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江西省会昌中学2014届高三数学上学期第二次月考试题 文 新人教A版



会昌中学 2014 届高三上学期第二次月考 数学(文)试题
第Ⅰ卷 考试用时:120 分钟 满分分值:150 分 命题人:朱庆华 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求)

1.复数

1? i 表示复平面内的点位于( 2?i

/>
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若双曲线 x ?
2

y2 ? 1的离心率是 2 ,则实数 k ? ( k
C.
2



A. 3

B. ?3

1 3

D. ?

1 3


3.函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ? x 的零点个数为( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
x x

4.已知命题 p:任意 x ? (0, ??) ,都有 3 ? 2 ,命题 q:存在 x ? (??, 0) ,使 3x ? 2 x , D. ?p 且 ?q ??? ???? ? ??? ? ??? ? ???? 5.已知向量 OA ? ? 3, ?4 ? , OB ? ? 6, ?3? ,OC ? ? 2m, m ? 1? .若 AB / /OC ,则实数 m 的值 为( A. ) 则下列命题为真命题的是( ) A. p 且 q B. p 且 ?q C. ?p 且 q

S S a a 6. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 5 ? 10 , 13 ? 104 , 等比数列 ?bn ? 中, 3 ? b3 , 7 ? b7 ,
则 b5 ? ( A.2 ) B. ?4 C. ?4 D.4

1 5

B. ?3

C. ?

3 5

D. ?

1 7

?3 x ? 4 y ? 19 ? 7.将一个质点随机投放在关于 x, y 的不等式组 ? x ? 1 所构成的三角形区域内,则该 ?y ?1 ?
质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是
1





A.

? 12

B.

? 6

C. 1 ?

? 12

D. 1 ?

? 6

8.左图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R ) 在区间 [?

? 5?

, ] 上的图象.为了得到这个函数的 6 6


图象,只需将 y ? sin x( x ? R ) 的图象上所有的点(

A.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原的

1 倍,纵坐标不变 2

B.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原的 2 倍,纵坐标不变

C.向左平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原的

1 倍,纵坐标不变 2

D.向左平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原的 2 倍,纵坐标不变

?a x ?5 ( x ? 6), ? * 9.已知函数 f ( x) ? ? 数列 ?an ? 满足 an ? f (n)(n ? N ) ,且 ?an ? 是单调 a ?(4 ? ) x ? 4 ( x ? 6), ? 2 递增数列,则实数 a 的取值范围是( )
A. ? 7,8 ? B. ?1,8 ? C. ? 4,8 ? D. ? 4, 7 ?

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在题中横线上)

2

15.已知 S n 是等差数列 {an }(n ? N ) 的前 n 项和,且 S6 ? S7 ? S5 ,有下列四个命题:①

?

d ? 0 ;② S11 ? 0 ;③ S12 ? 0 ;④数列 ? S n ? 中的最大项为 S11 ,其中正确命题的序号是
________. 三、解答题(本大题共 6 小题,16~19 题每小题各 12 分,20 题每小题 13 分,21 题每小题 14 分,共 75 分) 16.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ;
3 2

(1)若 f ( x ) 在 (? ,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增,求实数 a 的值; (2)当 a ?

1 3

3 1 时,求证:当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? . 2 2

17.已知函数 f ( x) ? (log 2 x ? 2)(log 4 x ? ). (1)当 x ? [2, 4] 时,求该函数的值域; (2)若 f ( x) ? m log 2 x对于x ? [4,16] 恒成立,求 m 的取值范围.

1 2

18.已知向量 m ? ( 3 sin

??

? ?? ? x x x ,1) , n ? (cos , cos 2 ) , f ( x) ? m ? n 4 4 4

(1)若 f ( x) ? 1 ,求 cos( x ?

?
3

) 的值; 1 c ? b ,求函 2

(2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,且满足 a cos C ?

3

数 f ( B) 的取值范围.

19.在数列 ?a n ?中,已知 a1 ?

1 an ?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N * ) . 4 an 4 4

(1)求数列 ?a n ?、 ?bn ? 的通项公式;

(2)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

20.如图,旅客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲、乙两位游客 从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min,在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆 车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度 为 130 m/min,山路 AC 长 1260 m,经测量, cos A ? (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发后多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

12 3 , cos C ? . 13 5

2 21.在数列 ? an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 S n 满足 Sn ? an ? Sn ?

? ?

1? ?. 2?

(1)证明: ?

