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统计.01随机抽样(A级)学生版



随机抽样

高考要求
内容 简单随机抽样 要求层次 B ① 理解随机抽样的必要性和重要性. 随机抽样 分层抽样和 系统抽样 A ② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本; 了解分层抽样和系统抽样方法 重难点

知识框架
简单的随机抽样 随机抽样 系统抽样 分成抽样

用样本的频率估计总体的分布 用样本

估计总体 统计 总体的数据特征

独立性检验 统计案例 回归分析

知识内容
MSDC 模块化分级讲义体系 高中数学.统计 01 随机抽样(A 级).学生版 Page 1 of 12

一.随机抽样
1.随机抽样:满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样,共有三种经常采用的随机抽样方法: (1)简单随机抽样:从元素个数为 N 的总体中不放回地抽取容量为 n 的样本,如果每一次抽取 时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到,这种抽样方法叫做简单随机抽样. 抽出办法: ①抽签法:用纸片或小球分别标号后抽签的方法. ②随机数表法:随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数 表.表中每一位置出现各个数字的可能性相同. 随机数表法是对样本进行编号后,按照一定的规律从随机数表中读数,并取出相应的样本的方法. 简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法. (2)系统抽样:将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个 个体,得到所需要的样本的抽样方法. 抽出办法:从元素个数为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,如果总体容量能被样本容量整除,设
k ? N n

,先对总体进行编号,号码从 1 到 N ,再从数字 1 到 k 中随机抽取一个数 s 作为起始数,然

? 后顺次抽取第 s ? k ,s ? 2 k , ,s ? ( n ? 1) k 个数,这样就得到容量为 n 的样本.如果总体容量不能

被样本容量整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样方法进行抽样. 系统抽样适用于大规模的抽样调查,由于抽样间隔相等,又被称为等距抽样. (3)分层抽样:当总体有明显差别的几部分组成时,要反映总体情况,常采用分层抽样,使总体中 各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分,每一部分叫做层,在各层中按层在总体中所 占比例进行简单随机抽样,这种抽样方法叫做分层抽样. 分层抽样的样本具有较强的代表性,而且各层抽样时,可灵活选用不同的抽样方法,应用广泛. 2.简单随机抽样必须具备下列特点: (1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 N 是有限的. (2)简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N . (3)简单随机样本是从总体中逐个抽取的. (4)简单随机抽样是一种不放回的抽样. (5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为
n N


? N n

3.系统抽样时,当总体个数 N 恰好是样本容量 n 的整数倍时,取 k 若
N n



不是整数时, 先从总体中随机地剔除几个个体, 使得总体中剩余的个体数能被样本容量 n 整除. 因
N n

为每个个体被剔除的机会相等,因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然相等,为



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例题精讲
1. 系统抽样
【例1】 关于简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法的叙述正确的是( A.三种抽样方法适用于对任何总体的抽样 B.从同一总体中抽取一个样本,采用的方法不同,每个个体被抽到的概率也不相同 C.分层抽样法是三种抽样方法中最好的 D.三种抽样方法有各自的特点,根据总体和所抽样本的情况,选择适当的抽样方法,更易于操 作,效果更好 )

【例2】 用系统抽样法(按等距离的规则)要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本, 160 名学生从 1~160 将 编号.按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,…,153~160 号),若第 16 组应抽出的号 码为 125,则第一组中按此抽签方法确定的号码是( A.7 B.5 C.4 ) D.3

【例3】 为了调查某产品的销售情况,销售部门从下属的 92 家销售连锁店中抽取 30 家了解情况.若用系 统抽样法,则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为(
2 A. 3 , 30 C. 2 , 3 B. 2 , 2 D. 30 ,

)

【例4】 用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生随机地从 1~160 编号,按 编号顺序平均分成 20 组( 1 ~ 8 号, 9 ~ 1 6 号,…, 153 ~ 160 号) ,若第 16 组抽出的号码为 126, 则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是___________.

