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【数学】浙江省绍兴县鲁迅中学2013届高三高考适应性考试(文)



浙江省绍兴县鲁迅中学 2013 届高三高考适应性考试(文)
考生须知: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的密封线内 填写学校、班级、考号、姓名; 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试 时间 120 分钟. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A)

? P( B) . 如果事件 A,B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 球的表面积公式 S ? 4? R ,其中 R 表示球的半径.
2

球的体积公式 V ?

4 3 ? R ,其中 R 表示球的半径. 3

柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.

1 Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3 1 台体的体积公式 V ? h( S1 ? S1S2 ? S2 ) ,其中 S1 , S 2 分别表示台体的上、下底面积, h 表 3
锥体的体积公式 V ? 示台体的高. 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
2 1、设全集 U=R,集合 M= {x | y ? 1 ? x }, 则CU M ?





A. {x | ?1 ? x ? 1} C. {x | x ? ?1或x ? 1}

B. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | x ? ?1或x ? 1}

2、执行右边的程序框图,则输出的 T 等于 ( ) A. 20 B. 30 C. 42 3、已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是(

D. 56 )

1 2 1 B. 6
A. C.

第2题

1 12
(第 3 题)

D.

1 18

4 、 已 知 等 差 数 列 ?an ? 满 足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 , 则 它 的 前 10 项 的 和 S10 ? ( ) A.85

B.135

C.95

D.23

( 5 、 要 得 到 函 数 y ? sin 2 x ?
( )

?
4

) 的 图 象 , 只 要 将 函 数 y ? sin 2 x 的 图 象

? 单位 4 ? C.向右平移 单位 8
A.向左平移

? 单位 4 ? D.向左平移 单位 8
B.向右平移 )

6、 已知 m , 是两条不同的直线, , , 为三个不同的平面, 则下列命题正确的是 ( ? ? ? n A.若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ∥ ? ;B.若 m ∥ n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ∥ ? ; C.若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ; D.若 m ∥ n , m ⊥ ? , n ⊥ ? ,则 ? ∥ ? .

b b 7、 若非零向量 a , 满足 a ? b , ( 2a ? b) ? b ? 0 , 且 则向量 a , 的夹角为
A. ?





2 3

B.

? 6

C.

? 3

D. ?

5 6

8 、 函 数 ( )

?? x ? 1(?1 ? x ? 0) f ( x) ? ? , 则 ?? x ? 1(0 ? x ? 1)
? ?

f ( x) ? f (? x) ? ?1 的 解 集 为

A. ? ??, ?1? ? ?1, ?? ?

B. ? ?1, ?

1? ? ? ? 0,1? 2? 1? ?

C. ? ??, 0 ? ? ?1, ?? ?

D. ? ?1, ? ? ? ? 0,1? 2

? ?

9、双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 左 右 焦 点 为 F1 , F2 , P 是 双 曲 线 上 一 点 , 满 足 a 2 b2
a2 切 , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 相

P F ? F F , 直 线 PF1 与 圆 x 2 ? y 2? 2 1 2
( A. )

5 4

B. 3

C.

2 3 3

D.

5 3

10、已知 f ( x ) ? ? 值范围是( A. ? ?1, ?? ? )

?? x 2 ? 2 x ? a ( x ? 0), ? f ( x ? 1)( x ? 0),
B. ? ?1, 0 ?

y ? f ( x) ? x 恰有 3 个不同的零点,则实数 a 的取

C. ? ?2, ?? ?

D. ? 0, ?? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、设为虚数单位,则复数 12、已知 ?

3 ? 4i 的虚部为 i



? 1? x ? y ? 3 , 则 4 x ? 2 y 的最大值是 ? ?1 ? x ? y ? 1



13、用分层抽样的方法从某学校的高中学生中抽取一个容量为 45 的样本,其中高一年级 抽 20 人, 高三年级抽 10 人,已知该校高二年级共有 300 人,则该校高中学生总人数为 人; 14、若正实数 a, b 满足 ab ? 2 ,则 (1 ? 2a)(1 ? b) 的最小值为 ;

15、已知 sin ?

?? ? 3 ? ? ?? ? x ? ? ,且 x ? ? ? , ? ? ,则 cos 2x 的值为 ?4 ? 4 ? 2 4?
n ?



16、数列 ?a n ? 中, a1 ? 5, a n ? 2a n ?1 ? 2 ? 1(n ? N , n ? 2) ,若存在实数 ? ,使得数列

? an ? ? ? ? n ? 为等差数列,则 ? = ? 2 ?



