相互独立事件:事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响。 相互独立事件同时发生的概率: p( A ? B) ? p( A) ? p( B) 10、独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复
k k 事件中,这个事件恰好发生 k 次的概率: pn (k ) ? Cn p (1 ? p)n?k

11、 常见事件与概率间的关系: 已知两个事件 A、 B, 它们的概率为 P(A)、 P(B), 都发生记为 A ? B , 都 不 发 生 记 为 A ? B , 恰 有 一 个 发 生 记 为 A? B ? A? B , 至 多 有 一 个 发 生 记 为

A ? B ? A ? B ? A ? B ,至少有一个发生记为 A ? B ? A ? B ? A ? B ,

第十二章

概率与统计

1、一般地,若离散型随机变量 ? 的分布列为

??? ???

?
p

x1 p1

x2
p2

??? ???

xn
pn

??? ???

则期望 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ???xn pn ? ??? ,
28

方差 D? ? ( x1 ? E? )2 p1 ? ( x2 ? E? )2 p2 ???? ? ( xn ? E? )2 pn ???? 标准差 ?? ?

D? , E(a? ? b) ? aE? ? b , D(a? ? b) ? a2 D? 。

2、二项分布。如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件 恰好发生 k 次的概率是 P(? ? k ) ? cn k pk qn?k , (其中 k ? 0,1, ???n, q ? 1 ? p ),于是得到随机变 量 ? 的概率分布如下:

?
P

0

1

???
???

k

???
???

n

cno p0qn

cn1 p1q n?1

cnk pk qn?k

cnn pn q0

随机变量 ? 服从二项分布,记作 ? ~B(n,p) ,n , p 为参数,则 E? ? np , D? ? npq ,q = 1 ? p 3、几何分布 在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作试验的次数为 ? , "? ? k " 表示在 第 k 次独立重复试验中时事件第一次发生, ? 的概率分布如下:

?
P

1 P

2

3

???
???

k

???
???

qp

q2 p

q k ?1 p

若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ,则 E? ?

1 q , D? ? 2 p p

第十三章 极限
1、数学归纳法证明命题步骤及注意事项 (1) 步骤:①证明当 n 取第一个值 n0 (若 n = 1 或 2)时命题正确; ②假设当 n=k (k ? N *且k ? n0 ) 时命题正确, 证明当 n = k + 1 时命题也正确。 在完成了以 上两个步骤后,就可以断定命题对与从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。 2、极限的四则运算 如果 lim an ? a , lim bn ? b ,那么 lim(an ? bn ) ? a ? b
n ?? n ?? n ??

lim( an ? bn ) ? ab ; lim
n ??

an a ? (b ? 0) ; lim(c ? an ) ? ca n ?? n ?? b b n
29

(c 为常数)

3、几个常用的数列极限 ① lim c ? c
n ??

(c 为常数) ② lim
n

1 ? 0 ③ lim q n ? 0 (q 为常数,且 q <1) n ?? n n ??
n n ??

注:当 q=1 时, lim q ? 1 ; 当 q ? ?1或 q ? 1 时, lim q 不存在。
n ??

两个等价命题:① lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a
x ? x0 x ? x0 x ? x0

此命题也作为判断函数在一点处有无极限的重要工具。 ② lim f ( x) ? lim f ( x) ? a ? lim f ( x) ? a
x ??? x ??? x ??

4、函数极限的两种类型 分子与分母均是 x 的多项式时, x ?? 的极限,分式呈

? 型,则 ?

? a0 ?b 0 k k ?1 a0 x ? a1 x ? ??? ? ak ? ? lim ? ?0 x ?? b x l ? bx l ?1 ? ??? ? a 0 l ?不存在 ? ? ?

当k ? l时 当l ? k时 当l<k时

其中 ai , bi 与 x 无关的常数,k, l 为自然数,且 a 0 ? 0, b0 ? 0 ②分子与分母均是 x 的多项式时, x ? x0 的极限,分式呈 不为零,再用代入法 5、函数 f ( x) 在点 x0 处连续必须满足三个条件:(1)函数 f ( x) 在点 x= x0 处有定义 (2) lim f ( x )
x ? x0

0 型,则先化简,转化为分母 0

存在 (3) lim f ( x) ? f ( x0 ) 。 如果上述条件中有一个不成立,函数 f ( x) 在点 x0 处就不连续。
x ? x0

第十四章 导数
1、 导数的概念如果函数 y=?(x)在 x0 处的增量△y 与自变量的增量△x 的比值, 当△x→0 时的极 限 lim
?x0 ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 存在,则称?(x)在点 x0 处可导,并称此极限值为函数 y= ? x ? 0 0 ?x ?x
'

?(x)在点 x0 处的导数,记为 i y ? f ' ( x0 ) 或 y |x? x0 2、 导数的几何意义 (1) 设函数 y=?(x)在点 x0 处可导, 那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点 M (x0,y0) 处的切线斜率 (2)设 S=S(t)是位移函数,则 S/(t0)表示物体在 t= t0 时刻的瞬时速度。 (3)设 V=V(t)是速度函数,则 V/(t0)表示物体在 t= t0 时刻的加速度。
30

3、几种常见函数导数 ④ (cos x)' ? ? sin x ⑩ ( x )' ?

