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湖南省长沙市浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校联考2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷 Word版含解析



湖南省长沙市浏阳一中、 攸县一中、 醴陵一中三校联考 2014-2015 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是() A.f(x)=x+1 B.f(x)=x﹣|x| C.f(x)=|x|
2

D.f(x)=﹣x

2. (5 分)设集合 A={x||x﹣2|≤2,x∈R},B={y|y=﹣x ,﹣1≤x≤2},则?R(A∩B)等于() A.R B.{x|x∈R,x≠0} C.{0} D.? 3. (5 分)a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.1 A.c>a>b B.a>b>c
0.9

的大小关系是() C.b>c>a

D.c>b>a

4. (5 分)已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面() A.若 m∥n 且 m?α,n?β,则 α 与 β 不会垂直 B. 若 m,n 是异面直线,且 m⊥α,n⊥β,则 α 与 β 不会平行 C. 若 m,n 是相交直线且不垂直,m?α,n?β,则 α 与 β 不会垂直 D.若 m,n 是异面直线,且 m∥α,n∥β,则 α 与 β 不会平行 5. (5 分)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的表面积为()

A.48+12

B.48+24

C.72+12

D.72+24

6. (5 分)设函数 () A.{0,1}

表示不超过 x 的最大整数,则函数 y=的值域是

B.{0,﹣1}

C.{﹣1,1}

D.{1,1}

7. (5 分)若函数 f(x)=

在(0,+∞)上是增函数,则 a 的范围是

() A.(1,2]

B.

D.

(1,+∞)

8. (5 分)用一个平面去截正方体,则截面不可能是() A.正三角形 B.正方形 C.正五边形

D.正六边形

9. (5 分)已知异面直线 a 与 b 所成的角为 50°,P 为空间一点,则过点 P 与 a、b 所成的角 都是 30 的直线有且仅有() A.1 条 B. 2 条
0

C. 3 条
2

D.4 条

10 . (5 分)已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣(x﹣1) +1,满足 f= 的实数 a 的个数为() A.2

B. 4

C. 6

D.8

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)计算 lg5 + lg8+lg5?lg20+(lg2) =.
2 2

12. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)=

,若关于的方程 f (x)+bf

2

(x)+c=0 有 5 个不同的实根 x1,x2,x3,x4,x5,则 f(x1+x2+x3+x4+x5)=.

13. (5 分)已知函数

的定义域是 R,则实数 m 的取值范围是.

14. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为棱 DD1 和 AB 上的 点,则下列说法正确的是. (填上所有正确命题的序号) ①A1C⊥平面 B1CF; ②在平面 A1B1C1D1 内总存在与平面 B1EF 平行的直线; ③△ B1EF 在侧面 BCC1B1 上的正投影是面积为定值的三角形; ④当 E,F 为中点时,平面 B1EF 截该正方体所得的截面图形是五边形; ⑤当 E,F 为中点时,平面 B1EF 与棱 AD 交于点 P,则 AP= .

15. (5 分)已知 f(x)为 R 上的偶函数,对任意 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3) ,当 x1, x2∈,且 x1≠x2 时,有 >0 成立,给出四个命题:

①f(3)=1; ②直线 x=﹣6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在上为增函数; ④函数 y=f(x)在上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为. (请将正确的序号都填上)

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)设函数 f(x)=lg(2x﹣3)的定义域为集合 M,函数 域为集合 N.求: (1)集合 M,N; (2)集合 M∪N,CRN. 17. (12 分)设集合 A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x+a ﹣1=0},若 A∩B={0},求 a 的 值.
2 2 2

的定义

18. (12 分) 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 8 的菱形, ∠BAD= 平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (2)求证:AD⊥PB.

, 若 PA=PD=5,

19. (13 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,四边形 AA1C1C 是边长为 4 的正方形,平 面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)若点 D 是线段 BC 的中点,请问在线段 AB1 是否存在点 E,使得 DE∥面 AA1C1C? 若存在,请说明点 E 的位置,若不存在,请说明理由; (Ⅲ) (本小问只理科学生做)求二面角 C﹣A1B1﹣C1 的大小.