?1? Sn (2)设 bn ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . ? 为等差数列,并求 an ; Sn ? 2n ? 1 ?

(3)是否存在自然数 m,使得对任意 n ? N * ,都有 Tn ? 的最

1 ? m ? 8? 成立?若存在求出 m 4

4

大值;若不存在,请说明理由。

5

高三年级文科数学试题参考答案 一、 选择题

二、填空题 11.

3 5

12.0

13.

2 3

14.4

15.①②

三、解答题 16.(1) a ? 1 ; (2)分析法。 17. (1)函数的值域为 [? ,0] ;(2) g (t ) min ? g (1) ? 0,? m ? 0.

1 8

x x 3 x 1 x 1 ?x ?? 1 2 x sin ? cos ? ? sin ? ? ? ? , 18.解:(1)? f ? x ? ? m ? n ? 3 sin cos ? cos ? 4 4 4 2 2 2 2 2 ?2 6? 2
而 f ? x ? ? 1,? sin ?

?? ?x ?? 1 ? ?x ?? ?x ?? 1 ? ? ? . ? cos ? x ? ? ? cos 2 ? ? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? ? . 3? ?2 6? 2 ? ?2 6? ?2 6? 2
1 a 2 ? b2 ? c 2 1 2 2 2 ? c ? b, 即 b ? c ? a ? bc,? cos A ? . 2 2ab 2

(2)? a cos C ? c ? b,? a ? 又? A ? ? 0, ? ? ,? A ?

1 2

?
3

又? 0 ? B ?

2? ? B ? ? ? 3? ,? ? ? ? , ? f ? B ? ? ?1, ? . 3 6 2 6 2 ? 2?
故 a2 ? , bn ? 3n ? 2(n ? N *) n

19. (1) 解: 由题意知, n ? ( ) (n ? N *) , bn ? 3g 又 a o l
n

1 4

1 4

1 ? cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n?1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4
(2)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N *)
n

1 4













3 1 1 1 1 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 . 4 4 4 4 4 4 2 4 2 3n ? 2 1 n ? Sn ? ? ? ( ) (n ? N *) 3 3 4

6

1260 ? 25.2 分钟,设乙总用时为 t min ,乙 50 1040 BC 步行的速度为 vm / min ,则 22.2 ? t ? 28.2 ,由题 t ? 2 ? ,在 ?ABC 中, ?1? 130 v 500 500 由 正 弦 定 理 求 得 BC ? 500 , ? t ? 11 ? ? [22.2, 28.2] , ? ? [11.2,17.2] , v v v 1 1 500 500 500 500 5000 5000 ? ?[ , ] , ? v ?[ , ] , ? v ?[ , ] , ? v ?[ , ], 500 17.2 11.2 17.2 11.2 17.2 11.2 172 112 5000 5000 3 9 ? v ?[ , ] ,? v ? [29 , 44 ] 172 112 43 14 3 答: 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制 29 m / min 43 9 到 44 m / min 内. 14
(3)甲走完长为 1260m 的山路 AC ,共需 解: (1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 , ∴ Sn 2 ? ( Sn ? Sn ?1 )( Sn ? ) ? Sn 2 ? ∴

1 2

1 1 Sn ? Sn Sn ?1 ? Sn ?1 ,∴ Sn?1 ? Sn ? 2Sn Sn ?1 , 2 2

?1? 1 1 ? ? 2 ,即数列 ? ? 为等差数列, S1 ? a1 ? 1 , Sn Sn?1 ? Sn ?



1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,∴ Sn ? Sn S1 2n ? 1

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ?

1 1 2 ? ?? , 2 n ? 1 2n ? 3 (2n ? 1) ? (2n ? 3)

7

?1, n ? 1 ? an ? ? 2 ?? (2n ? 1) ? (2n ? 3) , n ? 2 ?
(2) bn ?

1 1 1 1 Sn = ? ( ? ), 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1 2 2n ? 1 2 n ? 1

(3) Tn ?

1 n 1 4n (m ? 8) ? ? (m ? 8) ? m ? 8 ? ? m ?8? 4 2n ? 1 4 2n ? 1

4 2? 1 n

而8 ?

4 2? 1 n

是单增数列,其最小值为 8 ?

4 2? 1 1

?

28 28 , 即存在自然数 m , . 因此 m ? 3 3

使得对任意 n∈N*,都有 Tn ?

1 (m ? 8) 成立,且 m 的最大值为 9. 4

8



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