【例5】 某单位有工程师 6 人,技术员 1 2 人,技工 1 8 人,要从这些人中抽取一个容量为 n 的样本;如果采 用系统抽样和分层抽样方法抽取,不用剔除个体;如果样本容量增加 1 个,则在采用系统抽样时, 需要在总体中先剔除 1 个个体,则样本容量为__ ____.

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【例6】 一个总体中有 100 个个体,随机编号 0 , 1 , 2 ,…, 99 ,依编号顺序平均分成 1 0 个小组,组号 依次为 1 , 2 , 3 ,…, 1 0 .现用系统抽样方法抽取一个容量为 1 0 的样本,规定如果在第 1 组随 机抽取的号码为 m ,那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m 在第 7 组中抽取的号码是 .
?k

的个位数字相同,若 m

?6

,则

【例7】 在 120 个零件中,一级品 24 个,二级品 36 个,三级品 60 个,用系统抽样方法从中抽取容量为 20 的样本,则三级品 a 被抽到的可能性为________.

【例8】 (2010 湖北)将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,… ,600.采用系统抽样疗法抽取 一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在第 1 营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次 为( ) B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17, 9

A.26,16,8

2.分层抽样
【例9】 (2010 北京 11)从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率 分布直方图 (如图)由图中数据可知 a .
?

. 若要从身高在[ 120 , 130)[130 , , 140) , [140 ,

150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在[140 ,150]内的 学生中选取的人数应为 .

【例10】 (2009 西城一模)某单位有 27 名老年人, 54 名中年人, 8 1 名青年人. 为了调查他们的身体情 况, 用分层抽样的方法从他们中抽取了 n 个人进行体检, 其中有 6 名老年人, 那么 n ?



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【例11】 ( 2 0 1 1 朝阳一模理)某校高三一班有学生 54 人,二班有学生 42 人,现在要用分层抽样的方法从 两个班抽出 16 人参加军训表演,则一班和二班分别被抽取的人数是( A.8,8 B.10,6 C.9,7 D.12,4 )

【例12】 某单位有职工 900 人,其中青年职工 450 人,中年职工 270 人,老年职工 180 人,为了了解该单 位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 10 人,则样本容 量为 .

【例13】 ( 2 0 1 1 东城一模理)从某地区随机抽取 100 名高中男生,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成 频率分布直方图(如图) 由图中数据可知体重的平均值为 . kg ; 若 要 从 身 高 在

[60, 70), [70, 80), [80, 90] 三组内的男生中,用分层抽样的方法选取 12 人参加一项活动,再从这

12 人选两人当正、副队长,则这两人身高不在同一组内的概率为
频率 组距 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 40 50 60 70 80 90 体重(kg)



【例14】 (2009 天津文) 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况, 拟采用分层抽样的方法从 A , B ,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查. 已知 A , B ,C 区中分别有 1 8 ,2 7 ,1 8 个工厂. 求从 A , B ,C 区 中应分别抽取的工厂个数;

【例15】 某学校有高一学生 720 人,现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方法,抽取 180 人进行英语水平测试. 已知抽取的高一学生数是抽取的高二学生数、 高三学生数的等差中项, 且高二年级抽取 40 人,则该校高三学生人数是( A.480
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) D.960
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B.640

C.800

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【例16】 某校有 5 0 0 名学生, A 型血的有 125 人, B 型血的有 125 人, A B 型血的有 50 人,为了研究血型 与色弱的关系,要从中抽取一个 20 人的样本,按分层抽样, O 型血应抽取的人数为____ 人.

【例17】 某高中在校学生 2 000 人,高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多 1 人.为了响应“阳光 体育运动”号召, 学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动. 每人都参加而且只参与了其中一项比赛, 各年级参与比赛人数情况如下表: 高一年级 跑步 登山
a

高二年级 b y

高三年级 c z

x

2 其中 a ∶ b ∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的满意程 5 度,从中抽取一个 200 人的样本进行调查,则高二年级参与跑步的学生中应抽取( A.36 人 B.60 人 C.24 人 D.30 人 )

【例18】 某校有老师 200 人,男学生 1 200 人,女学生 1 000 人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取 一个容量为 n 的样本;已知从女学生中抽取的人数为 80 人,则 n=________.