20. (13 分)对于定义域为 D 的函数 y=f(x) ,若同时满足下列条件: ①f(x)在 D 内单调递增或单调递减; ②存在区间?D,使 f(x)在上的值域为;那么把 y=f(x) (x∈D)叫闭函数. 3 (1)求闭函数 y=﹣x 符合条件②的区间; (2)判断函数 (3)若 是否为闭函数? 并说明理由; 是闭函数,求实数 k 的取值范围.
x x+1

21. (13 分)已知函数 f(x)=9 ﹣3 +c(其中 c 是常数) . (1)若当 x∈时,恒有 f(x)<0 成立,求实数 c 的取值范围; (2)若存在 x0∈,使 f(x0)<0 成立,求实数 c 的取值范围; x (3)若方程 f(x)=c?3 在上有唯一实数解,求实数 c 的取值范围.

湖南省长沙市浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校联考 2014-2015 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是() A.f(x)=x+1 B.f(x)=x﹣|x| C.f(x)=|x| 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 代入选项直接判断正误即可.

D.f(x)=﹣x

解答: 解:对于 A,f(x)=x+1,f(2x)=2x+1≠2f(x)=2x+2,A 不正确; 对于 B,f(x)=x﹣|x|,f(2x)=2x﹣|2x|=2f(x)=2x+2|x|,B 正确; 对于 C,f(x)=|x|,f(2x)=2|x|=2f(x)=2|x|,C 正确; 对于 D,f(x)=﹣x,f(2x)=﹣2x=2f(x)=﹣2x,D 正确; 故选:A. 点评: 本题考查抽象函数的应用,函数的值的求法,基本知识的考查. 2. (5 分)设集合 A={x||x﹣2|≤2,x∈R},B={y|y=﹣x ,﹣1≤x≤2},则?R(A∩B)等于() A.R B.{x|x∈R,x≠0} C.{0} D.? 考点: 交、并、补集的混合运算. 分析: 集合 A 为绝对值不等式的解集,由绝对值的意义解出,集合 B 为二次函数的值域, 求出后进行集合的运算. 解答: 解:A=,B=,所以 A∩B={0},?R(A∩B){x|x∈R,x≠0}, 故选 B. 点评: 本题考查对集合的认识以及集合的基本运算,属基本题. 3. (5 分)a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.1 A.c>a>b B.a>b>c 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 计算题. 分析: 由指数函数,对数函数的单调性,确定 0<a=log0.70.8<1,b=log1.10.9<0,c=1.1 >1. 解答: 解:0<a=log0.70.8<1, b=log1.10.9<0, 0.9 c=1.1 >1. 故选 A. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题. 4. (5 分)已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面() A.若 m∥n 且 m?α,n?β,则 α 与 β 不会垂直 B. 若 m,n 是异面直线,且 m⊥α,n⊥β,则 α 与 β 不会平行 C. 若 m,n 是相交直线且不垂直,m?α,n?β,则 α 与 β 不会垂直 D.若 m,n 是异面直线,且 m∥α,n∥β,则 α 与 β 不会平行 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 分别利用线面平行的性质和定义,利用面面平行和垂直的判定定理进行判断. 解答: 解:A.若 m∥n 且 m?α,n?β,则 α 与 β 可能平行,可能相交,当相交时,α 与 β 可能垂直,所以 A 错误. B.若 α∥β,则由 m⊥α,n⊥β,得到 m∥n,与 m,n 是异面直线矛盾,所以 α 与 β 不会平 行,所以 B 正确.
0.9 0.9 2

的大小关系是() C.b>c>a

D.c>b>a

C.若 m,n 是相交直线且不垂直时,交点若在 α 和 β 的交线上时,满足 m?α,n?β,此时 α 与 β 相交即可,所以 α 与 β 有可能会垂直,所以 C 错误. D.若 α∥β 时,若 m,n 是异面直线,存在直线 m,n 满足 m∥α,n∥β,所以 α 与 β 可以 平行,所以 D 错误. 故选 B. 点评: 本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断, 考查学生的空间想象能力和推理能 力. 5. (5 分)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的表面积为()

