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湖北省武汉市部分学校2014届高三9月起点调研考试 数学(理)


湖北省武汉市部分学校 2013—2014 学年度新高三起点调研

数学(理)试题
说明:全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2.选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标后。非选择题用黑包墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡上。答在试题 卷上无效。 3.考试结束后,监考人员将本试题和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内 z 对应的点的坐标是 A. (2,4) B. (2,-4) C. (4,-2) D. (4,2) 2.已知全集为 R,集合 A={x|log2x<1},B={x|x-1≥0},则 A∩(?RB)= A.{x|0<x<1} B.{x|0<x<2} C.{x|x<1} D.{x|1<x<2} π π 3.设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 y=cosx 的图象关于直线 x= 对称.则 2 2 下列判断正确的是 A.p 为真 B.﹁q 为假 C.p∧q 为假 4.某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的 人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为 5 将数据 分组成[0,5) ,[5,10) ,…,[30,35) ,[35,40]时, 所作的频率分布直方图是 D.p∨q 为真

·1·

5.执行右边的程序框图,如果输入 a=4,那么输出的 n 的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.64 B.72 C.80 D.112

7.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园 (阴影部分) ,则其边长 x 为 A.35m B.30m C.25m D.20m

?2x-y+1>0, ? 8.设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, ?y-m>0. ?
则 m 的取值范围是 4 A. (-∞, ) 3 1 B. (-∞, ) 3

表示的平面区域内存在点 P(x0,y0) ,满足 x0-2y0=2,

2 C. (-∞,- ) 3

5 D. (-∞,- ) 3

x2 y2 9.已知抛物线 y2=2px(p>0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有相同的焦点 F,点 A 是两曲线 a b 的一个交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为 A. 2+2 B. 5+1 C. 3+1 D. 2+1 10.若函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 3(f(x) 2 ) +2af(x)+b=0 的不同实数根的个数是 A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答 .......
·2·

错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.若?Tx2dx=9,则常数 T 的值为

?0



12.已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,P 为边 BC 上一点,满足=2,则· = . 13.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张电影票全部分给 4 人,每人至少 1 张.如果分给同一人的 2 张电影票连号,那么不同的分法种数是 . π 1 14.设 θ 为第二象限角,若 tan(θ+ )= ,则 sinθ+cosθ= 4 2 .

15.已知数列{an}的各项均为正整数,Sn 为其前 n 项和,对于 n=1,2,3,…,有

?3an+5,an为奇数, ? an+1=?an ?2k,其中k是使an+1为奇数的正整数,an为偶数. ?
(Ⅰ)当 a3=5 时,a1 的最小值为 ; (Ⅱ)当 a1=1 时,S1+S2+…+S10= . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 2cos(B-C)+1=4cosBcosC. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2 7,△ABC 的面积为 2 3,求 b+c.

17. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点, AA1=AC=CB= (Ⅰ)证明:BC1∥平面 A1CD; (Ⅱ)求二面角 D-A1C-E 的正弦值. 2 A 2 B.

18. (本小题满分 12 分) 设公差不为 0 的等差数列{an}的首项为 1,且 a2, a5,a14 构成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; b1 b2 bn 1 (Ⅱ)若数列{bn}满足 + +…+ =1- n,n∈N*,求{bn}的前 n 项和 Tn. a1 a2 an 2
·3·

19. (本小题满分 12 分) 2 现有 A,B 两球队进行友谊比赛,设 A 队在每局比赛中获胜的概率都是 . 3 (Ⅰ)若比赛 6 局,求 A 队至多获胜 4 局的概率; (Ⅱ)若采用“五局三胜”制,求比赛局数 ξ 的分布列和数学期望.