【例19】 某工厂生产了某种产品 1 6 8 0 0 件,它们来自甲、乙、丙三条生产线.为检查产品的质量,决定采 用分层抽样法进行抽样.已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个数成等差数列,则乙生产了_______ 件产品.

【例20】 某单位有工程师 6 人,技术员 1 2 人,技工 1 8 人,要从这些人中抽取一个容量为 n 的样本;如果采 用系统抽样和分层抽样方法抽取,不用剔除个体;如果样本容量增加 1 个,则在采用系统抽样时, 需要在总体中先剔除 1 个个体,则样本容量为______.

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【例21】 (2009 广东)某单位 2 0 0 名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统 抽样法,将全体职工随机按 1 ~
196 ~ 200 200

编号,并按编号顺序平均分为 40 组( 1 ~ 5 号, 6

~ 10

号,…,

号) .若第 5 组抽出的号码为 22 ,则第 8 组抽出的号码应是

.若用分层抽样方法,

则 40 岁以下年龄段应抽取______人.
50岁以上 20% 50% 30% 40-50岁 40岁以下

【例22】 (2009 朝阳一模)从 6 名女生, 4 名男生中,按性别采用分层抽样的方法抽取 5 名学生组成课外 小组,则不同的抽取方法种数为( A. C 3 ? C 2 6 4
2 B. C 6 ? C 3 4

) C. C 150
2 D. A 3 ? A 4 6

【例23】 (2009 山东)一汽车厂生产 A ,B , 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的 C 产量如下表(单位:辆) : 轿车 A 舒适型 标准型
100 300

轿车 B
150 450

轿车 C
z
600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 1 0 辆. (1)求 z 的值. (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中 任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9 .4 ,8 .6 ,9 .2 ,
9 .6

, 8 .7 , 9 .3 , 9 .0 , 8 .2 .把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数

与样本平均数之差的绝对值不超过 0 .5 的概率.

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【例24】 某企业三月中旬生产 A、B、C 三种产品共 3 000 件,根据分层抽样的结果,该企业统计员制作了 如下的统计表格: 产品类别 产品数量(件) 样本容量(件) A B 1 300 130 C

由于不小心,表格中 A、C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10,根据以上信息,可得 C 产品的数量是________件.

题型三 抽样方法选择及其他
【例25】 (1)某社区有 4 0 0 户家庭,其中高收入家庭 25 户,中收入家庭 2 8 0 户,低收入家庭 95 户,为 了了解社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为 100 的样本; (2)从 1 0 名职工中抽取 3 名参加座谈会; (3)一个年级有 1 0 个班,每个班有 50 名同学,随机编为 1 至 50 号,为了了解他们的学习情况, 要求每个班的 30 号同学留下来进行问卷调查. 以上问题各对应哪种随机抽样方法?

【例26】 下列抽样问题中最适合用系统抽样方法抽样的是( A.从全班 48 名学生中随机抽取 8 人参加一项活动.



B.一个城市有 2 1 0 家百货商店,其中大型商店 20 家,中型商店 40 家,小型商店 150 家,为了掌 握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为 21 的样本. C.从参加模拟考试的 1 2 0 0 名考生中随机抽取 100 人分析试题作答情况. D.从参加模拟考试的 1 2 0 0 名考生中随机抽取 1 0 人了解某些情况.

【例27】 某学校有职工 140 人,其中教师 9 1 人,教辅行政人员 28 人,总务后勤人员 21 人.为了解职工的 某种情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本.以下的抽样方法中,依简单随机抽样、系统抽样、 分层抽样顺序的是 方法 1 :将 140 人从 1 ~ 1 4 0 编号,然后制作出有编号 1 ~ 1 4 0 的 140 个形状、大小相同的号签,并将 号签放入同一箱子里进行均匀搅拌,然后从中抽取 20 个号签,编号与签号相同的 20 个人 被选出. 方法 2 : 140 人分成 20 组, 将 每组 7 人, 并将每组 7 人按 1 ~
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7

编号, 在第一组采用抽签法抽出 k 号
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(1 ≤ k ≤ 7 ) ,则其余各组 k

号也被抽到, 20 个人被选出.