A.48+12

B.48+24

C.72+12

D.72+24

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三棱锥的三视图知: 该三棱锥的底面是腰长为 6 的等腰直角三角形, 三棱锥的高 为 3,由此画出其直观图,求出各侧面的斜高,从而求出各侧面的面积,再求全面积. 解答: 解:由三棱锥的三视图得:该三棱锥的底面是腰长为 8 的等腰直角三角形, ∴其底面面积 S△ BCD= ×8×8=32; 由正视图知:三棱锥的高 AO=3,过 O 作 OE⊥BC,连接 AE, ∵AO⊥平面 BCD,∴OE 为 AE 在平面 BCD 内的射影, 由三垂线定理得 AE⊥BC,在 Rt△ AOE 中,AE= =5,

△ ABC 与△ ABD 全等,其面积 S△ ABC=S△ ABD= ×8×5=20, S△ ACD= ×8 ×3=12 , =72+12 .

∴棱锥的表面积 S=32+20+20+12 故选:C.

点评: 本题考查由三棱锥的三视图求三棱锥 的表面积,解题时要认真审题,仔细解答, 注意空间想象能力的培养.

6. (5 分)设函数 () A.{0,1}

表示不超过 x 的最大整数,则函数 y=的值域是

B.{0,﹣1}

C.{﹣1,1}

D.{1,1}

考点: 函数的值 域. 专题: 计算题. 分析: 先把函数的解析式变形, 根据指数函数的值域和反比例函数的单调性求出函数的值 域,利用表示不超过 x 的最大整数可得本题的答案. 解答: 解:f(x)= ∵2 >0,∴1+2 >1,0< ∴﹣ <y< , ∵表示不超过 x 的最大整数, ∴y=的值域为{0,﹣1}, 故选 B. 点评: 本题考查函数值域的求法,本题利用指数函数的值域与复合函数的单调性规律求 解,解答要细心.
x x

= ﹣ <1,



7. (5 分)若函数 f(x)=

在(0,+∞)上是增函数,则 a 的范围是

() A.(1,2]

B.

D.

(1,+∞)

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

分析: 分别考虑各段的单调性,可得﹣ 集即可.

0,a>1,1

a﹣2≤a ﹣a,解出它们,求交

1

解答: 解:由于 f(x)=x + ax﹣2 在(0,1]递增,则有﹣ 再由 x>1 为增,则 a>1, 再由增函数的定义,可知:1 a﹣2≤a ﹣a,解得,a≤2.
1

2

0,解得,a≥0,

则有 1<a≤2. 故选 A. 点评: 本题考查分段函数的单调性和运用,考查运算能力,属于中档题和易错题. 8. (5 分)用一个平面去截正方体,则截面不可能是() A.正三角形 B.正方形 C.正五边形

D.正六边形

考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形,即可判断选项. 解答: 解:画出截面图形如图 显然 A 正三角形,B 正方形:D 正六边形 可以画出五边形但不是正五边形; 故选:C.

点评: 本题是基础题,考查学生作图能力,判断能力,以及逻辑思维能力,明确几何图形 的特征,是解好本题的关键. 9. (5 分)已知异面直线 a 与 b 所成的角为 50°,P 为空间一点,则过点 P 与 a、b 所成的角 0 都是 30 的直线有且仅有() A.1 条 B. 2 条 C. 3 条 D.4 条 考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 压轴题;探究型;转化思想;运动思想. 分析: 根据异面直线 a 与 b 所成的角为 50°,P 为空间一点,过 P 分别作直线 a,b 的平行 线,得到∠APB=50°,过 P 点作直线 c,d 分别是角∠APB 的平分线和面 APB 的垂线,这时 c 与 a,b 所成角为 25°,d 与 a,b 所成角为 90°,然后直线从 c 转到直线 d 的过程中一定经 过 30°的角,可求出直线的条数. 解答: 解:把异面直线 a,b 平移到相交,使交点为 P, 此时∠APB=50°, 过 P 点作直线 c 平分∠APB,这时 c 与 a,b 所成角为 25°, 过 P 点作直线 d 垂直 a 和 b,这时 d 与 a,b 所成角为 90°, 直线从 c 向两边转到 d 时与 a,b 所成角单调递增,必有经过 30°, 因为两边,所以有 2 条. 故选 B. 点评: 此题是个基础题.考查异面直线所成的角,以及解决异面直线所成的角的方法(平 移法)的应用,体现了转化的思想和运动变化的思想方法.
2