20. (本小题满分 13 分) x2 y2 3 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,当 a b 3 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 2 . 2

(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有=+成立?若存在,求出所有的 P 的坐 标与 l 的方程;若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 2-x 已知函数 f(x)= +aln(x-1) (a∈R) . x-1 (Ⅰ)若 f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a=2 时,求证:1- 1 <2ln(x-1)<2x-4(x>2) ; x-1

1 1 1 1 1 (Ⅲ)求证: + +…+ <lnn<1+ +…+ (n∈N*,且 n≥2) . 4 6 2n 2 n-1

·4·

参考答案
一、选择题 1.C 2.A 6.B 7.D 二、填空题 11.3 5 12. 6 3.C 8.C 4.A 9.D 5.B 10.A 10 5

13.96

14.-

15. (Ⅰ)5; (Ⅱ)230

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 2cos(B-C)+1=4cosBcosC,得 2(cosBcosC+sinBsinC)+1=4cosBcosC, 即 2(cosBcosC-sinBsinC)=1,亦即 2cos(B+C)=1, 1 ∴cos(B+C)= . 2 π ∵0<B+C<π,∴B+C= . 3 2π ∵A+B+C=π,∴A= .………………………………………………………6 分 3 2π (Ⅱ)由(Ⅰ) ,得 A= . 3 1 2π 由 S△ABC=2 3,得 bcsin =2 3,∴bc=8. ① 2 3 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 2π (2 7)2=b2+c2-2bccos ,即 b2+c2+bc=28, 3 ∴(b+c)2-bc=28. ② 2 将①代入②,得(b+c) -8=28, ∴b+c=6.………………………………………………………………………12 分 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)如图,连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点. 又 D 是 AB 的中点,连结 DF,则 BC1∥DF. ∵BC1?平面 A1CD,DF?平面 A1CD, ∴BC1∥平面 A1C D.………………………………………………………………4 分 (Ⅱ)由 AC=CB= 2 AB,得 AC⊥B 2 C.

以 C 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标 系 C-xyz. 设 CA=2,则 D(1,1,0) ,E(0,2,1) 1(2,0,2) ,A , ∴=(1,1,0) ,=(0,2,1) ,=(2,0,2) . 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量,则
·5·

? ?x1+y1=0, 即? 可取 n=(1,-1,-1) . ? ?2x1+2z1=0.

同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,则 可取 m=(2,1,-2) . n· m 3 从而 cos<n,m>= = , |n||m| 3 ∴sin<n,m>= 6 . 3 6 .……………………………………………12 分 3

故二面角 D-A1C-E 的正弦值为

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,则 ∵a2,a5,a14 构成等比数列, ∴a2=a2a14, 5 即(1+4d)2=(1+d) (1+13d) , 解得 d=0(舍去) ,或 d=2. ∴an=1+(n-1)× 2=2n-1.……………………………………………………4 分 b1 b2 bn 1 (Ⅱ)由已知 + +…+ =1- n,n∈N*, a1 a2 an 2 b1 1 当 n=1 时, = ; a1 2 bn 1 1 1 当 n≥2 时, =1- n-(1- n-1)= n. an 2 2 2 bn 1 ∴ = n,n∈N*. an 2 由(Ⅰ) ,知 an=2n-1,n∈N*, 2n-1 ∴bn= n ,n∈N*. 2 2n-1 1 3 5 又 Tn= + 2+ 3+…+ n , 2 2 2 2 2n-3 2n-1 1 1 3 T = + +…+ n + n+1 . 2 n 22 23 2 2 两式相减,得 2n-1 3 2n-1 1 1 2 2 2 1 T = +( 2+ 3+…+ n)- n+1 = - n-1- n+1 , 2 n 2 2 2 2 2 2 2 2 2n+3 ∴Tn=3- n .…………………………………………………………………12 分 2 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)记“比赛 6 局,A 队至多获胜 4 局”为事件 A, 2 2 256 473 6 2 则 P(A)=1-[C5( )5(1- )+C6( )6]=1- = . 6 3 3 3 729 729
·6·

473 故 A 队至多获胜 4 局的概率为 .………………………………………………4 分 729 (Ⅱ)由题意可知,ξ 的可能取值为 3,4,5. 2 1 9 1 P(ξ=3)=( )3+( )3= = , 3 3 27 3 2 1 2 1 2 1 10 P(ξ=4)=C2( )2× × +C2( )2× × = , 3 3 3 3 3 3 3 3 27 2 1 8 P(ξ=5)=C2( )2( )2= . 4 3 3 27 ∴ξ 的分布列为: ξ P 3 1 3 4 10 27 5 8 27

