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2003年高考题(江苏卷)21题的思路与解法



本文发表于《中学数学月刊》2003 年第 8 期

2003 年全国高考(江苏卷)21 题的思路与解法
215006 苏州市第一中学 刘祖希(第二作者) 2003 年全国高考(江苏卷)第 21 题内容新、题型新,集中考察了导数和不等式证明等知识,解答的思路和方法 较多,这里给出不同层次的若干思路和方法供参考. 已知 a ? 0 , n 为正整数. ( I )设 y ? ? x ? a ? ,证明 y? ? n ? x ? a ?
n n n ?1



n ( II )设 f n ? x ? ? x ? ? x ? a ? ,对任意 n ? a ,证明 f n ?1? ? n ? 1? ? ? n ? 1? f n? ? n ? .

先解答第( I )题: 思路一:用导数定义. 证法 1:∵ y ? ? x ? a ? ,
n

f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? x ? ?x ? a ? ? ? x ? a ? ∴ y? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
n

n

? lim

? x ? a ? ?x ? ? ? x ? a ?
n

n

?x ?0

?x

? lim

?C ? x ? a?
k ?0 k n

n

n?k

? ?x k ? ? x ? a ?

n

?x ? 0

?x

? lim

?C ? x ? a?
k ?1 k n

n

n?k

? ?x k

?x ?0

?x
n ?1 n

k ? lim ? Cn ? x ? a? ?x ?0 k ?1

n

n?k

? ?x k ?1

? n ? x ? a?
? n? x ? a?

k ? lim ? Cn ? x ? a? ?x ?0 k ?2

n?k

? ?x k ?1

n ?1


n ?1

即 y? ? n ? x ? a ?

.
n

证法 2:∵ y ? ? x ? a ? ,

f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? x ? ?x ? a ? ? ? x ? a ? ∴ y? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
n

n

? lim ?? x ? a ? ?x ? ?x?0 ?

n ?1

? ? x ? a ? ?x ?

n ?2

? x ? a? ??? ? x ? a?
n ?1

n ?1

? ?

? x ? a?

n ?1

? ?x ? a?
n ?1

n ?2

?x ? a? ??? ?x ? a?

? n? x ? a?


n ?1

即 y? ? n ? x ? a ?

.

思路二:直接使用二项式定理和多项式求导公式 x m

? ?? ? mx

m?1

.

证法 3:∵ ? n ? k ? Cn ? ? n ? k ?
k

n! ? n ? k ? !k !

? n?

? n ?1?! ? nC k , k ? 1, 2,?, n ?1 . n ?1 ? n ? 1 ? k ? !k !
n

对 y ? ? x ? a ? 有, y ? ?
n

??
n k ?0

k n?k Cn x ? ?a ?

k

?

?

k n ? k ?1 ? ? ? n ? k ? Cn x ? ?a ? k ?0 n ?1

?

k

?

k n ?1? k ? ? nCn ? ?a ? ?1 x k ?0 n ?1

? ?

k

? ?

k n ?1? k ? ? nCn ? ?a ? ?1 x k ?0

k

? n? x ? a?

n ?1

.

再解答第( II )题: 易得 f n ?1? ? n ? 1? ? ? n ? 1?
n ?1

? ? n ? 1?? n ? 1 ? a ? ,
n

nn ? n ? n ? a ? ? n ? 1? fn? ? n ? ? ? n ? 1? ? ?
命题转化为证明 ? n ? 1?
n ?1

n ?1

?, ?
n n ?1

? ? n ? 1?? n ? 1 ? a ? ? ? n ? 1? ?nn ? n ? n ? a ? ?
n ?1

?, ?

? n ? 1? ? ? n ? 1 ? a ?
n

n

? nn ? n ? n ? a ?
n n


n

n 加强命题,证明 ? n ? 1? ? ? n ? 1 ? a ? ? n ? ? n ? a ? .(*) n 思路 1:用导数证明 f ? x ? ? x ? ? x ? a ? 单调性进而证明(*)式. n

证法 1:∵ f ? ? x ? ? n ? x

?

n ?1

? ? x ? a?

n ?1

? ? 0, ( x ? a) ?

n ∴ f ? x ? ? x ? ? x ? a ? 在 ? a, ??? 上递增. n n ∴ f ? n ?1? ? f ? n? ,即 ? n ? 1? ? ? n ? 1 ? a ? ? n ? ? n ? a ? . n n n

这种方法简单明了,前后呼应,符合命题思路.
n n n ?1 n ?2 n ?2 n ?1 思路 2:利用 x ? y ? ? x ? y ? x ? x y ? ? ? xy ? y 分解因式证明(*)式.

?

?