10. (5 分)已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣(x﹣1) +1,满足 f= 的实数 a 的个数为() A.2

B. 4

C. 6

D.8

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 令 f(a)=x,则 f= 转化为 f(x)= .先解 f(x)= 在 x≥0 时的解,再利用偶函 数的性质,求出 f(x)= 在 x<0 时的解,最后解方程 f(a)=x 即可. 解答: 解:令 f(a)=x,则 f= 变形为 f(x)= ; 当 x≥0 时,f(x)=﹣(x﹣1) +1= ,解得 x1=1+ ∵f(x)为偶函数,
2

,x2=1﹣



∴当 x<0 时,f(x)= 的解为 x3=﹣1﹣ 综上所述,f(a)=1+ 当 a≥0 时, f(a)=﹣(a﹣1) +1=1+ f(a)=﹣(a﹣1) +1=1﹣ f(a)=﹣(a﹣1) +1=﹣1﹣ f(a)=﹣(a﹣1) +1=﹣1+
2 2 2 2

,x4=﹣1+ ,﹣1+ ;



,1﹣

,﹣1﹣

,方程无解; ,方程有 2 解; ,方程有 1 解; ,方程有 1 解;

故当 a≥0 时,方程 f(a)=x 有 4 解,由偶函数的性质,易得当 a<0 时,方程 f(a)=x 也 有 4 解, 综上所述,满足 f= 的实数 a 的个数为 8, 故选 D. 点评: 本题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题,同时运用了函数与方程思 想、转化思想和分类讨论等数学思想方法,对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高, 是高考的热点问题. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)计算 lg5 + lg8+lg5?lg20+(lg2) =3.
2 2

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. n 分析: 利用对数的运算性质 lgm =nlgm;lgmn=lgm+lgn;计算可得答案. 解答: 解:原式=2lg5+ ×3lg2+lg5×(1+lg2)+(lg2) =2(lg5+lg2)+lg5+lg2×lg5+(lg2)
2 2 2

=2+1﹣lg2+lg2×(1﹣lg2)+(lg2) =3. 故答案是 3. 点评: 本题考查了对数的运算性质,计算要细心.

12. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)=

,若关于的方程 f (x)+bf

2

(x)+c=0 有 5 个不同的实根 x1,x2,x3,x4,x5,则 f(x1+x2+x3+x4+x5)=lg16. 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数的值. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 当 x=4 时,解得 x1=4,c=﹣b﹣1;当 x>4 时,解得 lg(x﹣4)=1,x2=14 或 lg(x b b ﹣4) =b,x3=4+10 ;当 x<4 时, 解得 lg(4﹣x)=1,x4=﹣6 或 lg(2﹣x) =b,x5=4﹣10 . 从 b b 而 f(x1+x2+x3+x4+x5)=f(4+14+4+10 ﹣6+4﹣10 )=f=lg|20﹣4|=lg16. 2 解答: 解:当 x=4 时,f(x)=1,则由 f (x)+bf(x)+c=0 得 1+b+c=0. ∴x1=4,c=﹣b﹣1. 当 x>4 时,f(x)=lg(x﹣4) , 由 f (x)+bf(x)+c=0, 2 得 +blg(x﹣4)﹣b﹣1=0, b 解得 lg(x﹣4)=1,x2=14 或 lg(x﹣4)=b,x3=4+10 . 当 x<4 时,f(x)=lg(4﹣x) , 2 2 由 f (x)+bf(x)+c=0,得 +blg(4﹣x)﹣b﹣1=0) , b 解得 lg(4﹣x)=1,x4=﹣6 或 lg(2﹣x)=b,x5=4﹣10 . b b ∴f(x1+x2+x3+x4+x5)=f(4+14+4+10 ﹣6+4﹣10 )=f=lg|20﹣4|=lg16. 故答案是:lg16. 点评: 本题考查函数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意对数性质和分类讨论 思想的合理运用.
2