17、在长方形 ABCD中, AB ? 2, AD? 1,点 M , N 分别是 BC , CD 边上的动点,且

????? ? ????? ???? ???? ? | BM | 2 | CN | ????? ? ????? ,则 AM ? AN 的取值范围是 | BC | | CD |



三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分, .解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤) 18 . 本 题 满 分 14 分 ) 设 a, b, c 分 别 是 ?ABC 内 角 A, B, C 所 对 边 长 , 并 且 (

? ? sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B 3 3 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 2a cos B ? b ? c ,判断 ?ABC 的形状
19. (本题满分 14 分)等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差 d ? ?1 ,前 n 项和为 S n ,其中

a1 ? ??1,1, 2,3, 4,5? .
(Ⅰ)若存在 n ? N ,使 S n ? ?5 成立,求 a1 的值;
?

(Ⅱ)是否存在 a1 ,使 S n ? an 对任意大于 1 的正整数 n 均成立?若存在,求出 a1 的值;否 则,说明理由.

20. (本题满分 14 分) 如图, 菱形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直, △ ABE 是等腰直角三角形, AB ? AE ? 2, FA ? FE , ?AEF ? 45 , ?ABC ? 45 (1)线段 CD 的中点为 P ,线段 AE 的中点为 M , 求证: PM // 平面BCE ; (2)求直线 CF 与平面 BCE 所成角的正弦值. 21. (本题满分 15 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ax ? ln x ,
?

0

x ? ?0,e? ,(其中 e 是自然对数的底数为常数),
(1)当 a ? 1 时,求 f (x ) 的单调区间与极值; (2)是否存在实数 a ,使得 f (x ) 的最小值为 3. 若存在,求出 a 的值,若不存在,说明理 由。

22. (本题满分 15 分)已知椭圆 C1 的中心在原点,两个焦点分别为 F1 (?2,0), F2 (2,0) ,点

A(2,3) 在椭圆 C1 上,过点 A 的直线与抛物线 C 2 : x 2 ? 4 y 交于 B 、C 两点,抛物线 C 2 在
点 B 、 C 处的切线分别为 l1 、 l 2 ,且 l1 与 l 2 交于点 P 。 (1)求椭圆 C1 的方程 (2) 是否存在满足 | PF1 | ? | PF2 |?| AF1 | ? | AF2 | 的点 P ?若存在, 指出这样的点 P 有几 个(不必求出点 P 的坐标)?若不存在,说明理由

文科数学(参考答案)
一、选择题: 二、填空题: 11、-3 12、10 13、900 14、9 15、 ? 3 7 8 16、 ?1 17、 ? 3, 4 ?

CBACC

DABDA

三、解答题: (14+14+14+15+15) 18 . 设

a, b, c 分 别 是 ?ABC 内 角

A, B, C

所 对 边 长 , 并 且

sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B 。 3 3 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 2a cos B ? b ? c ,判断 ?ABC 的形状
【解析】 :(Ⅰ) 由 sin 2 A ? sin( 得 sin 2 A ? (

?

?

?

? B) sin( ? B) ? sin 2 B , 3 3

?

3 1 3 1 cos B ? sin B) ( cos B ? sin B) ? sin 2 B , 2 2 2 2

即 sin 2 A ? ( cos2 B ? 化简得 sin 2 A ?

3 4

1 2 sin B) ? sin 2 B 4

3 3 ? 2? ,∵ A 是 ?ABC 内角,∴ A ? 或A? ? sin A ? ? 4 2 3 3

(Ⅱ)∵ 2a cos B ? b ? c ,由正弦定理得 2 sin A cos B ? sin B ? sin C 即 2 sin A cos B ? sin B ? sin(A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? sin B ∴ sin(A ? B) ? sin B ? A ? B ? B ? A ? 2B ,得 B ? 是直角三角形 解: (Ⅰ)由条件得, Sn ? na1 ?

?
6

或B ?

?
3

(舍去) ,所以 ?ABC

n(n ? 1) 1 1 d ? ? n 2 ? (a1 ? )n ? ?5 2 2 2

整理得: n 2 ? (2a1 ? 1)n ? 10 ? 0?? (2 分)

? n ? N ? , 由求根公式 n ?