方法 3 :按 2 0 : 1 4 0 ? 1 : 7 的比例,从教师中抽取 1 3 人,从教辅行政人员中抽取 4 人,从总务后勤 人员中抽取 3 人,从各类人员中抽取所需人员时,均采用随机数表法,可抽到 20 个人. A.方法 2 ,方法 1 ,方法 3 C.方法 1 ,方法 2 ,方法 3 B.方法 2 ,方法 3 ,方法 1 D.方法 3 ,方法 1 ,方法 2

【例28】 现有以下两项调查:①某装订厂平均每小时大约装订图书 361 册,要求检验员每小时抽取 40 册图 书, 检查其装订质量状况; ②某市有大型、 中型与小型的商店共 1 5 0 0 家, 三者数量之比为 1 : 5 : 9 . 为 了调查全市商店每日零售额情况,抽取其中 1 5 家进行调查. 完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( A.简单随机抽样法,分层抽样法 C.分层抽样法,系统抽样法 )

B.分层抽样法,简单随机抽样法 D.系统抽样法,分层抽样法

【例29】 (08 湖南)从某地区 15000 位老人中随机抽取 5 0 0 人,其生活能否自理的情况如下表所示:
人 生活能否自理 性 数 别


178 23


278

能 不能

21

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人.

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课堂检测
【习题1】已知某商场新进 3000 袋奶粉, 为检查其三聚氰胺是否超标, 现采用系统抽样的方法从中抽取 150 袋检查,若第一组抽出的号码是 11,则第六十一组抽出的号码为 .

【习题2】(2010 朝阳二模)某校共有学生 2000 名,各年级男、女学生人数如下表,已知在全校学生中随 机抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19 ,现用分层抽样的方法在全校学生中抽取 64 人,则 应在三年级抽取的学生人数为 ( ) 二年级
a

一年级 女生 男生 385 375

三年级
b

360

c

A.24

B.18

C.16

D.12

【习题3】某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点,公司为了调查 产品销售的情况,需从这 6 0 0 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为①;在丙地 区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和销后服务等情况,记这项调查为 ②.则完成①、②这两项调查采用的抽样方法依次是___________.

【习题4】某商场有四类食品, 其中粮食类、 植物油类、 动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、1 0 种、30 种、
20

种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本, )

则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【习题5】一个总体含有 100 个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本,则指定 的某个个体被抽到的概率为 .

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【习题6】为了了解参加运动会的 2 0 0 0 名运动员的年龄情况,从中抽取 100 名运动员;就这个问题,下列 说法中正确的有( )个

① 2 0 0 0 名运动员是总体; ②每个运动员是个体; ③所抽取的 100 名运动员是一个样本; ④样本容量为 100 ; ⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样; ⑥每个运动员被抽到的概率相等 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【习题7】某校有 40 个班,每班有 50 人,每班选派 3 人参加“学代会”,在这个问题中样本容量是( A. 40 B. 50 C. 120 D. 150



【习题8】(2008 广东)某初级中学共有学生 2 0 0 0 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 女生 男生
373 377

初二年级
x
370

初三年级
y

z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19 . (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y ≥ 245 , z ≥
245

,求初三年级中女生比男生多的概率.

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【习题9】(2009 湖南)一个总体分为 A ,B 两层,其个体数之比为 4 : 1 ,用分层抽样方法从总体中抽取一 个容量为 1 0 的样本,已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为
1 28

,则总体中的个体数为



【习题10】某校 1 0 0 0 名学生中, O 型血有 4 0 0 人, A 型血有 2 5 0 人,B 型血有 2 5 0 人, A B 型血有 100 人, 为 了研究血型与性格的关系,按照分层抽样的方法从中抽取样本. 如果从 A 型血中抽取了 1 0 .

人,则从 A B 型血中应当抽取的人数为

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