13. (5 分)已知函数

的定义域是 R,则实数 m 的取值范围是

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;棱柱的结构特征 . 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由正方体的结构特征, 对所给的几个命题用线面, 面面之间的位置关系直接判断正 误即可得到答案. 解答: 解:对于①,A1C⊥平面 B1EF,不一定成立, 因为 A1C⊥平面 AC1D,而两个平面面 B1EF 与面 AC1D 不一定平行.故①错误; 对于②,在平面 A1B1C1D1 内总存在与平面 B1EF 平行的直线, 此两平面相交,一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面, 故②正确; 对于③,△ B1EF 在侧面 BCC1B1 上 的正投影是面积为定值的三角形, 此是一个正确的结论,因为其投影三角形的一边是棱 BB1, 而 E 点在面上的投影到此棱 BB1 的距离是定值,故③正确; 对于④当 E,F 为中点时, 平面 B1EF 截该正方体所得的截面图形是五边形 B1QEPF,故④正确; 对于⑤由面面平行的性质定理可得 EQ∥B1F,

故 D1Q= ,B1 Q∥PF,故 AP= ,故⑤正确. 故正确的命题有:②③④⑤. 故答案为:②③④⑤.

点评: 本题考点是棱柱的结构特征,考查对正方体的几何特征的了解,以及线面垂直,线 面平行等位置关系的判定,涉及到的知识点较多,综合性强. 15. (5 分)已知 f(x)为 R 上的偶函数,对任意 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3) ,当 x1, x2∈,且 x1≠x2 时,有 >0 成立,给出四个命题:

①f(3)=1; ②直线 x=﹣6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在上为增函数; ④函数 y=f(x)在上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为②④. (请将正确的序号都填上) 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 阅读型;函数的性质及应用. 分析: ①令 x=﹣3,由偶函数的定义,可得 f(3)=0,即可判断; ②由于函数 y=f(x)是以 6 为周期的偶函数,可得 f(﹣6+x)=f(﹣6﹣x) ,即可判断; ③由条件可得 y=f(x)在区间上为增函数,再由偶函数和周期性,即可判断; ④先判断方程 f(x)=0 在上有 2 个实根(﹣3 和 3) ,又函数 y=f(x)是以 6 为周期的函数, 即可判断. 解答: 解:对于①:∵y=f(x)为 R 上的偶函数,且对任意 x∈R,均有 f(x+6)=f(x) +f(3) , ∴令 x=﹣3 得:f(6﹣3)=f(﹣3)+f(3)=2f(3) ,∴f(3)=0,故①错;

对于②:∵函数 y=f(x)是以 6 为周期的偶函数, ∴f(﹣6+x)=f(x) ,f(﹣6﹣x)=f(x) , ∴f(﹣6+x)=f(﹣6﹣x) ,∴y=f(x)图象关于 x=﹣6 对称,即②正确; 对于③:∵当 x1,x2∈且 x1≠x2 时,有 >0 成立,

∴y=f(x)在区间上为增函数,又函数 y=f(x)是偶函数, ∴y=f(x)在区间上为减函数,又函数 y=f(x)是以 6 为周期的函数, ∴y=f(x)在区间上为减函数,故③错误. 对于④:∵y=f(x)在区间上为减函数,在区间上为增函数,且 f(3)=f(﹣3)=0, ∴方程 f(x)=0 在上有 2 个实根(﹣3 和 3) ,又函数 y=f(x)是以 6 为周期的函数, ∴方程 f(x)=0 在区间上有一个实根(为 9) , ∴方程 f(x)=0 在上有 4 个实根.故④正确. 故答案为:②④ 点评: 本题考查抽象函数及其应用,命题真假的判断,着重考查函数的奇偶性、对称性、 周期性、单调性,考查函数的零点,属于中档题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)设函数 f(x)=lg(2x﹣3)的定义域为集合 M,函数 域为集合 N.求: (1)集合 M,N; (2)集合 M∪N,CRN. 考点: 补集及其运算;并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: (1)对数的真数大于 0 求出集合 M;开偶次方的被开方数非负且分母不等于 0, 求出集合 N; (2)直接利用集合的运算求出集合 M∪N,CRN. 解答: 解: (1)由题意 2x﹣3>0 所以 M= {x|x> }; 的定义