(2a1 ? 1) ? ? ,知 ? ? (2a1 ? 1) 2 ? 40 必为完全平方数, 2

?a1 ? ??1,1, 2,3, 4,5? ,逐个检验知, a1 ? 1或4 符合要求,
当 a1 ? 1 时, n ? 5 ;当 a1 ? 4 时, n ? 10 故 a1 ? 1或a1 ? 4?? (7 分) (Ⅱ)由 S n ? an ,代入得 ?

1 2 1 n ? (a1 ? )n ? a1 ? 1 ? n 2 2

整理,变量分离得: (n ? 1)a1 ?

1 2 3 1 n ? n ? 1 ? (n ? 1)(n ? 2) 2 2 2

1 (11 分) ? n ? 1 ? a1 ? (n ? 2)?? , 2 1 n ? 2 时, (n ? 2) 取到最小值 0 , ? a1 ? 0?? 2
故存在 a1 ? ?1 ,使 S n ? an 对任意大于 1 的正整数 n 均成立 ?? (14 分) 20、 (1)取 AB 的中点为 N ,连 MN , PN ,则 MN // EB , PN // BC

?面 PMN //面 EBC ,? PM // 平面BCE

………………………5 分

(2)∵ AF // BE ,∴ AF // 平面 CBE ,点 F, A 到平面 BCE 距离相等…………………8 分 过 A 作 AG ? CB 于 G ,连结 EG ,则 CB ? 平面 CBE ∴平面 AGE ? 平面 CBE 于 EG ,过 A 作 AH ? GE 于 H ,则 AH ? 平面 ECB ∴ AH 就是 A 到平面 BCE 距离,即 AH 就是 F 到平面 BCE 距离 计算得 AH ?

2 3

,又∵ CF ?

11 2



∴ sin? ?

2 66 33

………………………14 分

21、(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x ? f ?( x) ? 1 ? 1 ? x ? 1 ,………2 分 x x

x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 , x ? ?1, e ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,
所以减区间为 ? 0,1? ,增区间为 ?1, e ? ,极小值为 f ?1? ? 1 ,无极大值。 ………5 分 (2) f ( x) ? ax ? ln x ? f ?( x) ? a ? 1 ? ax ? 1
x x

① a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 在 x ? ?0,e? 恒成立,所以 f (x) 在 x ? ?0,e? 递减, 所以 f ? e ? ? 3 ? a ? ②e ?

4 ,舍去 e

………8 分

1 1 ? 0 ? a ? 时, f ? ? x ? ? 0 在 x ? ?0,e? 恒成立,所以 f (x) 在 x ? ?0,e? 递减, a e 4 所以 f ? e ? ? 3 ? a ? ,舍去 ………11 分 e
③a ?

1 时, x ? ? 0, 1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 , x ? ? 1 , e ? 时, f ? ? x ? ? 0 , ? ? ? ? e ? a? ?a ?
1 a 1 a

所以 f (x) 在 (0, ) 递减, ( , e) 递增

所以 f ( ) ? 3 , a ? e2 成立 综上所述: a ? e2 ………15 分

1 a

………14 分

? 2 2 32 ?a 2 ? 16 x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 22.解:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,依题意:? a ,解得:? 2 b a b ?b ? 12 ?a 2 ? b 2 ? 4 ?
x2 y 2 ∴ 椭圆 C1 的方程为 ? ? 1. 16 12
(2)设直线的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 , ……………4 分

?

?

由?

? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ?
2 ? x ? 4 y, ?

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 . …5 分
2

设 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) ,则 ?

? x1 ? x 2 ? 4k ? x1 x 2 ? 8k ? 12

又由 x ? 4 y ,得 y ' ?
2

x 1 x ,所以抛物线 C 2 过点 B 处的切线方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) … 2 2

(1) 同理抛物线 C 2 过点 C 处的切线方程为 y ? y 2 ?

x2 ( x ? x 2 ) …(2) 2

x1 ? x 2 ? ?x ? 2 解(1) (2)得 ? ,所以 P(2k ,2k ? 3) x1 x 2 ? y? 4 ?
因为点 P 满足 | PF1 | ? | PF2 |?| AF1 | ? | AF2 |

? 2k ? ? ? 2k ? 3 ? ? 1 . x2 y 2 ? ? 1 上.,∴ 所以点在椭圆 C1 的方程 16 12 16 12
2 2

化简得 7k ? 12k ? 3 ? 0 .(*) …12 分
2
2 由 Δ ? 12 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 ,

? ?

………13 分 ……………14 分

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个.



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