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3.3几何概型第第二课时



第二课时

回顾 古典概型 几何概型

基本事件 的个数
基本事件 的可能性 概率公式

有限个
相等
A包含基本事件的个数 基本事件的总数

无限多个
相等
构成事件A的区域长度 (面积或体积) 试验的全部结果所构成的 区域长度(面积或体积)

/>
(一)与面积有关的几何概型

练习:如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取 自阴影部分的概率是

2 A. 1 ? π 2 C. π

1 1 B. ? 2 π 1 D. π

A

区域是几何体的几何概型问题
有一杯2升的水,其中含 有1个细菌,用一个小杯 从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细 菌的概率. 分析:(1)只涉及到一个变量 (2)试验的结果所构成区域的几何度量用体积 P=0.1/2=0.05

练习:

在棱长为2的正方体ABCD-A’B’C’D’ 内部随机的取一点p,求取到的这一点p, 恰好使得三棱锥P-ABC的体积不大于1/3 的概率。
P(A)=1/4

在区间[0,1]上任取三个数 a , b, c ,若向量 m ? (a, b, c) ,则
m ? 1 的概率是

π A. 24 3π C. 32

π B. 12 π D. 6

2、区域是平面图形的几何概型问题

假设你家订了一份报纸,送报人 可能在早上6:30—7:30之间把报纸 送到你家,你父亲离开家去工作的时 间在早上7:00—8:00之间,问你父亲 在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
练习:

解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示 父亲离家时间建立平面直角坐标系,由于随机试验 落在方形区域内任何一点是等可能的,所 以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影 部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即时间A 发生,所以

30 60 ? 2 P( A) ? ? 87.5%. 2 60
2

2

总结: (1)问题涉及两个变量,每个变量各在一定区

间上独立且均匀取值,当两个变量满足一定条件时, 某随机事件就发生。此时一般的解题方法是:

1.可以用两个变量构造点的坐标(x,y); 2.由x,y的取值范围确定所有基本事件的区域; 3.再由x,y的要满足的关系得到随机事件的区 域。 这样就把问题转化为了几何概率模型 (2) 面积比是求几何概率的一种常见的重要类型

练习:(会面问题)甲、乙二人约定在12点到5点之 间在某地会面,先到者等一个小时后即离去,设二 人在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二 人互不影响。求二人能会面的概率。
解: 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻,于是

0 ? X ? 5, 0 ? Y ? 5.
即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 方形,即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的,所以落在正 方形内各点是等可能的.
5 4 3 2 1

y

.M(X,Y)

0

1

2 3 4

5 x

二人会面的条件是: | X

? Y |? 1,
y
5 4 3 2 1

记“两人会面”为事件A.

y=x+1
y=x -1

阴影部分的面积 P(A)? 正方形的面积 1 2 25 ? 2 ? ? 4 9 2 ? ? 25 25.

0

1

2 3 4

5 x

几何概型的应用——随机模拟

基尼系数是衡量一个国家贫富差距的标准。图 中横轴 OH 表示人口(按收入由低到高分组) 的累积百分比,纵轴 OM 表示收入的累积百分 比,弧线 OL (洛伦兹曲线)与对角线之间的面积

A 叫做 “不平等面积 ”,折线段 OHL 与对角线之
间的面积 ( A ? B) 叫做 “完全不平等面积 ”,不平 等面积与完全不平等面积之比等于基尼系数, 则:为了估计目前我国的基尼系数,统计得到洛 伦兹曲线后,采用随机模拟方法:随机产生两个 数组成点 ? a, b ? (其中a, b ??0,100? )共 1000 个, 其中恰好有 300 个点恰好落在 B 区域中。则据此 估计该基尼系数为:

测一测:
1.在 长 为 12cm的 线 段 AB上 任 取 一 点 M ,并 以 介 于36cm 与81cm 之 间 的 概 率 .
2 2

线 段AM为 边 作 正 方 形 .试 求 这 正 方 形 的 面 积 1

4

2.已 知 地 铁 列 车 每 10min一 班, 在 车 站 停 1 min, 求 乘 客 到 达 站 台 立 即上 乘车 的 概 率
1 P ( A) ? 10

2.向 面 积 为 S的?ABC内 任 投 一 点 P , 求?PBC的 3 S 面积小于 的概率 4 2

用几何概型解简单试验问题的方法
? 1、适当选择观察角度,把问题转化为 几何概型求解; ? 2、把基本事件转化为与之对应的区域 D; ? 3、把随机事件A转化为与之对应的区 域 d; ? 4、利用几何概型概率公式计算。 ? 注意:要注意基本事件是等可能的。

用几何概型解简单试验问题的几种模型:
1、区域是线段的几何概型问题(所涉及的数 据只与一个变量有关,这个量的大小可以用 线段的长度来表示); 2、区域是平面图形的几何概型问题(问题涉 及两个变量,每个变量各在一定区间上独立且 均匀取值;(x,y));
3、区域是几何体的几何概型问题

4、区域是角度的几何概型问题



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