因为

所以 N={x|x<1 或 x≥3}

(2)由(1)可知 ?RN={x|1≤x<3}. 点评: 本题考查对数函数的定义域,交集、并集、补集及其运算;是基础题. 17. (12 分)设集合 A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x+a ﹣1=0},若 A∩B={0},求 a 的 值.
2 2 2

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据 A 与 B 的交集得到元素 0 属于 A 属于 B,将 x=0 代入集合 B 中的方程,即可 求出 a 的值. 解答: 解:∵A∩B={0},∴0∈A,0∈B, 2 将 x=0 代入 B 中的方程得:a ﹣1=0, 解得:a=1 或 a=﹣1, 当 a=1 时,A={0,﹣4},B={0,﹣4},不合题意,舍去; 当 a=﹣1 时,A={0,﹣4},B={0},符合题意, 则 a 的值为﹣1. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

18. (12 分) 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 8 的菱形, ∠BAD= 平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (2)求证:AD⊥PB.

, 若 PA=PD=5,

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)过 P 作 PM⊥AD 于 M.利用面 PAD⊥面 ABCD 可得 PM⊥面 ABCD,菱形 ABCD 的面积 S= ,再利用 VP﹣ABCD= 即可得出. .可得 AD⊥BM,又 AD⊥PM,可

(2)连接 BM.利用 BD=BA=8,AM=DM,

得 AD⊥平面 PMB,即可得出. 解答: (1)解:过 P 作 PM⊥AD 于 M. ∵面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD,PM?面 PAD. ∴PM⊥面 ABCD, 又 PA=PD=5,AD=8. ∴M 为 AD 的中点且 PM= ∵ ,AD=8, = . =3.

∴菱形 ABCD 的面积 S=

∴VP﹣ABCD= (2)证明:连接 BM. ∵BD=BA=8,AM=DM,

=

=





∴AD⊥BM, 又 AD⊥PM,且 BM∩PM=M. ∴AD⊥平面 PMB. ∴AD⊥PB.

点评: 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、棱锥的体积计算公式、菱形的性质, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. (13 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,四边形 AA1C1C 是边长为 4 的正方形,平 面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)若点 D 是线段 BC 的中点,请问在线段 AB1 是否存在点 E,使得 DE∥面 AA1C1C? 若存在,请说明点 E 的位置,若不存在,请说明理由; (Ⅲ) (本小问只理科学生做)求二面角 C﹣A1B1﹣C1 的大小.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离; 空间角. 分析: (Ⅰ)因为四边形 AA1C1C 为正方形,所以 AA1⊥AC.因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,利用面面垂直的性质; (Ⅱ) 当点 E 是线段 AB1 的中点时, 有 DE∥平面 AA1C1C. 证明时连结 A1B 交 AB1 于点 E, 连结 DE,利用线面平行的判定定理. (Ⅲ)推理∠C1A1C 是二面角 C﹣A1B1﹣C1 的平面角. 解答: (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)因为四边形 AA1C1C 为正方形,所以 AA1⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C, 且平面 ABC∩平面 AA1C1C=AC, 所以 AA1⊥平面 ABC.…(4 分) (文 6 分) (Ⅱ)当点 E 是线段 AB1 的中点时,有 DE∥平面 AA1C1C. 证明:连结 A1B 交 AB1 于点 E,连结 DE.

因为点 E 是 A1B 中点,点 D 是线段 BC 的中点, 所以 DE∥A1C. 又因为 DE?平面 AA1C1C,A1C?平面 AA1C1C, 所以 DE∥平面 AA1C1C.…(8 分) (文 12 分) (Ⅲ)因为 AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥AB. 又因为 AC⊥AB,所以 AB⊥平面 AA1C1C, 所以 A1B1⊥平面 AA1C1C, 所以 A1B1⊥A1C1,A1B1⊥A1C, 所以∠C1A1C 是二面角 C﹣A1B1﹣C1 的平面角. 易得 tan∠C1A1C= =1,