证法 2:∵ ? n ? 1? ? ? n ? 1 ? a ? ? a
n n n ?1

? ? n ? 1?
k ?0 k

n ?1

n ?1? k

? ?n ?1? a ? ,
k

及 n ? ?n ? a? ? a
n n

?n
k ?0

n ?1? k

??n ? a? ,

又因为对任意 k , ? n ? 1?
n n

n ?1? k

?n ?1? a?
n

k

? n n ?1? k ? n ? a ? ,
k

n ∴ ? n ? 1? ? ? n ? 1 ? a ? ? n ? ? n ? a ? .

n 另外, (*)式等价于 ? n ? 1? ? ? n ? a ? ? n ? ? n ? 1 ? a ? ,其本质是以下的一般命题: n n n

对自然数 n ? 2 ,若 0 ? M ? P ? Q ? N 且 M ? N ? P ? Q ,则 M n ? N n ? Pn ? Qn .(**) 思路 3:用数学归纳法证明(**)式. 证法 3: n ? 2 时,由 2 M ? N
2 2

?

2

? ? ?M ? N ? ? ? N ? M ?
2 2

2



2 ? P 2 ? Q 2 ? ? ? P ? Q ? ? ? Q ? P ? ,显然 M 2 ? N 2 ? P2 ? Q2 .
假设 n ? k 及 n ? k ? 1 时, (**)式成立, 则 n ? k ? 1 时, M
k ?1

? N k ?1 ? ? M ? N ? ? M k ? N k ? ? MN ? M k ?1 ? N k ?1 ?

P k ?1 ? Q k ?1 ? ? P ? Q ? ? P k ? Q k ? ? PQ ? P k ?1 ? Q k ?1 ? ,

?M ? N ? ? ? N ? M ? ∵ MN ?
2

2

4

? P ? Q ? ? ?Q ? P ? ? PQ ?
2

2

4



∴M

k ?1

? N k ?1 ? Pk ?1 ? Qk ?1 .

由上知(**)成立. 取 M ? n ? a, P ? n, Q ? n ? 1 ? a, N ? n ? 1 ,
n 得 ? n ? 1? ? ? n ? a ? ? n ? ? n ? 1 ? a ? (下同从略). n n n

思路 4:用增量法及二项式定理证明(**)式. 证法 4:记 N ? Q ? P ? M ? ? ? 0 ,
n n ∴ M ? N ? ? P ? ? ? ? ?Q ? ? ? ? n n

?C
k ?0

n

k n

?Qn?k? k ? P n ?k ? ?? ?k ? ? ?

k k ? n ?k k ? Q n ? P n ? ? Cn Q ? ? P n ?k ? ?? ? ? , ? ? k ?1

n

若 k 为偶数, ?Q

?

n?k

k ? k ? Pn?k ? ?? ? ? ? 0 ;

?

若 k 为奇数, ?Q

?

n?k

k ? k ? Pn?k ? ?? ? ? ? ? Q n ?k ? P n ?k ? ? k ? 0 ,

?

∴ M ? N ? P ?Q .
n n n n

证法 5:记 M ? N ? P ? Q ? 2s ? 0 , Q ? s ? s ? P ? t1 , N ? s ? s ? M ? t2 ,0 ? t1 ? t2 , ∵?s ? t? ? ?s ? t? ?
n n

?C
k ?0

n

k n

? s n ?k t k ? s n ?k ? ?t ?k ? ? ?

2 n ?2 2 4 n ?4 4 ? 2sn ? 2Cn s t ? 2Cn s t ?? ? 0 ,

∴ f ?t ? ? ? s ? t ? ? ? s ? t ?
n n n

n

? s ? t ? 0? 是关于 t 的增函数.
n n

∴ ? s ? t2 ? ? ? s ? t2 ? ? ? s ? t1 ? ? ? s ? t1 ? , 即 M ? N ? P ?Q .
n n n n

注: f ? t ? ? ? s ? t ? ? ? s ? t ?
n

n

? s ? t ? 0? 是关于 t 的增函数也可用导数证明.

思路 5:用凸函数性质证明(**)式. 证法 6:取函数 f ? x ? ? xn ,∵ f ? ? x ? ? nxn?1 ? 0 , f ?? ? x ? ? n ? n ?1? xn?2 ? 0 ∴ f ? x ? ? xn 在 ? 0, ??? 上是下凸函数,

f ?tx1 ? ?1? t ? x2 ? ? tf ? x1 ? ? ?1? t ? f ? x2 ? 对任意 t ? ? 0,1? 成立,
取 P ? tM ? ?1 ? t ? N ,则 Q ? M ? N ? P ? ?1? t ? M ? tN , ∴ Pn ? f tM ? ?1? t ? N ? tf ? M ? ? ?1? t ? f ? N ? ? tM n ? ?1? t ? N n ,

?

?