1 10 8 107 ∴E(ξ)=3× +4× +5× = .…………………………………………12 分 3 27 27 27 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设 F(c,0) ,当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x-y-c=0, |0-0-c| c ∴O 到 l 的距离为 = , 2 2 由已知,得 c 2 = ,∴c=1. 2 2

c 3 由 e= = ,得 a= 3,b= a2-c2= 2.……………………………………4 分 a 3 (Ⅱ)假设 C 上存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有=+成立, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 P(x1+x2,y1+y2) . x2 y2 由(Ⅰ) ,知 C 的方程为 + =1. 3 2 由题意知,l 的斜率一定不为 0,故不妨设 l:x=ty+1.

?x=ty+1, ? 由?x2 y2 消去 x 并化简整理,得(2t2+3)y2+4ty-4=0. + =1. ?3 2 ?
由韦达定理,得 y1+y2=- 4t , 2t2+3

4t2 6 ∴x1+x2=ty1+1+ty2+1=t(y1+y2)+2=- 2 +2= 2 , 2t +3 2t +3 6 4t ∴P( 2 ,- 2 ) . 2t +3 2t +3 6 4t ( 2 )2 (- 2 )2 2t +3 2t +3 ∵点 P 在 C 上,∴ + =1, 3 2
·7·

1 化简整理,得 4t4+4t2-3=0,即(2t2+3) 2-1)=0,解得 t2= . (2t 2 当 t= 2 3 2 时,P( ,- ) 的方程为 2x-y- 2=0; ,l 2 2 2 2 3 2 时,P( , ) 的方程为 2x+y- 2=0. ,l 2 2 2 3 2 ,± ), 使 = + 成 立 , 此 时 l 的 方 程 为 2 2 2 x± - y 2=

当 t=-

故 C 上存在点 P(

0.…………………………………………………………………………………13 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知,得 f(x)=-1+ 求导数,得 f ′(x)=- 1 +aln(x-1) , x-1

1 a + . (x-1)2 x-1

∵f(x)在[2,+∞)上是增函数, 1 ∴f ′(x)≥0 在[2,+∞)上恒成立,即 a≥ 在[2,+∞)上恒成立, x-1 1 ∴a≥( ) . x-1 max 1 ∵x≥2,∴0< ≤1,∴a≥1. x-1 故实数 a 的取值范围为[1,+∞) .………………………………………………4 分 (Ⅱ)当 a=2 时,由(Ⅰ)知,f(x)在[2,+∞)上是增函数, ∴当 x>2 时,f(x)>f(2) ,即-1+ 1 ∴2ln(x-1)>1- . x-1 2(x-2) 2 令 g(x)=2x-4-2ln(x-1) ,则 g′(x)=2- = . x-1 x-1 ∵x>2,∴g′(x)>0, ∴g(x)在(2,+∞)上是增函数, ∴g(x)>g(2)=0,即 2x-4-2ln(x-1)>0, ∴2x-4>2ln(x-1) . 1 综上可得,1- <2ln(x-1)<2x-4(x>2) .………………………………9 分 x-1 1 (Ⅲ)由(Ⅱ) ,得 1- <2ln(x-1)<2x-4(x>2) , x-1 k+1 k+1 1 1 令 x-1= ,则 <2ln <2·,k=1,2,…,n-1. k k k k+1 将上述 n-1 个不等式依次相加,得 1 1 1 2 3 n 1 1 + +…+ <2(ln +ln +…+ln )<2(1+ +…+ ) , 2 3 n 1 2 2 n-1 n-1
·8·

1 +2ln(x-1)>0, x-1

1 1 1 1 1 ∴ + +…+ <2lnn<2(1+ +…+ ) , 2 3 n 2 n-1 1 1 1 1 1 ∴ + +…+ <lnn<1+ +…+ (n∈N*,且 n≥2) .………………14 分 4 6 2n 2 n-1

·9·


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