所以二面角 C﹣A1B1﹣C1 的平面角为 45°.…(12 分)

点评: 本题考查面面垂直,考查面面角,解题的关键是掌握面面垂直的判定,考查二面角 的定义,解题时要认真审题,注意空间中平行与垂直的合理运用. 20. (13 分)对于定义域为 D 的函数 y=f(x) ,若同时满足下列条件: ①f(x)在 D 内单调递增或单调递减; ②存在区间?D,使 f(x)在上的值域为;那么把 y=f(x) (x∈D)叫闭函数. (1)求闭函数 y=﹣x 符合条件②的区间; (2)判断函数 (3)若 是否为闭函数?并说明理由; 是闭函数,求实数 k 的取值范围.
3

考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 计算题;压轴题;新定义. 分析: (1)根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程,直接求解. (2)判断其在(0,+∞)是否有单调性,再据闭函数的定义判断; (3)根据闭函数的定义一定存在区间,由定义直接转化求解即可. 解答: 解: (1)由题意,y=﹣x 在上递减,
3



解得

(4 分)

所以,所求的区间为; (5 分) (2)取 x1=1,x2=10,则 即 f(x)不是(0,+∞)上的减函数. 取 , , 即 f(x)不是(0,+∞)上的增函数 所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减, 从而该函数不是闭函数; (9 分) (3)若 是闭函数,则存在区间, 在区间上,函数 f(x)的值域为, 即
2



,∴a,b 为方程
2

的两个实数根,

即方程 x ﹣(2k+1)x+k ﹣2=0(x≥﹣2,x≥k)有两个不等的实根(11 分)

当 k≤﹣2 时,有

,解得

, (13 分)

当 k>﹣2 时,有

,无解, (15 分)

综上所述,



点评: 考查函数的单调性及新定义型函数的理解,以及问题的等价转化能力. 21. (13 分)已知函数 f(x)=9 ﹣3 +c(其中 c 是常数) . (1)若当 x∈时,恒有 f(x)<0 成立,求实数 c 的取值范围; (2)若存在 x0∈,使 f(x0)<0 成立,求实数 c 的取值范围; x (3)若方程 f(x)=c?3 在上有唯一实数解,求实数 c 的取值范围. 考点: 指数函数综合题. 专题: 计算题;函数的性质 及应用. 分析: (1)换元法化为当 t∈时,g(t)=t ﹣3?t+c<0 恒成立,再化恒成立问题为最值问 题; 2 (2)若存在 x0∈,使 f(x0)<0,则存在 t∈,使 g(t)=t ﹣3?t+c<0.从而化为最值问题; x 2 (3) 若方程 f (x) =c?3 在上有唯一实数解, 则方程 t ﹣ (3+c) t+c=0 在上有唯一实数解. 从 而由单调性及零点判定定理判断. x x+1 x 2 x 解答: 解: (1)f(x)=9 ﹣3 +c=(3 ) ﹣3?3 +c, x 令 3 =t,当 x∈时,t∈. 2 问题转化为当 t∈时,g(t)=t ﹣3?t+c<0 恒成立. 于是,只需 g(t)在上的最大值 g(3)<0, 即 9﹣9+c<0, 解得 c<0. ∴实数 c 的取值范围是(﹣∞,0) ; (2)若存在 x0∈,使 f(x0)<0, 2 则存在 t∈,使 g(t)=t ﹣3?t+c<0. 于是,只需 g(t)在上的最小值 g( )=( ) ﹣3? +c<0,解得 c< ; ∴实数 c 的取值范围是(﹣∞, ) ; (3)若方程 f(x)=c?3 在上有唯一实数解, 2 则方程 t ﹣(3+c)t+c=0 在上有唯一实数解. 2 因△ =(3+c) ﹣4c>0, 2 故 t ﹣(3+c)t+c=0 在上不可能有两个相等的实数解. 2 令 h(t)=t ﹣(3+c)t+c. 因 h(1) =﹣2<0,故只需 h(3)=﹣2c≥0, 解得 c≤0. ∴实数 c 的取值范围是(﹣∞,0]. 点评: 本题考查了恒成立问题及存在性问题,属于中档题.
x 2 2 x x+1



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