Qn ? f ??1? t ? M ? tN ? ? ?1? t ? f ? M ? ? tf ? N ? ? ?1? t ? M n ? tN n ,
相加得, M ? N ? P ? Q .
n n n n

思路 6:用均值不等式证明(**)式. 证法 7:取 P ? tM ? ?1 ? t ? N ,则 Q ? M ? N ? P ? ?1? t ? M ? tN , 利用均值不等式

?a
k ?1

n

n k

? na1a2 ? an , ak ? 0, k ? 1, 2,?, n ,

得 M n ? ? n ?1? Pn ? nMPn?1 ,①

N n ? ? n ?1? Pn ? nNPn?1 ,②,
① ?t ? ② ??1 ? t ? ,得 tM ? ?1 ? t ? N ? ? n ?1? P ? nP ,
n n n n

∴ tM ? ?1 ? t ? N ? P ,③
n n n

同理, ?1 ? t ? M ? tN ? Q ,④
n n n

③ ? ④得, M ? N ? P ? Q .
n n n n

思路 7:用柯西不等式推广式证明(**)式. 引理:设 ak , bk ? R ? ,则 ?a1 ? b1 ??a2 ? b2 ???an ? bn ? ? n a1a2 ? an ? n b1b2 ?bn .(柯西不等式推广) 事实上,

n

a1a 2 ? a n an ? a2 1 ? a1 ? ? ? ? ? ? ? ?, ?a1 ? b1 ??a2 ? b2 ???an ? bn ? n ? a ? b a ? b a ? b 2 2 n n ? ? 1 1

n

b1b2 ?bn bn ? b2 1 ? b1 ?, ? ? ? ??? ? ?a1 ? b1 ??a2 ? b2 ???an ? bn ? n ? a1 ? b1 a2 ? b2 a n ? bn ? ?

相加得, ?a1 ? b1 ??a2 ? b2 ???an ? bn ? ? n a1a2 ? an ? n b1b2 ?bn . 证法 8:取 P ? tM ? ?1 ? t ? N ,则 Q ? M ? N ? P ? ?1? t ? M ? tN , 由上述引理,

?tM

n

? ?1 ? t ?N n ?t ? ?1 ? t ??

?

n?1

? ?tM ? ?1 ? t ?N ? ,
n n?1

同理, tN n ? ?1 ? t ?M n ?t ? ?1 ? t ??

?

?

? ?tN ? ?1 ? t ?M ? ,
n

相加得, M n ? N n ? Pn ? Qn . 思路 8:用拉格朗日中值定理证明(*)式. 拉格朗日中值定理: 函数 f ? x ? 在闭区间 ? a, b? 上可导,则至少存在一点 ? ? ? a, b? , 使得 f ?b? ? f ? a ? ? f ? ?? ??b ? a ? . 证法 9:函数 f ? x ? ? x n 在 R 上可导, 若 a ? 1 ,则 n ? a ? n ? 1 ? a ? n ? n ? 1 , 则存在一点 ?1 ? ? n ? a, n ?1 ? a ? ,使得 ? n ? 1 ? a ? ? ? n ? a ? ? f ? ??1 ? ;
n n n 且存在一点 ?2 ? ? n, n ? 1? ,使得 ? n ? 1? ? n ? f ? ?? 2 ? ; n

∵ f ? ? x ? ? nxn?1 在 R 上递增, ?1 ? n ? 1 ? a ? n ? ?2 ,
n ∴ f ? ??1 ? ? f ? ??2 ? , ? n ? 1 ? a ? ? ? n ? a ? ? ? n ? 1? ? n , n n n n 即 ? n ? 1? ? ? n ? a ? ? n ? ? n ? 1 ? a ? ; n n n

若 0 ? a ? 1 ,则 n ? a ? n ? n ? 1 ? a ? n ? 1 ,
n 同理可证 n ? ? n ? a ? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1 ? a ? , n n n n 即 ? n ? 1? ? ? n ? a ? ? n ? ? n ? 1 ? a ? . n n n

思路 9:用贝努利不等式证明(*)式. 贝努利不等式:设 x ? ?1 且 x ? 0 ,对任意 n ? 1 ,有 ?1 ? x ? ? 1 ? nx .
n

证法 10:对 x ? 1 ,∵ ∴ ?1 ?

1 1 ? 0 ? ?1 , ? ? ?1 ,由贝努利不等式, x x
n

? ?

n 1? n ? 1? n ? ? 1 ? , ?1 ? ? ? 1 ? ,两边同乘 x , x x? x ? x?
n n

n

n n ?1 n n ?1 ∴ ? x ? 1? ? x ? nx , ? x ? 1? ? x ? nx , n n ?1 n ?1 n ∴ ? x ? 1? ? x ? nx 且 nx ? x ? ? x ? 1? . n n

若 a ? 1 ,分别取 x ? n 及 x ? n ? 1 ? a ,
n n ?1 则 ? n ? 1? ? n ? nn ? n ? n ? 1 ? a ? n n n n ?1

? ?n ?1? a? ? ?n ? a? ,
n n n

n 即得(*)式: ? n ? 1? ? ? n ? 1 ? a ? ? n ? ? n ? a ? ;

若 0 ? a ? 1 ,分别取 x ?
n

n ?1? a n 及x? , a a
n n ?1

? n ?1? a ? ? n ?1? a ? ? n ?1? a ? 则? ? 1? ? ? ? ? n? ? ? a ? ? a ? ? a ?
n n

?n? ? n? ? ?a?
n

n ?1

?n? ?n ? ? ? ? ? ? ? 1? , ?a? ?a ?

n

n

n n 同乘 a 即得(*)式: ? n ? 1? ? ? n ? 1 ? a ? ? n ? ? n ? a ? .



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