① c ' ? 0 (c 为常数) ② ( x m )' ? mx m?1 (m ? Q) ⑤ (e x )' ? e x ⑥ (a x )' ? a x ln a ⑦

③ (sin x)' ? cos x ⑧ (loga x)' ?

(ln x)' ?

1 x

1 x ln a

1 1 ⑨ ( )' ? ? 2 x x 2 x

1

4、两个函数的四则运算的导数 ① (u ? V )' ? u ' ? V ' 5 、复合函数的导数

若 u ( x)、V ( x) 的导数存在,则

② (u ? V )' ? u ? V ' ? u 'V

u u 'V ? uV ' (V ? 0) ③ ( )' ? V V2

设 u ? ? ( x) 在点 x 处可导, y ? f (u ) 在点 u ? e( x) 处可导,则复合函数

f [? ( x)] 在点 x 处可导,且 f ' ( x) ? f ' (u) ? ? ' ( x) 即 y ' x ? y ' u ? u ' x
6、单调区间的求解过程:解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; 解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间。 7、求极大、极小值:已知 y ? f ( x) ①分析 y ? f ( x) 的定义域;②求导数 y ? ? f ?( x) ; ③求解方程 f ?( x) ? 0 (设有根 x1 , x2 ,?, xn ) ;④列表判断 n ? 1 个区间内导数的符号,如果 左正右负,那么在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么在这个根处取得极小值。 注意:f (x)=0 是 y ? f ( x) 取得极值的必要条件。 (即:f (x0)=0 不能得到当 x=x0 时,函
/ /

数有极值;但是,当 x=x0 时,函数有极值 ? f (x0)=0)
/

8、求函数在某闭区间[a,b]上的最大、最小值 9、导数的应用:

①②③同上;

④比较 f ( a ) 、 f ( x1 ), f ( x2 ),?, f ( xn ) 、 f (b) ,最大的为 f ( x)max ,最小的为 f ( x)min . (1)求切线的斜率。注意“曲线在点 P 处的切线”还是“曲线过点 P 的切线”的区别! (2)导数与函数的单调性的关系(较高要求,供参考) ① f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的充分不必要条件。 (? f ?( x) ? 0 能推出 f ( x) 为增函数,但反
3 之不一定。如函数 f ( x) ? x 在 (??,??) 上单调递增,但 f ?( x) ? 0 ) 。

② f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为 增 函 数 的 必 要 不 充 分 条 件 。 ( ? f ( x) 为 增 函 数 , 一 定 可 以 推 出

f ?( x) ? 0 ,但反之不一定,因为 f ?( x) ? 0 ,即为 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 。当函数在某个区 间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数,函数不具有单调性。 )
③当 f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的充分必要条件。 (? 若将 f ?( x) ? 0 的根作为 分界点,因为规定 f ?( x) ? 0 ,即除去了分界点,此时 f ( x) 为增函数,就一定有 f ?( x) ? 0 ) 。

第十五章

复数
31

1、复数的概念

虚数单位 i :① i 满足 i ? ?1 ;
2

②实数可以与 i 进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律依然成立; ③ i 的幂的周期性表现为 i
4n

? 1 , i 4n?1 ? i ; i 4n?2 ? ?1 ; i 4 n ?3 ? ?i (其中 n ? Z )

(1) 掌握复数分类系统表 复数 a ? bi

(a, b ? R)

? ?0(a ? 0, b ? 0) ?实数(b ? 0) ? ? ?非0实数(a ? 0, b ? 0) ? ? ?虚数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0, b ? 0) ? ? ?非纯虚数(a ? 0,b ? 0) ?

各数集之间的包含关系 N * 刎N

Z 刎Q

R

C。

a, b, c, d ? R 时, a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d , 特殊的 a ? bi ? 0 ? a ? 0, b ? 0 。
(2) 复数是纯虚数的条件 Z ? a ? bi是纯虚数 ? a ? 0且b ? 0(a, b ? R) 2、复数的加、减、乘、除法运算按以下法则进行 设 Z1 ? a ? bi, Z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R)

Z1 ? Z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i Z1 ? Z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i
Z1 ? Z 2 ? a ? bi ac ? bd bc ? ad ? ? i ( Z 2 ? 0) c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2
2

这些法则可以理解为关于 i 的二项式的四则运算,将 ?1 代换 i 后,再合并同类项;除法要先 要先分母实数化再计算分子。

32



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